Lokale Volatilität - Local volatility

Ein lokales Volatilitätsmodell in der Finanzmathematik und im Financial Engineering behandelt die Volatilität als Funktion sowohl des aktuellen Vermögensstands als auch der Zeit . Als solches ist ein lokales Volatilitätsmodell eine Verallgemeinerung des Black-Scholes-Modells , wobei die Volatilität eine Konstante ist (dh eine triviale Funktion von und ). ${\displaystyle S_{t}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle S_{t}}$${\displaystyle t}$

Formulierung

In der Finanzmathematik , die Asset - S _t , dass unterliegt ein Finanzderivat , wird in der Regel eine folgen angenommen stochastische Differentialgleichung der Form

${\displaystyle dS_{t}=(r_{t}-d_{t})S_{t}\,dt+\sigma_{t}S_{t}\,dW_{t}}$,

wobei die augenblickliche risikofreie Rate ist , die der Dynamik eine durchschnittliche lokale Richtung angibt , und ein Wiener-Prozess ist , der den Zufluss von Zufälligkeit in die Dynamik darstellt. Die Amplitude dieser Zufälligkeit wird durch die momentane Volatilität gemessen . Im einfachsten Modell, dh dem Black-Scholes-Modell, wird angenommen, dass es konstant ist; in Wirklichkeit variiert die realisierte Volatilität eines Basiswerts tatsächlich mit der Zeit. ${\displaystyle r_{t}}$${\displaystyle W_{t}}$${\displaystyle \sigma_{t}}$${\displaystyle \sigma_{t}}$

Wenn eine solche Volatilität eine eigene Zufälligkeit hat – oft beschrieben durch eine andere Gleichung, die von einem anderen W angetrieben wird – wird das obige Modell als stochastisches Volatilitätsmodell bezeichnet . Und wenn diese Volatilität lediglich eine Funktion des aktuellen Vermögensstands S _t und der Zeit t ist , haben wir ein lokales Volatilitätsmodell. Das lokale Volatilitätsmodell ist eine sinnvolle Vereinfachung des stochastischen Volatilitätsmodells .

"Lokale Volatilität" ist daher ein Begriff, der in der quantitativen Finanzwelt verwendet wird , um die Menge von Diffusionskoeffizienten zu bezeichnen , die mit den Marktpreisen für alle Optionen auf einen bestimmten Basiswert konsistent sind. Dieses Modell wird verwendet, um exotische Optionsbewertungen zu berechnen, die mit den beobachteten Preisen von Vanilla-Optionen übereinstimmen . ${\displaystyle \sigma_{t}=\sigma(S_{t},t)}$

Entwicklung

Das Konzept der lokalen Volatilität wurde entwickelt, als Bruno Dupire und Emanuel Derman und Iraj Kani feststellten, dass es einen einzigartigen Diffusionsprozess gibt, der mit den risikoneutralen Dichten aus den Marktpreisen europäischer Optionen übereinstimmt.

Derman und Kani beschrieben und implementierten eine lokale Volatilitätsfunktion, um die momentane Volatilität zu modellieren. Sie verwendeten diese Funktion an jedem Knoten in einem binomialen Optionspreismodell . Der Baum erzeugte erfolgreich Optionsbewertungen, die mit allen Marktpreisen über Ausübungs- und Verfallszeiten hinweg konsistent waren. Das Derman-Kani-Modell wurde daher mit diskreten Zeit- und Aktienkursschritten formuliert . (Derman und Kani produzierten einen sogenannten „ impliziten Binomialbaum “; mit Neil Chriss erweiterten sie dies zu einem impliziten Trinomialbaum . Der implizite Binomialbaum-Anpassungsprozess war numerisch instabil.)

Die wichtigsten kontinuierlichen -Zeit Gleichungen in lokalen Volatilitätsmodelle verwendet wurden entwickelt Bruno Dupire 1994 Dupire Gleichung Staaten

${\displaystyle {\frac {\partial C}{\partial T}}={\frac {1}{2}}\sigma ^{2}(K,T;S_{0})K^{2}{ \frac {\partial ^{2}C}{\partial K^{2}}}-(rd)K{\frac {\partial C}{\partial K}}-dC}$

Zur Berechnung der partiellen Ableitungen existieren nur wenige bekannte Parametrisierungen der impliziten Volatilitätsfläche basierend auf dem Heston-Modell: Schönbucher, SVI und gSVI. Andere Techniken umfassen eine Mischung aus Lognormalverteilung und stochastischer Kollokation.

