Mathematische Beschreibungen der Opazität - Mathematical descriptions of opacity

Wenn sich eine elektromagnetische Welle durch ein Medium ausbreitet, in dem sie gedämpft wird (dies wird als „ undurchsichtiges “ oder „ dämpfendes “ Medium bezeichnet), unterliegt sie einem exponentiellen Zerfall, wie durch das Beer-Lambert-Gesetz beschrieben . Es gibt jedoch viele Möglichkeiten, die Welle zu charakterisieren und wie schnell sie gedämpft wird. Dieser Artikel beschreibt die mathematischen Beziehungen zwischen:

• Dämpfungskoeffizient ;
• Eindringtiefe und Hauttiefe ;
• komplexe Winkelwellenzahl und Ausbreitungskonstante ;
• komplexer Brechungsindex ;
• komplexe elektrische Permittivität ;
• AC Leitfähigkeit ( Suszeptanz ).

Beachten Sie, dass in vielen dieser Fälle mehrere, widersprüchliche Definitionen und Konventionen gebräuchlich sind. Dieser Artikel ist nicht unbedingt umfassend oder universell.

Hintergrund: ungedämpfte Welle

Beschreibung

Eine sich in + z- Richtung ausbreitende elektromagnetische Welle wird herkömmlicherweise durch die Gleichung beschrieben:

${\displaystyle \mathbf {E} (z,t)=\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{i(kz-\omega t)}\right]\! ,}$

wo

E ₀ ist ein Vektor in der x - y - Ebene, mit den Einheiten eines elektrischen Feldes (der Vektor ist im allgemeinen eine komplexe Vektor , für alle möglichen Polarisationen und Phasen zu ermöglichen);

ω die Kreisfrequenz der Welle ist;

k die Winkelwellenzahl der Welle ist;

Re zeigt den Realteil an ;

e ist die Eulersche Zahl .

Die Wellenlänge ist per Definition

${\displaystyle \lambda ={\frac {2\pi }{k}}.}$

Bei einer bestimmten Frequenz wird die Wellenlänge einer elektromagnetischen Welle durch das Material beeinflusst, in dem sie sich ausbreitet. Die Vakuumwellenlänge (die Wellenlänge, die eine Welle dieser Frequenz hätte, wenn sie sich im Vakuum ausbreiten würde) ist

${\displaystyle \lambda _{0}={\frac {2\pi \mathrm {c} }{\omega }},}$

wobei c die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist.

Ohne Dämpfung ist der Brechungsindex (auch Brechungsindex genannt ) das Verhältnis dieser beiden Wellenlängen, d.

${\displaystyle n={\frac{\lambda_{0}}{\lambda}}={\frac{\textrm{c}k}{\omega}}.}$

Die Intensität der Welle ist proportional zum Quadrat der Amplitude, zeitlich gemittelt über viele Schwingungen der Welle, d. h.:

${\displaystyle I(z)\propto\left|\mathbf{E}_{0}e^{i(kz-\omega t)}\right|^{2}=|\mathbf{E}_{0 }|^{2}.}$

Beachten Sie, dass diese Intensität unabhängig von der Position z ist , ein Zeichen dafür, dass diese Welle mit der Entfernung nicht abgeschwächt wird. Wir definieren I ₀ als gleich dieser konstanten Intensität:

${\displaystyle I(z)=I_{0}\propto |\mathbf{E}_{0}|^{2}.}$

Komplexe konjugierte Mehrdeutigkeit

weil

${\displaystyle \operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{i(kz-\omega t)}\right]=\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}^{*}e^{-i(kz-\omega t)}\right]\!,}$

jeder Ausdruck kann austauschbar verwendet werden. Im Allgemeinen verwenden Physiker und Chemiker die Konvention links (mit e ^{− iωt} ), während Elektroingenieure die Konvention rechts verwenden (mit e ^{+ iωt} , siehe z. B. elektrische Impedanz ). Die Unterscheidung ist für eine ungedämpfte Welle irrelevant, wird aber in einigen Fällen weiter unten relevant. Zum Beispiel gibt es zwei Definitionen des komplexen Brechungsindex , eine mit einem positiven Imaginärteil und eine mit einem negativen Imaginärteil, abgeleitet von den beiden unterschiedlichen Konventionen. Die beiden Definitionen sind komplex konjugiert .

Dämpfungskoeffizient

Eine Möglichkeit, die Dämpfung in die mathematische Beschreibung der Welle einzubeziehen, ist die Verwendung eines Dämpfungskoeffizienten :

${\displaystyle \mathbf {E} (z,t)=e^{-\alpha z/2}\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{i(kz- \omega t)}\rechts]\!,}$

wobei α der Dämpfungskoeffizient ist.

