Mobilitätsanalogie - Mobility analogy

Die Mobilitätsanalogie, auch Admittanzanalogie oder Firestone-Analogie genannt , ist eine Methode, ein mechanisches System durch ein analoges elektrisches System darzustellen. Dies hat den Vorteil, dass es zu komplexen elektrischen Systemen, insbesondere im Bereich der Filter, eine große Menge an Theorien und Analysetechniken gibt . Durch die Umwandlung in eine elektrische Darstellung können diese Werkzeuge im elektrischen Bereich ohne Modifikation direkt auf ein mechanisches System angewendet werden. Ein weiterer Vorteil ergibt sich bei elektromechanischen Systemen : Durch die Überführung des mechanischen Teils eines solchen Systems in die elektrische Domäne kann das Gesamtsystem als einheitliches Ganzes analysiert werden.

Das mathematische Verhalten des simulierten elektrischen Systems ist identisch mit dem mathematischen Verhalten des abgebildeten mechanischen Systems. Jedes Element im elektrischen Bereich hat ein entsprechendes Element im mechanischen Bereich mit einer analogen Stoffgleichung . Alle Gesetze der Schaltungsanalyse , wie die Kirchhoffschen Gesetze , die im elektrischen Bereich gelten, gelten auch für die Analogie der mechanischen Beweglichkeit.

Die Mobilitätsanalogie ist eine der beiden wichtigsten mechanisch-elektrischen Analogien, die zur Darstellung mechanischer Systeme im elektrischen Bereich verwendet werden, die andere ist die Impedanzanalogie . Die Rollen von Spannung und Strom sind bei diesen beiden Methoden vertauscht, und die erzeugten elektrischen Darstellungen sind die Doppelkreise voneinander. Die Mobilitätsanalogie behält die Topologie des mechanischen Systems bei, wenn sie in die elektrische Domäne übertragen wird, während dies bei der Impedanzanalogie nicht der Fall ist. Andererseits bewahrt die Impedanzanalogie die Analogie zwischen elektrischer Impedanz und mechanischer Impedanz, während dies bei der Mobilitätsanalogie nicht der Fall ist.

Anwendungen

Die Mobilitätsanalogie wird häufig verwendet, um das Verhalten mechanischer Filter zu modellieren . Dies sind Filter, die für den Einsatz in einer elektronischen Schaltung bestimmt sind, aber ausschließlich mit mechanischen Schwingungswellen arbeiten. Am Eingang und Ausgang des Filters sind Wandler vorgesehen, um zwischen dem elektrischen und dem mechanischen Bereich umzuwandeln.

Eine weitere sehr verbreitete Anwendung findet sich im Bereich von Audiogeräten, wie beispielsweise Lautsprechern. Lautsprecher bestehen aus einem Wandler und mechanischen beweglichen Teilen. Akustische Wellen selbst sind Wellen mechanischer Bewegung: von Luftmolekülen oder einem anderen flüssigen Medium.

Elemente

Bevor eine elektrische Analogie für ein mechanisches System entwickelt werden kann, muss es zunächst als abstraktes mechanisches Netzwerk beschrieben werden . Das mechanische System wird in eine Reihe von idealen Elementen zerlegt, von denen jedes dann mit einem elektrischen Analogon gepaart werden kann. Die Symbole für diese mechanischen Elemente in Netzplänen sind in den folgenden Abschnitten zu jedem einzelnen Element dargestellt.

Die mechanischen Analogien der konzentrierten elektrischen Elemente sind auch Elemente in einen Topf geworfen , das heißt, wird angenommen , dass die mechanische Komponente , das Element besitz ist klein genug , dass die durch die Zeit genommen mechanischen Wellen von einem Ende der Komponente zum anderen vernachlässigt werden kann fortzupflanzen. Analogien können auch für verteilte Elemente wie Übertragungsleitungen entwickelt werden, aber die größten Vorteile liegen bei Schaltungen mit konzentrierten Elementen. Für die drei passiven elektrischen Elemente Widerstand , Induktivität und Kapazität sind mechanische Analogien erforderlich . Was diese Analogien sind, hängt davon ab, welche mechanische Eigenschaft gewählt wird, um Spannung darzustellen , und welche Eigenschaft gewählt wird, um Strom darzustellen . In der Mobilitätsanalogie ist das Analogon der Spannung die Geschwindigkeit und das Analogon des Stroms die Kraft . Die mechanische Impedanz ist definiert als das Verhältnis von Kraft zu Geschwindigkeit, also nicht analog zur elektrischen Impedanz . Vielmehr ist es das Analogon der elektrischen Admittanz , der Kehrwert der Impedanz. Mechanische Admittanz wird häufiger als Mobilität bezeichnet, daher der Name der Analogie.

