Mertens-Funktion - Mertens function

In der Zahlentheorie ist die Mertens-Funktion für alle positiven ganzen Zahlen n definiert als

${\displaystyle M(n)=\sum_{k=1}^{n}\mu(k)}$

wobei μ(k) die Möbius-Funktion ist . Die Funktion ist zu Ehren von Franz Mertens benannt . Diese Definition kann wie folgt auf positive reelle Zahlen erweitert werden:

${\displaystyle M(x)=M(\lfloor x\rfloor).}$

Weniger formal ist die Anzahl der quadratfreien ganzen Zahlen bis x , die eine gerade Anzahl von Primfaktoren haben, abzüglich der Anzahl derjenigen, die eine ungerade Zahl haben. ${\displaystyle M(x)}$

Die ersten 143 M ( n ) sind: (Sequenz A002321 im OEIS )

M ( n )	+0	+1	+2	+3	+4	+5	+6	+7	+8	+9	+10	+11
0+		1	0	-1	-1	-2	-1	-2	-2	-2	-1	-2
12+	-2	-3	-2	-1	-1	-2	-2	-3	-3	-2	-1	-2
24+	-2	-2	-1	-1	-1	-2	-3	-4	-4	-3	-2	-1
36+	-1	-2	-1	0	0	-1	-2	-3	-3	-3	-2	-3
48+	-3	-3	-3	-2	-2	-3	-3	-2	-2	-1	0	-1
60+	-1	-2	-1	-1	-1	0	-1	-2	-2	-1	-2	-3
72+	-3	-4	-3	-3	-3	-2	-3	-4	-4	-4	-3	-4
84+	-4	-3	-2	-1	-1	-2	-2	-1	-1	0	1	2
96+	2	1	1	1	1	0	-1	-2	-2	-3	-2	-3
108+	-3	-4	-5	-4	-4	-5	-6	-5	-5	-5	-4	-3
120+	-3	-3	-2	-1	-1	-1	-1	-2	-2	-1	-2	-3
132+	-3	-2	-1	-1	-1	-2	-3	-4	-4	-3	-2	-1

Die Mertens-Funktion wächst langsam in positiver und negativer Richtung sowohl im Mittel- als auch im Spitzenwert und schwingt scheinbar chaotisch durch Null, wenn n die Werte has hat

2, 39, 40, 58, 65, 93, 101, 145, 149, 150, 159, 160, 163, 164, 166, 214, 231, 232, 235, 236, 238, 254, 329, 331, 332, 333, 353, 355, 356, 358, 362, 363, 364, 366, 393, 401, 403, 404, 405, 407, 408, 413, 414, 419, 420, 422, 423, 424, 425, 427, 428, ... (Sequenz A028442 im OEIS ).

Da die Möbius-Funktion nur die Werte −1, 0 und +1 annimmt, bewegt sich die Mertens-Funktion langsam und es gibt kein x mit | M ( x )| >  x . Die Mertens-Vermutung ging weiter und besagte, dass es kein x geben würde, bei dem der Absolutwert der Mertens-Funktion die Quadratwurzel von x überschreitet . Die Mertens-Vermutung wurde 1985 von Andrew Odlyzko und Herman te Riele als falsch bewiesen . Die Riemannsche Hypothese entspricht jedoch einer schwächeren Vermutung über das Wachstum von M ( x ), nämlich M ( x ) = O ( x ^{1/2 + ε} ). Da hohe Werte für M ( x ) mindestens so schnell wachsen wie , setzt dies der Wachstumsrate eine ziemlich enge Grenze. Hier O bezieht sich auf Big O - Notation . ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$

Die wahre Wachstumsrate von M ( x ) ist nicht bekannt. Eine unveröffentlichte Vermutung von Steve Gonek besagt, dass

${\displaystyle 0<\limsup_{x\to\infty }{\frac {|M(x)|}{{\sqrt {x}}(\log\log\log x)^{5/4}} }<\infty.}$

Probabilistische Beweise für diese Vermutung liefert Nathan Ng. Insbesondere liefert Ng einen bedingten Beweis dafür, dass die Funktion eine Grenzverteilung auf hat . Das heißt, für alle beschränkten Lipschitz-stetigen Funktionen auf den reellen Zahlen gilt ${\displaystyle e^{-y/2}M(e^{y})}$${\displaystyle \nu}$${\displaystyle \mathbb{R}}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle \lim _{Y\rightarrow \infty }{\frac {1}{Y}}\int _{0}^{Y}f\left(e^{-y/2}M(e^{ y})\right)dy=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)d\nu(x).}$