Dann genügt die Intensität der Welle:

${\displaystyle I(z)\propto\left|e^{-\alpha z/2}\mathbf {E} _{0}e^{i(kz-\omega t)}\right|^{2} =|\mathbf{E}_{0}|^{2}e^{-\alphaz},}$

dh

${\displaystyle I(z)=I_{0}e^{-\alpha z}.}$

Der Dämpfungskoeffizient wiederum hängt einfach mit mehreren anderen Größen zusammen:

• der Absorptionskoeffizient ist im Wesentlichen (aber nicht immer) gleichbedeutend mit dem Dämpfungskoeffizienten; Details siehe Dämpfungskoeffizient ;
• molarer Absorptionskoeffizient oder molarer Extinktionskoeffizient , auch molares Absorptionsvermögen genannt , ist der Schwächungskoeffizient geteilt durch die Molarität (und normalerweise multipliziert mit ln(10), dh dekadisch); siehe Beer-Lambert-Gesetz und molares Absorptionsvermögen für Details;
• Massenschwächungskoeffizient , auch Massenextinktionskoeffizient genannt , ist der Schwächungskoeffizient geteilt durch die Dichte; siehe Massendämpfungskoeffizient für Details;
• Absorptionsquerschnitt und Streuquerschnitt sind beide quantitativ mit dem Schwächungskoeffizienten verbunden; Details siehe Absorptionsquerschnitt und Streuquerschnitt ;
• Der Schwächungskoeffizient wird manchmal auch als Opazität bezeichnet ; siehe Opazität (Optik) .

Eindringtiefe und Skin-Tiefe

Eindringtiefe

Ein sehr ähnlicher Ansatz verwendet die Eindringtiefe :

${\displaystyle \mathbf {E} (z,t)=e^{-z/(2\delta _{\mathrm {Stift}})}\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _ {0}e^{i(kz-\omega t)}\right]\!,}$

${\displaystyle I(z)=I_{0}e^{-z/\delta_{\mathrm {Stift}}},}$

wobei δ _pen die Eindringtiefe ist.

Hauttiefe

Die Skin-Tiefe ist so definiert, dass die Welle erfüllt:

${\displaystyle \mathbf {E} (z,t)=e^{-z/\delta _{\mathrm {skin} }}\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0} e^{i(kz-\omega t)}\right]\!,}$

${\displaystyle I(z)=I_{0}e^{-2z/\delta_{\mathrm {skin}}},}$

wobei δ _Haut die Hauttiefe ist.

Physikalisch ist die Eindringtiefe die Strecke, die die Welle zurücklegen kann, bevor ihre Intensität um den Faktor 1/ e 0,37 abnimmt . Die Skin-Tiefe ist die Distanz, die die Welle zurücklegen kann, bevor ihre Amplitude um denselben Faktor abnimmt. ${\displaystyle {}\approx {}}$

Der Absorptionskoeffizient hängt von der Eindringtiefe und der Eindringtiefe durch

${\displaystyle \alpha=1/\delta_{\mathrm {Stift}}=2/\delta_{\mathrm {Haut}}.}$

Komplexe Winkelwellenzahl und Ausbreitungskonstante

Komplexe Winkelwellenzahl

Eine andere Möglichkeit, die Dämpfung zu integrieren, besteht darin, die komplexe Winkelwellenzahl zu verwenden :

${\displaystyle \mathbf {E} (z,t)=\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{i({\underline {k}}z-\omega t )}\Recht]\!,}$

wobei k die komplexe Winkelwellenzahl ist.

Dann genügt die Intensität der Welle:

${\displaystyle I(z)\propto\left|\mathbf{E}_{0}e^{i({\underline {k}}z-\omega t)}\right|^{2}=|\ mathbf {E} _{0}|^{2}e^{-2\operatorname {Im} ({\underline {k}})z},}$

dh

${\displaystyle I(z)=I_{0}e^{-2\operatorname {Im} ({\underline {k}})z}.}$

Vergleicht man dies mit dem Absorptionskoeffizienten-Ansatz,

${\displaystyle \operatorname {Re} ({\underline {k}})=k,}$

${\displaystyle \operatorname {Im} ({\underline {k}})=\alpha/2.}$

In Übereinstimmung mit der oben erwähnten Mehrdeutigkeit verwenden einige Autoren die komplex konjugierte Definition:

${\displaystyle \operatorname {Re} ({\underline {k}})=k,}$

${\displaystyle \operatorname {Im} ({\underline {k}})=-\alpha /2.}$

Ausbreitungskonstante

Ein eng verwandter Ansatz, der insbesondere in der Theorie der Übertragungsleitungen üblich ist , verwendet die Ausbreitungskonstante :

${\displaystyle \mathbf {E} (z,t)=\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{-\gamma z+i\omega t}\right]\ !,}$

wobei γ die Ausbreitungskonstante ist.