Ableitung

Angesichts des Preises des Vermögenswertes, der von der risikoneutralen SDE geregelt wird ${\displaystyle S_{t}}$

${\displaystyle dS_{t}=(rd)S_{t}dt+\sigma (t,S_{t})S_{t}dW_{t}}$

Die Übergangswahrscheinlichkeit bedingt durch erfüllt die Vorwärts-Kolmogorov-Gleichung (auch bekannt als Fokker-Planck-Gleichung ) ${\displaystyle p(t,S_{t})}$${\displaystyle S_{0}}$

${\displaystyle p_{t}=-[(rd)s\,p]_{s}+{\frac {1}{2}}[(\sigma s)^{2}p]_{ss}}$

Wegen des Martingale Preises Satzes, der Preis einer Call - Option mit einer Laufzeit und Streik ist ${\displaystyle T}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle {\begin{aligned}C&=e^{-rT}\mathbb {E} ^{Q}[(S_{T}-K)^{+}]\\&=e^{-rT} \int _{K}^{\infty}(sK)\,p\,ds\\&=e^{-rT}\int _{K}^{\infty}s\,p\,ds-K \,e^{-rT}\int _{K}^{\infty}p\,ds\end{ausgerichtet}}}$

Differenzierung des Preises einer Call-Option in Bezug auf ${\displaystyle K}$

${\displaystyle C_{K}=-e^{-rT}\int _{K}^{\infty}pds}$

und Ersetzen in der Formel für den Preis einer Call-Option und Neuordnung der Bedingungen

${\displaystyle e^{-rT}\int _{K}^{\infty}s\,p\,ds=CK\,C_{K}}$

Differenzierung des Preises einer Call-Option in Bezug auf das Doppelte ${\displaystyle K}$

${\displaystyle C_{KK}=e^{-rT}p}$

Differenzierung des Preises einer Call-Option in Bezug auf die Rendite ${\displaystyle T}$

${\displaystyle C_{T}=-r\,C+e^{-rT}\int _{K}^{\infty}(sK)p_{T}ds}$

unter Verwendung der Vorwärts-Kolmogorov-Gleichung

${\displaystyle C_{T}=-r\,Ce^{-rT}\int _{K}^{\infty}(sK)[(rd)s\,p]_{s}\,ds+{\ frac {1}{2}}e^{-rT}\int _{K}^{\infty}(sK)[(\sigma s)^{2}\,p]_{ss}\,ds}$

Teilweise Integration des ersten Integrals einmal und des zweiten Integrals zweimal

${\displaystyle C_{T}=-r\,C+(rd)e^{-rT}\int _{K}^{\infty}s\,p\,ds+{\frac {1}{2}} e^{-rT}(\sigma K)^{2}\,p}$

unter Verwendung der abgeleiteten Formeln zur Differenzierung des Preises einer Call-Option in Bezug auf ${\displaystyle K}$

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}C_{T}&=-r\,C+(rd)(CK\,C_{K})+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}K ^{2}C_{KK}\\&=-(rd)K\,C_{K}-d\,C+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}K^{2}C_ {KK}\end{ausgerichtet}}}$

Verwenden

Lokale Volatilitätsmodelle sind in jedem Optionsmarkt nützlich, bei dem die Volatilität des Basiswerts überwiegend von der Höhe des Basiswerts abhängt, beispielsweise bei Zinsderivaten. Zeitinvariante lokale Volatilitäten stimmen angeblich nicht mit der Dynamik der impliziten Volatilitätsoberfläche des Aktienindex überein, aber siehe Crepey, S (2004). "Delta-Hedging-Vega-Risiko". Quantitative Finanzen . 4 (5): 559–579. doi : 10.1080/14697680400000038 ., der behauptet, dass solche Modelle die beste durchschnittliche Absicherung für Aktienindexoptionen bieten. Lokale Volatilitätsmodelle sind dennoch nützlich bei der Formulierung stochastischer Volatilitätsmodelle .

Lokale Volatilitätsmodelle haben eine Reihe von attraktiven Merkmalen. Da die einzige Zufallsquelle der Aktienkurs ist, sind lokale Volatilitätsmodelle leicht zu kalibrieren. Zahlreiche Kalibriermethoden wurden entwickelt, um mit den McKean-Vlasov-Prozessen umzugehen, einschließlich des am häufigsten verwendeten Partikel- und Bin-Ansatzes. Außerdem führen sie zu vollständigen Märkten, in denen die Absicherung nur auf dem Basiswert basieren kann. Der allgemeine nicht-parametrische Ansatz von Dupire ist jedoch problematisch, da man die eingegebene implizite Volatilitätsoberfläche vor der Anwendung der Methode willkürlich vorinterpolieren muss . Es wurden alternative parametrische Ansätze vorgeschlagen, insbesondere die hochgradig lenkbaren dynamischen lokalen Volatilitätsmodelle von Damiano Brigo und Fabio Mercurio .

Da in lokalen Volatilitätsmodellen die Volatilität eine deterministische Funktion des zufälligen Aktienkurses ist, werden lokale Volatilitätsmodelle nicht sehr gut verwendet, um Cliquet-Optionen oder Forward-Start-Optionen zu bewerten , deren Werte speziell von der zufälligen Natur der Volatilität selbst abhängen.

Verweise

1. Carol Alexander (2004). „Normale Mischungsdiffusion mit unsicherer Volatilität: Modellierung von kurz- und langfristigen Smile-Effekten“. Zeitschrift für Bank- und Finanzwesen . 28 (12).