Vertretungen

Als Integral

Mit dem Euler-Produkt findet man das

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta(s)}}=\prod_{p}(1-p^{-s})=\sum_{n=1}^{\infty }{\ frac {\mu(n)}{n^{s}}}}$

wo ist die Riemann-Zeta-Funktion und das Produkt wird über Primzahlen genommen. Unter Verwendung dieser Dirichlet-Reihe mit der Formel von Perron erhält man dann: ${\displaystyle\zeta(s)}$

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{ci\infty}^{c+i\infty }{\frac {x^{s}}{s\zeta (s)} }\,ds=M(x)}$

wobei c > 1.

Umgekehrt hat man die Mellin-Transformation

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta(s)}}=s\int _{1}^{\infty }{\frac {M(x)}{x^{s+1}}}\ ,dx}$

was hält für . ${\displaystyle \mathrm {Re} (s)>1}$

Eine merkwürdige Beziehung, die Mertens selbst mit der zweiten Chebyshev-Funktion angegeben hat, ist

${\displaystyle \psi(x)=M\left({\frac{x}{2}}\right)\log(2)+M\left({\frac{x}{3}}\right)\ log(3)+M\left({\frac{x}{4}}\right)\log(4)+\cdots .}$

Unter der Annahme, dass die Riemannsche Zetafunktion keine mehrfachen nicht-trivialen Nullstellen hat, erhält man die "exakte Formel" nach dem Restsatz :

${\displaystyle M(x)=\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho}}{\rho \zeta '(\rho)}}-2+\sum _{n=1}^ {\infty }{\frac {(-1)^{n-1}(2\pi)^{2n}}{(2n)!n\zeta (2n+1)x^{2n}}}.}$

Weyl vermutete, dass die Mertens-Funktion die angenäherte Funktional-Differential-Gleichung erfüllt

${\displaystyle {\frac {y(x)}{2}}-\sum_{r=1}^{N}{\frac {B_{2r}}{(2r)!}}D_{t}^ {2r-1}y\left({\frac {x}{t+1}}\right)+x\int _{0}^{x}{\frac {y(u)}{u^{2 }}}\,du=x^{-1}H(\log x)}$

wobei H ( x ) , das ist Heaviside-Funktion , B sind Bernoulli - Zahlen und alle Ableitungen bezüglich t ausgewertet werden bei t = 0.

Es gibt auch eine Spurformel mit einer Summe über der Möbius-Funktion und Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion in der Form

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{\sqrt {n}}}g(\log n)=\sum _{\gamma }{\ frac {h(\gamma)}{\zeta '(1/2+i\gamma)}}+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n} (2\pi)^{2n}}{(2n)!\zeta (2n+1)}}\int _{-\infty}^{\infty}g(x)e^{-x(2n+1 /2)}\,dx,}$

wobei die erste Summe auf der rechten Seite über die nicht-trivialen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion genommen wird und ( g , h ) durch die Fourier-Transformation verbunden sind, so dass

${\displaystyle 2\pi g(x)=\int_{-\infty}^{\infty}h(u)e^{iux}\,du.}$

Als Summe über Farey-Sequenzen

Eine andere Formel für die Mertens-Funktion ist

${\displaystyle M(n)=-1+\sum_{a\in {\mathcal{F}}_{n}}e^{2\pi ia}}$   wo     ist die Farey-Folge der Ordnung n .${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$

Diese Formel wird im Beweis des Franel-Landau-Theorems verwendet .

Als Determinante

M ( n ) ist die Determinante der n  ×  n Redheffer-Matrix , einer (0,1)-Matrix, in der a _ij 1 ist, wenn entweder j 1 ist oder i j teilt .

Als Summe der Punktzahl unter n-dimensionalen Hyperboloiden

${\displaystyle M(x)=1-\sum _{2\leq a\leq x}1+{\underset {ab\leq x}{\sum _{a\geq 2}\sum _{b\geq 2}}}1-{\underset {abc\leq x}{\sum _{a\geq 2}\sum _{b\geq 2}\sum _{c\geq 2}}}1+{\underset {abcd\leq x}{\sum _{a\geq 2}\sum _{b\geq 2}\sum _{c\geq 2}\sum _{d\geq 2}}}1-\cdots }$

Diese Formulierung, die die Mertens-Funktion erweitert, schlägt asymptotische Schranken vor, die durch Betrachtung des Piltz-Teilerproblems erhalten werden, das das Dirichlet-Teilerproblem der Berechnung asymptotischer Schätzungen für die Summenfunktion der Teilerfunktion verallgemeinert .

