Lindelöf-Hypothese - Lindelöf hypothesis

In der Mathematik ist die Lindelöf-Hypothese eine Vermutung des finnischen Mathematikers Ernst Leonard Lindelöf (siehe Lindelöf (1908) ) über die Wachstumsrate der Riemannschen Zetafunktion auf der kritischen Geraden. Diese Hypothese wird durch die Riemannsche Hypothese impliziert . Es besagt, dass für jedes ε > 0

${\displaystyle \zeta \left({\frac {1}{2}}+it\right)=O(t^{\varepsilon}),}$

da t gegen unendlich tendiert (siehe große O-Notation ). Da ε durch einen kleineren Wert ersetzt werden kann, können wir die Vermutung auch schreiben als für jedes positive ε ,

${\displaystyle \zeta \left({\frac {1}{2}}+it\right)=o(t^{\varepsilon}).}$

Die μ-Funktion

Wenn σ reell ist , dann ist μ (σ) definiert als das Infimum aller reellen Zahlen a mit ζ(σ +  iT  ) = O( T ^a ). Es ist trivial zu überprüfen, dass μ (σ) = 0 für σ > 1 gilt, und die Funktionalgleichung der Zetafunktion impliziert, dass μ (σ) = μ (1 − σ) − σ + 1/2. Der Satz von Phragmén-Lindelöf besagt , dass μ eine konvexe Funktion ist . Die Lindelöf-Hypothese besagt μ(1/2) = 0, was zusammen mit den obigen Eigenschaften von μ impliziert, dass μ (σ) 0 für σ ≥ 1/2 und 1/2 − σ für σ ≤ 1/2 ist. 

Das Konvexitätsergebnis von Lindelöf zusammen mit μ (1) = 0 und μ (0) = 1/2 impliziert, dass 0 ≤  μ (1/2) ≤ 1/4. Die obere Schranke von 1/4 wurde von Hardy und Littlewood auf 1/6 gesenkt, indem die Methode von Weyl zur Schätzung von Exponentialsummen auf die Näherungsfunktionsgleichung angewendet wurde . Es wurde seitdem von mehreren Autoren unter Verwendung langer und technischer Beweise auf etwas weniger als 1/6 gesenkt, wie in der folgenden Tabelle dargestellt:

μ (1/2) ≤	μ (1/2) ≤	Autor
1/4	0,25	Lindelöf (1908)	Konvexitätsgrenze
1/6	0,1667	Hardy, Littlewood & ?harvtxt-Fehler: kein Ziel: CITEREFHardyLittlewood? ( Hilfe )
163/988	0,1650	Walfisz (1924)harvtxt-Fehler: kein Ziel: CITEREFWalfisz1924 ( Hilfe )
27/164	0,1647	Titchmarsch (1932)harvtxt-Fehler: kein Ziel: CITEREFTitchmarsh1932 ( Hilfe )
229/1392	0.164512	Phillips (1933)harvtxt-Fehler: kein Ziel: CITEREFPHillips1933 ( Hilfe )
	0.164511	Rankin (1955)harvtxt-Fehler: kein Ziel: CITEREFRankin1955 ( Hilfe )
19/116	0.1638	Titchmarsch (1942)harvtxt-Fehler: kein Ziel: CITEREFTitchmarsh1942 ( Hilfe )
15/92	0,1631	Min (1949)harvtxt-Fehler: kein Ziel: CITEREFMin1949 ( Hilfe )
6/37	0,16217	Haneke (1962)harvtxt-Fehler: kein Ziel: CITEREFHaneke1962 ( Hilfe )
173/1067	0,16214	Kolesnik (1973)harvtxt-Fehler: kein Ziel: CITEREFKolesnik1973 ( Hilfe )
35/216	0,16204	Kolesnik (1982)harvtxt-Fehler: kein Ziel: CITEREFKolesnik1982 ( Hilfe )
139/858	0,16201	Kolesnik (1985)harvtxt-Fehler: kein Ziel: CITEREFKolesnik1985 ( Hilfe )
32/205	0,1561	Huxley ( 2002 , 2005 )
53/342	0.1550	Burgan (2017)
13/84	0,1548	Burgan (2017)

