Löwers Torus-Ungleichung - Loewner's torus inequality

In der Differentialgeometrie ist Loewners Torusungleichung eine Ungleichung aufgrund von Charles Loewner . Es bezieht sich auf die Systole und die Fläche einer beliebigen Riemannschen Metrik auf dem 2-Torus .

Aussage

1949 bewies Charles Loewner , dass jede Metrik auf dem 2- Torus die optimale Ungleichung erfüllt ${\ displaystyle \ mathbb {T} ^ {2}}$

${\ displaystyle \ operatorname {sys} ^ {2} \ leq {\ frac {2} {\ sqrt {3}}} \ operatorname {area} (\ mathbb {T} ^ {2}),}$

wobei "sys" seine Systole ist , dh die kleinste Länge einer nicht kontrahierbaren Schleife. Die Konstante, die auf der rechten Seite erscheint, ist die Hermite-Konstante in Dimension 2, so dass Loewners Torus-Ungleichung wie folgt umgeschrieben werden kann ${\ displaystyle \ gamma _ {2}}$

${\ displaystyle \ operatorname {sys} ^ {2} \ leq \ gamma _ {2} \; \ operatorname {area} (\ mathbb {T} ^ {2}).}$

Die Ungleichung wurde erstmals in der Literatur in Pu (1952) erwähnt .

Fall der Gleichheit

Der Grenzfall der Gleichheit wird nur dann erreicht, wenn die Metrik flach und homothetisch zum sogenannten gleichseitigen Torus ist , dh zum Torus, dessen Gruppe von Decktransformationen genau das hexagonale Gitter ist, das von den Kubikwurzeln der Einheit in überspannt wird . ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

Alternative Formulierung

Bei einer doppeltperiodischen Metrik auf (zB einer Einbettungs in dem durch eine invariant ist isometrische Wirkung), gibt es ein Nicht - Null - Element und ein Punkt , so dass , wo ein Grundgebiet für die Aktion, während der Riemannschen Abstand, nämlich mindestens Länge ein Weg, der und verbindet . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} ^ {2}}$${\ displaystyle g \ in \ mathbb {Z} ^ {2}}$${\ displaystyle p \ in \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ textstyle \ operatorname {dist} (p, gp) ^ {2} \ leq {\ frac {2} {\ sqrt {3}}} \ operatorname {area} (F)}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle \ operatorname {dist}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle gp}$

Beweis der Loewner-Torus-Ungleichung

Die Torus-Ungleichung von Loewner kann am einfachsten unter Verwendung der Berechnungsformel für die Varianz bewiesen werden.

${\ displaystyle \ operatorname {E} (X ^ {2}) - (\ operatorname {E} (X)) ^ {2} = \ mathrm {var} (X).}$

Die Formel wird nämlich auf das Wahrscheinlichkeitsmaß angewendet, das durch das Maß des Flächen-Torus der Flächeneinheit in der konformen Klasse des gegebenen Torus definiert ist. Für die Zufallsvariable X nimmt man den Konformitätsfaktor der gegebenen Metrik in Bezug auf die flache. Dann drückt der erwartete Wert E ( X  ² ) von X  ² die Gesamtfläche der gegebenen Metrik aus. Währenddessen kann der erwartete Wert E ( X ) von X unter Verwendung des Fubini-Theorems mit der Systole in Beziehung gesetzt werden . Die Varianz von X kann dann als isosystolischer Defekt betrachtet werden, analog zum isoperimetrischen Defekt der Bonnerschen Ungleichung . Dieser Ansatz führt daher zu der folgenden Version von Loewners Torus-Ungleichung mit isosystolischem Defekt:

${\ displaystyle \ mathrm {area} - {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} (\ mathrm {sys}) ^ {2} \ geq \ mathrm {var} (f),}$

Dabei ist ƒ der Konformitätsfaktor der Metrik in Bezug auf eine flache Einheitsflächenmetrik in ihrer Konformitätsklasse.

Höhere Gattung

Ob die Ungleichung oder nicht

${\ displaystyle (\ mathrm {sys}) ^ {2} \ leq \ gamma _ {2} \, \ mathrm {area}}$

ist erfüllt von allen Oberflächen der nichtpositiven Euler-Charakteristik ist unbekannt. Für orientierbare Oberflächen der Gattungen 2 und 20 und höher ist die Antwort positiv, siehe Arbeiten von Katz und Sabourau unten.

Siehe auch

• Pus Ungleichung für die reale Projektionsebene
• Gromovs systolische Ungleichung für wesentliche Mannigfaltigkeiten
• Gromovs Ungleichung für einen komplexen projektiven Raum
• Eisenstein-Ganzzahl (ein Beispiel für ein hexagonales Gitter)
• Systolen von Oberflächen

Verweise

• Horowitz, Charles; Katz, Karin Usadi; Katz, Mikhail G. (2009). "Loewners Torus-Ungleichung mit isosystolischem Defekt". Journal of Geometric Analysis . 19 (4): 796–808. arXiv : 0803.0690 . doi : 10.1007 / s12220-009-9090-y . MR   2538936 . S2CID   18444111 . CS1-Wartung: entmutigter Parameter ( Link )
• Katz, Mikhail G. (2007). Systolische Geometrie und Topologie . Mathematische Umfragen und Monographien. 137 . Mit einem Anhang von J. Solomon. Providence, RI: Amerikanische Mathematische Gesellschaft . doi : 10.1090 / überleben / 137 . ISBN   978-0-8218-4177-8 . MR   2292367 .
• Katz, Mikhail G.; Sabourau, Stéphane (2005). "Entropie systolisch extremer Oberflächen und asymptotischer Grenzen". Ergodentheorie Dynam. Systeme . 25 (4): 1209–1220. arXiv : math.DG / 0410312 . doi : 10.1017 / S0143385704001014 . MR   2158402 . S2CID   11631690 .
• Katz, Mikhail G.; Sabourau, Stéphane (2006). "Hyperelliptische Oberflächen sind Loewner". Proc. Amer. Mathematik. Soc. 134 (4): 1189–1195. arXiv : math.DG / 0407009 . doi : 10.1090 / S0002-9939-05-08057-3 . MR   2196056 . S2CID   15437153 .
• Pu, Pao Ming (1952). "Einige Ungleichungen in bestimmten nicht orientierbaren Riemannschen Mannigfaltigkeiten" . Pacific J. Math. 2 (1): 55–71. doi : 10.2140 / pjm.1952.2.55 . MR   0048886 .