Lozanićs Dreieck - Lozanić's triangle

Das Lozanić-Dreieck (manchmal auch Losanitsch-Dreieck genannt ) ist eine dreieckige Anordnung von Binomialkoeffizienten in einer Weise, die der des Pascalschen Dreiecks sehr ähnlich ist . Es ist nach dem serbischen Chemiker Sima Lozanić benannt , der es in seiner Untersuchung der Symmetrien von Paraffinreihen (archaischer Begriff für Alkane ) erforschte .

Die ersten Zeilen des Dreiecks von Lozanić sind

                                             1
                                          1     1
                                       1     1     1
                                    1     2     2     1
                                 1     2     4     2     1
                              1     3     6     6     3     1
                           1     3     9    10     9     3     1
                        1     4    12    19    19    12     4     1
                     1     4    16    28    38    28    16     4     1
                  1     5    20    44    66    66    44    20     5     1
               1     5    25    60   110   126   110    60    25     5     1
            1     6    30    85   170   236   236   170    85    30     6     1
         1     6    36   110   255   396   472   396   255   110    36     6     1
      1     7    42   146   365   651   868   868   651   365   146    42     7     1
   1     7    49   182   511  1001  1519  1716  1519  1001   511   182    49     7     1
1     8    56   231   693  1512  2520  3235  3235  2520  1512   693   231    56     8    1

gelistet in (Sequenz A034851 im OEIS ).

Wie beim Pascal-Dreieck sind die Außenkantendiagonalen des Lozanić-Dreiecks alle Einsen, und die meisten eingeschlossenen Zahlen sind die Summe der beiden obigen Zahlen. Aber für Zahlen an ungeraden Positionen k in geradzahligen Reihen n (beginnen Sie die Nummerierung für beide mit 0), subtrahieren Sie nach dem Addieren der beiden obigen Zahlen die Zahl an Position ( k  − 1)/2 in Reihe n /2 − 1 von Pascals Dreieck.

Die Diagonalen neben den Kantendiagonalen enthalten die positiven ganzen Zahlen der Reihe nach, wobei jedoch jede ganze Zahl zweimal angegeben wird OEIS :  A004526 .

Nach innen bewegt , enthält das nächste Diagonalpaar die " Viertelquadrate " ( OEIS :  A002620 ) oder die Quadratzahlen und die Pronikzahlen, die verschachtelt sind .

Das nächste Diagonalpaar enthält die Alkanzahlen l (6, n ) ( OEIS :  A005993 ). Und das nächste Diagonalpaar enthält die Alkanzahlen l (7, n ) ( OEIS :  A005994 ), während das nächste Paar die Alkanzahlen l (8, n ) ( OEIS :  A005995 ) hat, dann die Alkanzahlen l (9, n ) ( OEIS :  A018210 ), dann l (10, n ) ( OEIS :  A018211 ), l (11, n ) ( OEIS :  A018212 ), l (12, n ) ( OEIS :  A018213 ) usw.

Die Summe der n- ten Reihe des Lozanić-Dreiecks ist ( OEIS :  A005418 listet die ersten dreißig Werte oder so auf). ${\displaystyle 2^{n-2}+2^{\lfloor n/2\rfloor -1}}$

Die Summen der Diagonalen des Lozanić-Dreiecks vermischen sich mit (wobei F _x die x- te Fibonacci-Zahl ist ). ${\displaystyle {F_{2n-1}+F_{n+1}} \over 2}$${\displaystyle {F_{2n}+F_{n}} \over 2}$

Wie erwartet, ergibt das Legen des Pascal-Dreiecks über das Lozanić-Dreieck und Subtrahieren ein Dreieck mit den äußeren Diagonalen aus Nullen ( OEIS :  A034852 oder OEIS :  A034877 für eine Version ohne Nullen). Dieses spezielle Differenzdreieck findet Anwendung in der chemischen Untersuchung von katakondensierten polygonalen Systemen.

Verweise

• SM Losanitsch, Die Isomere-Arten bei den Homologen der Paraffin-Reihe, Chem. Ber . 30 (1897), 1917 - 1926.
• NJA Sloane, Klassische Sequenzen