Beziehung zur Riemann-Hypothese

Backlund (1918–1919) zeigte, dass die Lindelöf-Hypothese äquivalent zu folgender Aussage über die Nullstellen der Zetafunktion ist: Für jedes ε  > 0 ist die Anzahl der Nullstellen mit Realteil mindestens 1/2 +  ε und Imaginärteil zwischen T und T  + 1 ist o(log( T )), da T gegen unendlich geht. Die Riemann-Hypothese impliziert, dass es in diesem Bereich überhaupt keine Nullstellen gibt und impliziert damit die Lindelöf-Hypothese. Die Anzahl der Nullstellen mit Imaginärteil zwischen T und T  + 1 ist bekannt als O(log( T )), so dass die Lindelöf-Hypothese nur wenig stärker erscheint als das, was bereits bewiesen wurde, aber trotzdem allen Versuchen widerstanden hat es zu beweisen. harvtxt-Fehler: kein Ziel: CITEREFBacklund ( Hilfe )

Mittelwerte der Potenzen (oder Momente) der Zetafunktion

Die Lindelöf-Hypothese ist äquivalent zu der Aussage, dass

${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}|\zeta (1/2+it)|^{2k}\,dt=O(T^{\varepsilon } )}$

für alle positiven ganzen Zahlen k und alle positiven reellen Zahlen ε. Dies wurde für k  = 1 oder 2 bewiesen , aber der Fall k  = 3 erscheint viel schwieriger und ist immer noch ein offenes Problem.

Es gibt eine viel genauere Vermutung über das asymptotische Verhalten des Integrals : Es wird angenommen, dass

${\displaystyle \int_{0}^{T}|\zeta (1/2+it)|^{2k}\,dt=T\sum _{j=0}^{k^{2}}c_ {k,j}\log(T)^{k^{2}-j}+o(T)}$

für einige Konstanten c _{k , j} . Dies wurde von Littlewood für k  = 1 und von Heath-Brown (1979) für k  = 2 bewiesen (in Erweiterung eines Ergebnisses von Ingham (1926), der den Leitterm fand). harvtxt-Fehler: kein Ziel: CITEREFIngham1926 ( Hilfe )

Conrey & Ghosh (1998) schlugen den Wert vor

${\displaystyle {\frac {42}{9!}}\prod_{p}\left((1-p^{-1})^{4}(1+4p^{-1}+p^{ -2})\rechts)}$

für den führenden Koeffizienten, wenn k 6 ist, und Keating & Snaith (2000) verwendeten die Zufallsmatrixtheorie , um einige Vermutungen für die Werte der Koeffizienten für höheres k vorzuschlagen  . Die führenden Koeffizienten werden als das Produkt eines elementaren Faktors, eines bestimmten Produkts über Primzahlen und der Anzahl von n mal n Young Tableaus durch die Folge

1, 1, 2, 42, 24024, 701149020, … (Sequenz A039622 im OEIS ).

Andere Konsequenzen

Bezeichnet p _n die n- te Primzahl, zeigt ein Ergebnis von Albert Ingham , dass die Lindelöf-Hypothese impliziert, dass für jedes ε  > 0

${\displaystyle p_{n+1}-p_{n}\ll p_{n}^{1/2+\varepsilon}\,}$

wenn n ist ausreichend groß . Dieses Ergebnis ist jedoch viel schlechter als das der Vermutung der großen Primzahllücke .