Berechnung

Keine der zuvor genannten Methoden führt zu praktikablen Algorithmen zur Berechnung der Mertens-Funktion. Unter Verwendung von Siebmethoden, die denen der Primzahlzählung ähnlich sind, wurde die Mertens-Funktion für alle ganzen Zahlen bis zu einem zunehmenden Bereich von x berechnet .

Person	Jahr	Grenze
Mertens	1897	10 4
von Sterneck	1897	1,5 × 10 5
von Sterneck	1901	5 × 10 5
von Sterneck	1912	5 × 10 6
Neubauer	1963	10 8
Cohen und Kleid	1979	7,8 × 10 9
Kleid	1993	10 12
Lioen und van de Lune	1994	10 13
Kotnik und van de Lune	2003	10 14
Hurst	2016	10 16

Die Mertens-Funktion für alle ganzzahligen Werte bis x kann in O(x log log x) Zeit berechnet werden. Kombinatorische Algorithmen können isolierte Werte von M(x) in O(x ^2/3 (log log x) ^1/3 ) Zeit berechnen , und es sind auch schnellere nicht-kombinatorische Verfahren bekannt.

Siehe OEIS :  A084237 für Werte von M ( x ) bei Zehnerpotenzen .

Bekannte Obergrenzen

Ng stellt fest, dass die Riemannsche Hypothese (RH) äquivalent zu

${\displaystyle M(x)=O\left({\sqrt {x}}\exp \left({\frac {C\cdot \log x}{\log\log x}}\right)\right), }$

für eine positive Konstante . Andere obere Schranken wurden von Maier, Montgomery und Soundarajan unter der Annahme der RH ermittelt, einschließlich ${\displaystyle C>0}$

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}|M(x)|&\ll {\sqrt {x}}\exp \left(C_{2}\cdot (\log x)^{\frac {39}{61 }}\right)\\|M(x)|&\ll {\sqrt {x}}\exp \left({\sqrt {\log x}}(\log \log x)^{14}\right ).\end{ausgerichtet}}}$

Andere explizite Obergrenzen werden von Kotnik as . angegeben

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}|M(x)|&<{\frac {x}{4345}},\ {\text{ für }}x>2160535\\|M(x)|&<{ \frac {0.58782\cdot x}{\log^{11/9}(x)}},\ {\text{ for }}x>685.\end{aligned}}}$

Siehe auch

• Perrons Formel
• Liouvilles Funktion

Anmerkungen

Verweise

• Edwards, Harold (1974). Riemannsche Zetafunktion . Mineola, New York: Dover. ISBN 0-486-41740-9.
• Mertens, F. (1897). "" Über eine zahlentheoretische Funktion", Akademie Wissenschaftlicher Wien Mathematik-Naturlich". Kleiner Sitzungsber, IIa . 106 : 761–830.
• Odlyzko, AM ; te Riele, Herman (1985). "Widerlegen der Mertens-Vermutung" (PDF) . Zeitschrift für die reine und angewandte Mathematik . 357 : 138–160.
• Weisstein, Eric W. "Mertens-Funktion" . MathWorld .
• Sloane, N.J.A. (Hrsg.). "Sequenz A002321 (Mertens-Funktion)" . Die Online-Enzyklopädie der Integer-Sequenzen . OEIS-Stiftung.
• Deléglise, M. und Rivat, J. "Computing the Summation of the Möbius Function." Experiment. Mathematik. 5, 291-295, 1996. https://projecteuclid.org/euclid.em/1047565447
• Hurst, Gregor (2016). „Berechnungen der Mertens-Funktion und verbesserte Grenzen der Mertens-Vermutung“. arXiv : 1610.08551 [ math.NT ].
• Nathan Ng, "Die Verteilung der Summenfunktion der Möbius-Funktion", Proc. London Math. Soz. (3) 89 (2004) 361-389. http://www.cs.uleth.ca/~nathanng/RESEARCH/mobius2b.pdf