Dann genügt die Intensität der Welle:

${\displaystyle I(z)\propto\left|\mathbf{E}_{0}e^{-\gamma z+i\omega t}\right|^{2}=|\mathbf{E}_{ 0}|^{2}e^{-2\operatorname {Re} (\gamma )z},}$

dh

${\displaystyle I(z)=I_{0}e^{-2\operatorname {Re} (\gamma)z}.}$

Beim Vergleich der beiden Gleichungen stehen die Ausbreitungskonstante und die komplexe Winkelwellenzahl in Beziehung zu:

${\displaystyle \gamma =i{\underline {k}}^{*},}$

wobei das * eine komplexe Konjugation bezeichnet.

${\displaystyle \operatorname {Re} (\gamma )=\operatorname {Im} ({\underline {k}})=\alpha /2.}$

Diese Größe wird auch Dämpfungskonstante genannt , manchmal auch als α bezeichnet .

${\displaystyle \operatorname {Im} (\gamma )=\operatorname {Re} ({\underline {k}})=k.}$

Diese Größe wird auch Phasenkonstante genannt , manchmal auch als β bezeichnet .

Leider ist die Notation nicht immer konsistent. Zum Beispiel wird manchmal anstelle von γ "Ausbreitungskonstante" genannt , was den Real- und Imaginärteil vertauscht. ${\displaystyle {\underline {k}}}$

Komplexer Brechungsindex

Denken Sie daran, dass in nichtdämpfenden Medien der Brechungsindex und die Winkelwellenzahl zusammenhängen durch:

${\displaystyle n={\frac{\textrm{c}}{v}}={\frac{\textrm{c}k}{\omega}},}$

wo

• n der Brechungsindex des Mediums ist;
• c ist die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum;
• v ist die Lichtgeschwindigkeit im Medium.

Ein komplexer Brechungsindex kann daher anhand der oben definierten komplexen Winkelwellenzahl definiert werden:

${\displaystyle {\underline {n}}={\frac {\mathrm {c} {\underline {k}}}{\omega}}.}$

wobei n der Brechungsindex des Mediums ist.

Mit anderen Worten, die Welle muss

${\displaystyle \mathbf {E} (z,t)=\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{i\omega ({\underline {n}}z/\ mathrm {c} -t)}\right]\!.}$

Dann genügt die Intensität der Welle:

${\displaystyle I(z)\propto\left|\mathbf{E}_{0}e^{i\omega ({\underline {n}}z/\mathrm {c} -t)}\right|^ {2}=|\mathbf {E} _{0}|^{2}e^{-2\omega \operatorname {Im} ({\underline {n}})z/\mathrm {c} },}$

dh

${\displaystyle I(z)=I_{0}e^{-2\omega \operatorname {Im} ({\underline {n}})z/\mathrm {c} }.}$

Im Vergleich zum vorherigen Abschnitt haben wir

${\displaystyle \operatorname {Re} ({\underline {n}})={\frac {\mathrm {c} k}{\omega }}.}$

Diese Größe wird oft (mehrdeutig) einfach als Brechungsindex bezeichnet .

${\displaystyle \operatorname {Im} ({\underline {n}})={\frac {\mathrm {c} \alpha }{2\omega }}={\frac {\lambda_{0}\alpha} {4\pi}}.}$

Diese Menge wird die gerufene Extinktionskoeffizienten und bezeichnet κ .

In Übereinstimmung mit der oben angemerkten Mehrdeutigkeit verwenden einige Autoren die komplex konjugierte Definition, wobei der (noch positive) Extinktionskoeffizient minus dem Imaginärteil von ist . ${\displaystyle {\underline {n}}}$

Komplexe elektrische Permittivität

In nichtdämpfenden Medien stehen die elektrische Permittivität und der Brechungsindex in Beziehung zu:

${\displaystyle n=\mathrm {c} {\sqrt {\mu\varepsilon}}\quad {\text{(SI)}},\qquad n={\sqrt {\mu\varepsilon}}\quad {\ text{(cgs)}},}$

wo

• μ ist die magnetische Permeabilität des Mediums;
• ε ist die elektrische Permittivität des Mediums.
• "SI" bezieht sich auf das SI-Einheitensystem , während sich "cgs" auf Gauß-cgs-Einheiten bezieht .

In dämpfenden Medien wird dieselbe Beziehung verwendet, aber die Permittivität darf eine komplexe Zahl sein, die als komplexe elektrische Permittivität bezeichnet wird :

${\displaystyle {\underline {n}}=\mathrm {c} {\sqrt {\mu {\underline {\varepsilon }}}}\quad {\text{(SI)}},\qquad {\underline { n}}={\sqrt {\mu {\underline {\varepsilon}}}}\quad {\text{(cgs)}},}$

wobei ε die komplexe elektrische Permittivität des Mediums ist.

