Mäander (Mathematik) - Meander (mathematics)
In der Mathematik ist ein Mäander oder geschlossener Mäander eine sich selbst vermeidende geschlossene Kurve, die eine Linie mehrmals schneidet. Intuitiv kann ein Mäander als eine Straße betrachtet werden, die einen Fluss durch eine Reihe von Brücken überquert.
Mäander
Gegeben eine feste orientierte Linie L in der euklidischen Ebene R 2 , ist ein Mäander der Ordnung n eine sich nicht selbst schneidende geschlossene Kurve in R 2 , die die Linie transversal an 2 n Punkten für eine positive ganze Zahl n schneidet . Linie und Kurve bilden zusammen ein mäanderförmiges System . Zwei Mäander heißen äquivalent, wenn es einen Homöomorphismus der ganzen Ebene gibt, der L zu sich selbst und einen Mäander zum anderen führt.
Beispiele
Der Mäander der Ordnung 1 schneidet die Gerade zweimal:
Die Mäander der Ordnung 2 schneiden die Linie viermal.
Mittlere Zahlen
Die Anzahl der verschiedenen Mäander der Ordnung n ist die Mäanderzahl M n . Die ersten fünfzehn Mittelwertzahlen sind unten angegeben (Sequenz A005315 im OEIS ).
- M 1 = 1
- M 2 = 1
- M 3 = 2
- M 4 = 8
- M 5 = 42
- M 6 = 262
- M 7 = 1828
- M 8 = 13820
- M 9 = 110.954
- M 10 = 933.458
- M 11 = 8.152.860
- M 12 = 73.424.650
- M 13 = 678.390.116
- M 14 = 6405031050
- M 15 = 61606881612
Meandrische Permutationen
Eine mäandrische Permutation der Ordnung n ist auf der Menge {1, 2, ..., 2 n } definiert und wird durch ein mäandrisches System wie folgt bestimmt:
- Bei einer von links nach rechts orientierten Linie wird jeder Schnittpunkt des Mäanders fortlaufend mit den ganzen Zahlen beginnend bei 1 beschriftet.
- Die Kurve ist am Schnittpunkt mit der Bezeichnung 1 nach oben ausgerichtet.
- Die zyklische Permutation ohne Fixpunkte erhält man, indem man der orientierten Kurve durch die markierten Schnittpunkte folgt.
Im Diagramm rechts ist die mittlere Permutation der Ordnung 4 gegeben durch (1 8 5 4 3 6 7 2). Dies ist eine Permutation, die in zyklischer Notation geschrieben ist und nicht mit einzeiliger Notation zu verwechseln ist .
Wenn π eine mittlere Permutation ist, dann besteht π 2 aus zwei Zyklen , einer enthält alle geraden Symbole und der andere alle ungeraden Symbole. Permutationen mit dieser Eigenschaft werden als alternative Permutationen bezeichnet , da die Symbole in der ursprünglichen Permutation zwischen ungeraden und geraden ganzen Zahlen abwechseln. Jedoch sind nicht alle alternativen Permutationen mäandrisch, da es möglicherweise nicht möglich ist, sie zu zeichnen, ohne einen Selbstschnitt in die Kurve einzuführen. Zum Beispiel ist die alternative Permutation der Ordnung 3 (1 4 3 6 5 2) nicht mäanderförmig.
Offener Mäander
Gegeben eine feste orientierte Linie L in der euklidischen Ebene R 2 , ist ein offener Mäander der Ordnung n eine sich nicht selbst schneidende orientierte Kurve in R 2 , die die Linie in n Punkten für eine positive ganze Zahl n transversal schneidet . Zwei offene Mäander heißen äquivalent, wenn sie in der Ebene homöomorph sind.
Beispiele
Der offene Mäander der Ordnung 1 schneidet die Gerade einmal:
Der offene Mäander der Ordnung 2 schneidet die Linie zweimal:
Offene mittlere Zahlen
Die Anzahl der verschiedenen offenen Mäander der Ordnung n ist die offene Mäanderzahl m n . Die ersten fünfzehn offenen Mittelwertzahlen sind unten angegeben (Sequenz A005316 im OEIS ).
- m 1 = 1
- m 2 = 1
- m 3 = 2
- m 4 = 3
- m 5 = 8
- m 6 = 14
- m 7 = 42
- m 8 = 81
- m 9 = 262
- m 10 = 538
- m 11 = 1828
- m 12 = 3926
- m 13 = 13820
- m 14 = 30694
- m 15 = 110954
Halbmäander
Bei einem festen orientierten Strahl R in der euklidischen Ebene R 2 ist ein Halbmäander der Ordnung n eine sich nicht selbst schneidende geschlossene Kurve in R 2 , die den Strahl in n Punkten für eine positive ganze Zahl n transversal schneidet . Zwei Halbmäander heißen äquivalent, wenn sie in der Ebene homöomorph sind.
Beispiele
Der Halbmäander der Ordnung 1 schneidet den Strahl einmal:
Der Halbmäander der Ordnung 2 schneidet den Strahl zweimal:
Halbmeandrische Zahlen
Die Anzahl der verschiedenen Halbmäander der Ordnung n ist die Halbmäanderzahl M n (normalerweise mit einem Überstrich statt einem Unterstrich bezeichnet). Die ersten fünfzehn semi-meandrischen Zahlen sind unten angegeben (Sequenz A000682 im OEIS ).
- M 1 = 1
- M 2 = 1
- M 3 = 2
- M 4 = 4
- M 5 = 10
- M 6 = 24
- M 7 = 66
- M 8 = 174
- M 9 = 504
- M 10 = 1406
- M 11 = 4210
- M 12 = 12198
- M 13 = 37378
- M 14 = 111278
- M 15 = 346.846
Eigenschaften von mittleren Zahlen
Es gibt eine injektive Funktion von mäandrischen zu offenen mäandrischen Zahlen:
- M n = m 2 n −1
Jede meandric Zahl kann begrenzt durch halb meandric Zahlen:
- M n ≤ M n ≤ M 2 n
Für n > 1 sind die mittleren Zahlen gerade :
- M n ≡ 0 (mod 2)