Hinweise und Referenzen

• Backlund, R. (1918–1919), "Über die Beziehung zwischen Anwachsen und Nullstellen der Zeta-Funktion" , Ofversigt Finska Vetensk. Soz. , 61 (9)
• Bourgain, Jean (2017), "Decoupling, exponential sums and the Riemann zeta function", Journal of the American Mathematical Society , 30 (1): 205–224, arXiv : 1408.5794 , doi : 10.1090/ jams /860 , MR  3556291 , S2CID  118064221
• Conrey, JB; Bauer, DW; Keating, Jonathan P.; Rubinstein, MO; Snaith, NC (2005), "Integral momente of L-functions", Proceedings of the London Mathematical Society , Third Series, 91 (1): 33–104, arXiv : math/0206018 , doi : 10.1112/S0024611504015175 , ISSN  0024- 6115 , MR  2149530 , S2CID  1435033
• Conrey, JB; Bauer, DW; Keating, Jonathan P.; Rubinstein, MO; Snaith, NC (2008), "Terme niedrigerer Ordnung in der vollen Momentvermutung für die Riemannsche Zetafunktion", Journal of Number Theory , 128 (6): 1516–1554, arXiv : math/0612843 , doi : 10.1016/j.jnt .2007.05.013 , ISSN  0022-314X , MR  2419176 , S2CID  15922788
• Conrey, JB; Ghosh, A. (1998), "A conjecture for the six power moment of the Riemann zeta-function", International Mathematics Research Notices , 1998 (15): 775–780, arXiv : math/9807187 , Bibcode : 1998math... ...7187C , doi : 10.1155/S1073792898000476 , ISSN  1073-7928 , MR  1639551
• Edwards, HM (1974), Riemanns Zeta-Funktion , New York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-41740-0, HERR  0466039 2001 pbk Nachdruck
• Heath-Brown, DR (1979), "The four power moment of the Riemann zeta function", Proceedings of the London Mathematical Society , Third Series, 38 (3): 385–422, doi : 10.1112/plms/s3-38.3. 385 , ISSN  0024-6115 , MR  0532980
• Huxley, MN (2002), "Integer points, exponential sums and the Riemann zeta function", Zahlentheorie für das Millennium, II (Urbana, IL, 2000) , AK Peters , S. 275–290, MR  1956254
• Huxley, MN (2005), "Exponential sums and the Riemann zeta function. V", Proceedings of the London Mathematical Society , Third Series, 90 (1): 1–41, doi : 10.1112/S0024611504014959 , ISSN  0024-6115 , MR  2107036
• Ingham, AE (1928), "Mittelwertsätze in der Theorie der Riemannschen Zeta-Funktion", Proc. London Math. Soz. , s2-27 (1): 273–300, doi : 10.1112/plms/s2-27.1.273
• Ingham, AE (1940), "Über die Schätzung von N(σ,T)", The Quarterly Journal of Mathematics , Second Series, 11 (1): 291–292, Bibcode : 1940QJMat..11..201I , doi : 10.1093/qmath/os-11.1.201 , ISSN  0033-5606 , MR  0003649
• Karatsuba, Anatolien ; Voronin, Sergei (1992), Die Riemannsche Zetafunktion , de Gruyter Expositions in Mathematics, 5 , Berlin: Walter de Gruyter & Co., ISBN 978-3-11-013170-3, MR  1183467
• Keating, Jonathan P.; Snaith, NC (2000), "Random Matrix Theory and ζ(1/2+it)", Communications in Mathematical Physics , 214 (1): 57–89, Bibcode : 2000CMaPh.214...57K , CiteSeerX  10.1.1.15 .8362 , doi : 10.1007/s002200000261 , ISSN  0010-3616 , MR  1794265 , S2CID  11095649
• Lindelöf, Ernst (1908), "Quelques remarques sur la croissance de la fonction ζ(s)" , Bull. Wissenschaft Mathematik. , 32 : 341–356
• Motohashi, Yõichi (1995), "Eine Beziehung zwischen der Riemann-Zeta-Funktion und dem hyperbolischen Laplace" , Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa. Klasse der Wissenschaft. Serie IV , 22 (2): 299–313, ISSN  0391-173X , MR  1354909
• Motohashi, Yõichi (1995), "Die Riemann-Zeta-Funktion und der nicht-euklidische Laplace", Sugaku Expositions , 8 (1): 59–87, ISSN  0898-9583 , MR  1335956
• Titchmarsh, Edward Charles (1986), Die Theorie der Riemann-Zeta-Funktion (2. Aufl.), The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853369-6, HERR  0882550
• Voronin, SM (2001) [1994], "Lindelöf-Hypothese" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press