Widerstand

Das mechanische Symbol für einen Dämpfer (links) und seine elektrische Analogie (rechts). Das Symbol soll an einen Dashpot erinnern .

Die mechanische Analogie zum elektrischen Widerstand ist der Energieverlust eines sich bewegenden Systems durch Prozesse wie Reibung . Eine mechanische Komponente, die einem Widerstand analog ist, ist ein Stoßdämpfer, und die dem umgekehrten Widerstand (Leitfähigkeit) analoge Eigenschaft ist die Dämpfung (invers, weil die elektrische Impedanz die Analogie zur umgekehrten mechanischen Impedanz ist). Ein Widerstand unterliegt der konstitutiven Gleichung des Ohmschen Gesetzes ,

${\displaystyle i=vG}$

Die analoge Gleichung im mechanischen Bereich lautet:

${\displaystyle F=uR_{\mathrm {m}}}$

wo,

G = 1/ R ist Leitwert

R ist Widerstand

v ist Spannung

ich bin aktuell

R _m ist mechanischer Widerstand oder Dämpfung

F ist Kraft

u ist die durch die Kraft induzierte Geschwindigkeit.

Die elektrische Leitfähigkeit stellt den Realteil der elektrischen Admittanz dar . Ebenso ist der mechanische Widerstand der reale Teil der mechanischen Impedanz .

Induktivität

Das mechanische Symbol für ein Nachgiebigkeitselement (links) und seine elektrische Analogie (rechts). Das Symbol soll an eine Quelle erinnern.

Die mechanische Analogie der Induktivität in der Mobilitätsanalogie ist die Nachgiebigkeit. In der Mechanik ist es üblicher, die Steifigkeit zu diskutieren , die Umkehrung der Nachgiebigkeit. Ein einem Induktor analoges mechanisches Bauteil ist eine Feder . Eine Induktivität wird durch die Stoffgleichung bestimmt,

${\displaystyle v=L{\frac {di}{dt}}}$

Die analoge Gleichung im mechanischen Bereich ist eine Form des Hookeschen Gesetzes ,

${\displaystyle u=C_{\mathrm {m} }{\frac {dF}{dt}}}$

wo,

L ist Induktivität

Es ist Zeit

C _m = 1/ S ist die mechanische Nachgiebigkeit

S ist Steifigkeit

Die Impedanz einer Induktivität ist rein imaginär und ist gegeben durch

${\displaystyle Z=j\omega L}$

Die analoge mechanische Admittanz ist gegeben durch

${\displaystyle Y_{\textrm{m}}=j\omega C_{\textrm{m}}}$

wo,

Z ist die elektrische Impedanz

j ist die imaginäre Einheit

ω ist die Kreisfrequenz

Y _m ist die mechanische Admittanz.

Kapazität

Das mechanische Symbol für eine Masse (links) und seine elektrische Analogie (rechts). Der quadratische Winkel unter der Masse soll anzeigen, dass die Bewegung der Masse relativ zu einem Bezugsrahmen erfolgt.

Die mechanische Analogie der Kapazität in der Mobilitätsanalogie ist Masse . Ein mechanisches Bauteil analog zu einem Kondensator ist ein großes, starres Gewicht. Ein Kondensator wird durch die konstitutive Gleichung geregelt,

${\displaystyle i=C{\frac {dv}{dt}}}$

Die analoge Gleichung im mechanischen Bereich ist das zweite Newtonsche Bewegungsgesetz ,

${\displaystyle F=M{\frac {du}{dt}}}$

wo,

C ist Kapazität

M ist Masse

Die Impedanz eines Kondensators ist rein imaginär und ist gegeben durch

${\displaystyle Z={1\overj\omega C}}$

Die analoge mechanische Admittanz ist gegeben durch

${\displaystyle Y_{\textrm{m}}={1\overj\omega M}}$.