Das Quadrieren beider Seiten und die Verwendung der Ergebnisse des vorherigen Abschnitts ergibt:

${\displaystyle \operatorname {Re} ({\underline {\varepsilon}})={\frac {\mathrm {c} ^{2}\varepsilon _{0}}{\omega ^{2}\mu /\ mu _{0}}}\!\left(k^{2}-{\frac{\alpha^{2}}{4}}\right)\quad {\text{(SI)}},\qquad \operatorname {Re} ({\underline {\varepsilon}})={\frac {\mathrm {c} ^{2}}{\omega ^{2}\mu }}\!\left(k^{2 }-{\frac{\alpha^{2}}{4}}\right)\quad {\text{(cgs)}},}$

${\displaystyle \operatorname {Im} ({\underline {\varepsilon}})={\frac {\mathrm {c} ^{2}\varepsilon _{0}}{\omega ^{2}\mu /\ mu _{0}}}k\alpha \quad {\text{(SI)}},\qquad\operatorname {Im} ({\underline {\varepsilon}})={\frac {\mathrm {c} ^ {2}}{\omega^{2}\mu}}k\alpha\quad{\text{(cgs)}}.}$

AC-Leitfähigkeit

Eine andere Möglichkeit, eine Dämpfung zu integrieren, besteht wie folgt über die elektrische Leitfähigkeit.

Eine der Gleichungen für die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen ist das Maxwell-Ampere-Gesetz :

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J_{f}} +{\frac {\mathrm {d} \mathbf {D} }{\mathrm {d} t}}\quad {\ text{(SI)}},\qquad\nabla\times\mathbf{H}={\frac{4\pi}{\mathrm{c}}}\mathbf{J_{f}}+{\frac{1 }{\textrm{c}}}{\frac{\text{d}\mathbf{D} }{\textrm{d}t}}\quad {\text{(cgs)}},}$

wo ist das Verschiebungsfeld . ${\displaystyle\mathbf{D}}$

Einsetzen des Ohmschen Gesetzes und der Definition der (realen) Permittivität

${\displaystyle\nabla\times\mathbf{H} =\sigma\mathbf{E}+\varepsilon{\frac{\mathrm{d}\mathbf{E}}{\mathrm{d}t}}\quad{ \text{(SI)}},\qquad\nabla\times\mathbf{H} ={\frac{4\pi\sigma}{\mathrm{c}}}\mathbf{E} +{\frac{\ varepsilon }{\mathrm {c}}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {E} }{\mathrm {d} t}}\quad {\text{(cgs)}},}$

wobei σ die (reale, aber frequenzabhängige) elektrische Leitfähigkeit ist, die als AC- Leitfähigkeit bezeichnet wird .

Mit sinusförmiger Zeitabhängigkeit von allen Größen, dh

${\displaystyle \mathbf {H} =\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {H} _{0}e^{-i\omega t}\right]\!,}$

${\displaystyle \mathbf {E} =\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{-i\omega t}\right]\!,}$

Das Ergebnis ist

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} _{0}=-i\omega \mathbf {E} _{0}\!\left(\varepsilon +i{\frac {\sigma }{\omega } }\right)\quad {\text{(SI)}},\qquad\nabla\times\mathbf{H}_{0}={\frac{-i\omega }{\mathrm {c}}}\ mathbf {E} _{0}\!\left(\varepsilon +i{\frac {4\pi\sigma }{\omega }}\right)\quad {\text{(cgs)}}.}$

Wäre der Strom nicht explizit (durch das Ohmsche Gesetz), sondern nur implizit (durch eine komplexe Permittivität) enthalten, wäre die Größe in Klammern einfach die komplexe elektrische Permittivität. Deshalb, ${\displaystyle \mathbf{J_{f}}}$

${\displaystyle {\underline {\varepsilon}}=\varepsilon +i{\frac {\sigma }{\omega }}\quad {\text{(SI)}},\qquad {\underline {\varepsilon}} =\varepsilon +i{\frac{4\pi\sigma}{\omega}}\quad {\text{(cgs)}}.}$

Im Vergleich zum vorherigen Abschnitt erfüllt die AC-Leitfähigkeit

${\displaystyle \sigma ={\frac {k\alpha }{\omega \mu}}\quad {\text{(SI)}},\qquad\sigma ={\frac {k\alpha\mathrm {c} ^{2}}{4\pi\omega\mu}}\quad{\text{(cgs)}}.}$

Anmerkungen

Verweise

• Jackson, John David (1999). Klassische Elektrodynamik (3. Aufl.). New York: Wiley. ISBN 0-471-30932-X.
• Griffiths, David J. (1998). Einführung in die Elektrodynamik (3. Aufl.) . Lehrlingssaal. ISBN 0-13-805326-X.
• JI Pankove (1971). Optische Prozesse in Halbleitern . New York: Dover Publications Inc.