Trägheit

Eine merkwürdige Schwierigkeit ergibt sich bei der Masse als Analogie zu einem elektrischen Element. Dies hängt damit zusammen, dass in mechanischen Systemen die Geschwindigkeit der Masse (und vor allem ihre Beschleunigung) immer gegen einen festen Bezugsrahmen, normalerweise die Erde, gemessen wird. Als zweipoliges Systemelement betrachtet, hat die Masse ein Terminal bei der Geschwindigkeit ''u'', analog zum elektrischen Potential. Der andere Anschluss hat eine Geschwindigkeit von Null und entspricht dem elektrischen Erdpotential. Somit kann Masse nicht als Analogon eines ungeerdeten Kondensators verwendet werden.

Dies veranlasste Malcolm C. Smith von der University of Cambridge im Jahr 2002, ein neues Energiespeicherelement für mechanische Netzwerke namens Trägheit zu definieren . Eine Komponente, die eine Trägheit besitzt, wird als Trägheit bezeichnet . Die beiden Terminals eines Trägheitsmoments dürfen im Gegensatz zu einer Masse zwei verschiedene, beliebige Geschwindigkeiten und Beschleunigungen haben. Die konstitutive Gleichung eines Inerters ist gegeben durch

${\displaystyle F=B\left({\frac {du_{\textrm {2}}}{dt}}-{\frac {du_{\textrm {1}}}{dt}}\right)=B{ \frac {d\Delta u}{dt}}}$

wo,

F ist eine gleiche und entgegengesetzte Kraft, die auf die beiden Anschlüsse ausgeübt wird

B ist die Trägheit

u ₁ und u ₂ sind die Geschwindigkeiten an den Klemmen 1 bzw. 2

Δ u = u ₂ − u ₁

Die Trägheit hat die gleichen Einheiten wie die Masse (Kilogramm im SI-System ) und der Name gibt ihre Beziehung zur Trägheit an . Smith definierte nicht nur ein netzwerktheoretisches Element, er schlug auch eine Konstruktion für ein reales mechanisches Bauteil vor und fertigte einen kleinen Prototypen an. Smiths Inerter besteht aus einem Kolben, der in oder aus einem Zylinder gleiten kann. Der Kolben ist mit einem Zahnstangengetriebe verbunden, das ein Schwungrad im Zylinder antreibt. Es können zwei gegenläufige Schwungräder vorhanden sein, um einen Drehmomentaufbau zu verhindern . Die beim Einschieben des Kolbens bereitgestellte Energie wird zurückgegeben, wenn sich der Kolben in die entgegengesetzte Richtung bewegt, daher speichert das Gerät Energie, anstatt sie wie ein Masseblock abzugeben. Allerdings kann die tatsächliche Masse des Trägheitsmessers sehr klein sein, ein idealer Trägheitsträger hat keine Masse. Zwei Punkte an der Trägheit, der Kolben und das Zylindergehäuse, können unabhängig mit anderen Teilen des mechanischen Systems verbunden werden, ohne dass einer von ihnen notwendigerweise mit Masse verbunden ist.

Smiths Inerter hat eine Anwendung im Formel-1- Rennsport gefunden, wo er als J-Dämpfer bekannt ist. Es dient als Alternative zum mittlerweile verbotenen abgestimmten Massendämpfer und ist Bestandteil der Fahrzeugaufhängung. Möglicherweise wurde es 2005 nach einer Zusammenarbeit mit Smith zum ersten Mal heimlich von McLaren verwendet . Es wird jetzt angenommen, dass andere Teams es verwenden. Das Inerter ist viel kleiner als der abgestimmte Massendämpfer und gleicht Belastungsschwankungen der Reifen auf der Aufstandsfläche aus . Smith schlägt auch vor, den Inertator zu verwenden, um Maschinenvibrationen zu reduzieren.

Die Schwierigkeit mit der Masse in mechanischen Analogien beschränkt sich nicht auf die Mobilitätsanalogie. Ein entsprechendes Problem tritt auch bei der Impedanzanalogie auf, allerdings sind dann nicht mehr Kondensatoren, sondern ungeerdete Induktivitäten mit den Standardelementen darstellbar.

Resonator

Ein mechanischer Resonator besteht sowohl aus einem Massenelement als auch aus einem Nachgiebigkeitselement. Mechanische Resonatoren sind analog zu elektrischen LC-Schaltungen bestehend aus Induktivität und Kapazität. Reale mechanische Komponenten haben unvermeidlich sowohl Masse als auch Nachgiebigkeit, daher ist es ein praktischer Vorschlag, Resonatoren als einzelne Komponente herzustellen. Tatsächlich ist es schwieriger, eine reine Masse oder reine Nachgiebigkeit als einzelne Komponente herzustellen. Eine Feder kann mit einer bestimmten Nachgiebigkeit und minimierter Masse hergestellt werden, oder es kann eine Masse mit minimierter Nachgiebigkeit hergestellt werden, aber beides kann nicht vollständig eliminiert werden. Mechanische Resonatoren sind eine Schlüsselkomponente von mechanischen Filtern.

Generatoren

Das mechanische Symbol für einen Gleichlaufgenerator (links) und seine elektrische Analogie (rechts)

Das mechanische Symbol für einen Konstantkraftgenerator (links) und seine elektrische Analogie (rechts)

Analoga gibt es für die aktiven elektrischen Elemente der Spannungsquelle und der Stromquelle (Generatoren). Das mechanische Analogon in der Mobilitätsanalogie des Konstantstromgenerators ist der Konstantkraftgenerator. Das mechanische Analogon des Konstantspannungsgenerators ist der Konstantgeschwindigkeitsgenerator.

Ein Beispiel für einen Konstantkraftgenerator ist die Konstantkraftfeder . Ein Beispiel für einen praktischen Konstantgeschwindigkeitsgenerator ist eine leicht belastete leistungsstarke Maschine, wie beispielsweise ein Motor , der einen Riemen antreibt . Dies ist analog zu einer realen Spannungsquelle, beispielsweise einer Batterie, die unter Last nahe der konstanten Spannung bleibt, vorausgesetzt, der Lastwiderstand ist viel höher als der Innenwiderstand der Batterie.

Wandler

Elektromechanische Systeme erfordern Wandler , um zwischen dem elektrischen und dem mechanischen Bereich umzuwandeln. Sie sind analog zu Zweitor-Netzwerken und können wie diese durch ein Paar simultaner Gleichungen und vier willkürliche Parameter beschrieben werden. Es gibt zahlreiche mögliche Darstellungen, aber die für die Mobilitätsanalogie am besten geeignete Form hat die willkürlichen Parameter in Admittanzeinheiten. In Matrixform (wobei die elektrische Seite als Port 1 genommen wird) lautet diese Darstellung

${\displaystyle {\begin{bmatrix}i\\u\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}y_{11}&y_{12}\\y_{21}&y_{22}\end{bmatrix}} {\begin{bmatrix}v\\F\end{bmatrix}}}$

Das Element ist die mechanische Kurzschlussadmittanz, dh die Admittanz, die von der mechanischen Seite des Wandlers bereitgestellt wird, wenn an der elektrischen Seite eine Nullspannung (Kurzschluss) angelegt wird. Das Element ist umgekehrt die unbelastete elektrische Admittanz, dh die der elektrischen Seite zugeführte Admittanz, wenn die mechanische Seite keine Last antreibt (Nullkraft). Die verbleibenden zwei Elemente und beschreiben die Vorwärts- bzw. Rückwärtsübertragungsfunktionen des Wandlers. Sie sind beide analog zu den Übertragungsadmittanzen und sind hybride Verhältnisse einer elektrischen und mechanischen Größe. ${\displaystyle y_{22}\,}$${\displaystyle y_{11}\,}$${\displaystyle y_{21}\,}$${\displaystyle y_{12}\,}$

Transformer

Die mechanische Analogie eines Transformators ist eine einfache Maschine wie eine Riemenscheibe oder ein Hebel . Die auf die Last aufgebrachte Kraft kann größer oder kleiner als die Eingangskraft sein, je nachdem, ob der mechanische Vorteil der Maschine größer oder kleiner als eins ist. Der mechanische Vorteil ist analog zum Kehrwert des Übersetzungsverhältnisses des Transformators in der Mobilitätsanalogie. Ein mechanischer Vorteil kleiner als Eins entspricht einem Aufwärtstransformator und größer als Eins entspricht einem Abwärtstransformator.

Leistungs- und Energiegleichungen

Tabelle analoger Leistungs- und Energiegleichungen in der Mobilitätsanalogie

Elektrische Größe	Elektrischer Ausdruck	Mechanische Analogie	Mechanischer Ausdruck
Energieversorgung	${\displaystyle E=\int vi\ dt}$	Energieversorgung	${\displaystyle E=\int Fu\dt}$
Stromversorgung	${\displaystyle P=vi}$	Stromversorgung	${\displaystyle P=Fu}$
Verlustleistung in einem Widerstand	${\displaystyle P=i^{2}R={v^{2} \over R}}$	Verlustleistung in einem Dämpfer	${\displaystyle P=u^{2}R_{\mathrm {m}}={F^{2} \over R_{\mathrm {m}}}}$
In einem Induktormagnetfeld gespeicherte Energie	${\displaystyle E={\tfrac {1}{2}}Li^{2}}$	In einer Quelle gespeicherte potentielle Energie	${\displaystyle E={\tfrac {1}{2}}C_{\mathrm {m}}F^{2}}$
In einem elektrischen Kondensatorfeld gespeicherte Energie	${\displaystyle E={\tfrac {1}{2}}Cv^{2}}$	Kinetische Energie einer bewegten Masse	${\displaystyle E={\tfrac {1}{2}}Mu^{2}}$

Beispiele

Einfacher Resonanzkreis

Einfacher mechanischer Resonator (links) und seine Mobilitätsanalogie-Ersatzschaltung (rechts)

Die Figur zeigt eine mechanische Anordnung einer Plattform der Masse M , die durch eine Feder der Steifigkeit S und einen Widerstandsdämpfer R _m über dem Substrat aufgehängt ist . Rechts neben dieser Anordnung ist das Mobilitätsanalogie-Ersatzschaltbild dargestellt, das aus einem Parallelschwingkreis besteht . Dieses System hat eine Resonanzfrequenz und kann eine Eigenfrequenz der Schwingung haben, wenn es nicht zu stark gedämpft wird.

Vorteile und Nachteile

Der Hauptvorteil der Mobilitätsanalogie gegenüber ihrer Alternative, der Impedanzanalogie , besteht darin, dass sie die Topologie des mechanischen Systems beibehält. Elemente, die im mechanischen System in Reihe geschaltet sind, sind im elektrischen Ersatzschaltbild in Reihe geschaltet, und Elemente, die im mechanischen System parallel sind, bleiben im elektrischen Äquivalent parallel.

Der Hauptnachteil der Mobilitätsanalogie besteht darin, dass sie die Analogie zwischen elektrischer und mechanischer Impedanz nicht aufrechterhält. Die mechanische Impedanz wird als elektrische Admittanz und ein mechanischer Widerstand als elektrischer Leitwert im elektrischen Ersatzschaltbild dargestellt. Kraft ist nicht analog zur Spannung ( Generatorspannungen werden oft als elektromotorische Kraft bezeichnet ), sondern analog zum Strom.

Geschichte

Historisch wurde die Impedanzanalogie lange vor der Mobilitätsanalogie verwendet. Die mechanische Admittanz und die damit verbundene Mobilitätsanalogie wurden 1932 von FA Firestone eingeführt, um das Problem der Erhaltung von Topologien zu lösen. W. Hähnle hatte in Deutschland unabhängig dieselbe Idee. Horace M. Trent entwickelte eine Behandlung von Analogien im Allgemeinen aus der Perspektive der mathematischen Graphentheorie und führte eine eigene neue Analogie ein.

Verweise

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