Schwingkreis - Osculating circle

Ein schmiegender Kreis

Oskulierende Kreise der archimedischen Spirale , verschachtelt durch das Tait-Kneser-Theorem . "Die Spirale selbst ist nicht gezeichnet: Wir sehen sie als den Ort der Punkte, an denen die Kreise besonders nahe beieinander liegen."

In der Differentialgeometrie von Kurven wurde der Schmiegkreis einer ausreichend glatten ebenen Kurve an einem gegebenen Punkt p auf der Kurve traditionell als der Kreis definiert, der durch p und ein Paar zusätzlicher Punkte auf der Kurve infinitesimal nahe bei p verläuft . Sein Mittelpunkt liegt auf der inneren Normalen und seine Krümmung definiert die Krümmung der gegebenen Kurve an diesem Punkt. Dieser Kreis, der sich unter allen Tangentialkreisen an dem gegebenen Punkt am engsten an die Kurve annähert, wurde von Leibniz circulus osculans (lateinisch für "küssender Kreis") genannt .

Der Mittelpunkt und der Radius des Schmiegkreises an einem bestimmten Punkt werden als Krümmungsmittelpunkt und Krümmungsradius der Kurve an diesem Punkt bezeichnet. Eine geometrische Konstruktion wurde von Isaac Newton in seinen Principia beschrieben :

An jedem Ort ist die Geschwindigkeit gegeben, mit der ein Körper eine gegebene Figur durch Kräfte beschreibt, die auf ein gemeinsames Zentrum gerichtet sind: um dieses Zentrum zu finden.

— Isaac Newton, Principia ; VORTRAG V. PROBLEM I.

Nichttechnische Beschreibung

Stellen Sie sich ein Auto vor, das sich auf einer weiten, flachen Ebene entlang einer kurvigen Straße bewegt. Plötzlich rastet das Lenkrad an einer Stelle der Straße in seiner aktuellen Position ein. Danach bewegt sich das Auto in einem Kreis, der die Straße an der Sperrstelle "küsst". Die Krümmung des Kreises ist an diesem Punkt gleich der der Straße. Dieser Kreis ist der Schmiegkreis der Straßenkurve an diesem Punkt.

Mathematische Beschreibung

Sei γ ( s ) eine reguläre parametrische ebene Kurve , wobei s die Bogenlänge (der natürliche Parameter ) ist. Dies bestimmt den Einheitstangensvektor T ( s ), den Einheitsnormalenvektor N ( s ), die vorzeichenbehaftete Krümmung k ( s ) und den Krümmungsradius R ( s ) an jedem Punkt, für den s zusammengesetzt ist:

T(s)=\gamma '(s),\quad T'(s)=k(s)N(s),\quad R(s)={\frac {1}{\left|k (s)\rechts|}}.

Angenommen, P ist ein Punkt auf γ mit k ≠ 0. Der zugehörige Krümmungsmittelpunkt ist der Punkt Q im Abstand R entlang N , in die gleiche Richtung, wenn k positiv ist, und in die entgegengesetzte Richtung, wenn k negativ ist. Der Kreis mit Mittelpunkt Q und Radius R heißt Schmiegkreis zur Kurve γ im Punkt P .

Wenn C eine reguläre Raumkurve ist, wird der Schmiegkreis auf ähnliche Weise unter Verwendung des Hauptnormalenvektors N definiert . Sie liegt in der Schmiegebene , der Ebene, die von den Tangenten- und Hauptnormalenvektoren T und N im Punkt P aufgespannt wird .

Die ebene Kurve kann auch in einer anderen regulären Parametrisierung angegeben werden

$\gamma(t)={\begin{bmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\end{bmatrix}}$

wobei regulär das für alle bedeutet . Dann lauten die Formeln für die vorzeichenbehaftete Krümmung k ( t ), den Normaleneinheitsvektor N ( t ), den Krümmungsradius R ( t ) und den Mittelpunkt Q ( t ) des Schmiegkreises $\gamma '(t)\neq 0$ $t$

k(t)={\frac {x_{1}'(t)\cdot x_{2}''(t)-x_{1}''(t)\cdot x_{2}'(t )}{\left(x_{1}'\left(t\right)^{2}+x_{2}'\left(t\right)^{2}\right)^{\frac {3}{ 2}}}},\qquad N(t)={\frac {1}{\|\gamma '(t)\|}}\cdot {\begin{bmatrix}-x_{2}'(t)\ \x_{1}'(t)\end{bmatrix}}

R(t)=\left|{\frac {\left(x_{1}'\left(t\right)^{2}+x_{2}'\left(t\right)^{2 }\right)^{\frac {3}{2}}}{x_{1}'(t)\cdot x_{2}''(t)-x_{1}''(t)\cdot x_{ 2}'(t)}}\right|\qquad {\text{und}}\qquad Q(t)=\gamma(t)+{\frac{1}{k(t)\cdot \|\gamma '(t)\|}}\cdot {\begin{bmatrix}-x_{2}'(t)\\x_{1}'(t)\end{bmatrix}}\,.

Kartesischen Koordinaten

Den Mittelpunkt des Schmiegkreises erhalten wir in kartesischen Koordinaten, wenn wir eine Funktion f durch $t = x$ und $y = f (x)$ ersetzen . Wenn wir die Berechnungen durchführen, sind die Ergebnisse für die X- und Y-Koordinaten des Mittelpunkts des Schmiegkreises:

x_{c}=x-f'{\frac {1+f'^{2}}{f''}}\quad {\text{and}}\quad y_{c}=f+{\ frac {1+f'^{2}}{f''}}

Direkte geometrische Ableitung

Betrachten Sie drei Punkte , und , wo . Um die Mitte des Kreises zu finden , die diese Punkte durchlaufen, haben wir zunächst das Segment Bisektoren von zu finden und dann dem Punkt , wo diese Linien kreuzen. Daher erhält man die Koordinaten von durch Lösen eines linearen Systems aus zwei Gleichungen: ${\textstyle P_{0}}$ ${\textstyle P_{1}}$ ${\textstyle P_{2}}$ ${\textstyle P_{i}=(x_{i},y_{i})}$ ${\textstyle P_{0}P_{1}}$ ${\textstyle P_{1}P_{2}}$ ${\textstyle C}$ ${\textstyle C}$

\left(\delta x_{i}\right)x_{c}+\left(\delta y_{i}\right)y_{c}={\frac {1}{2}}\left( \delta^{2}x_{i}+\delta^{2}y_{i}\right)\,\,\,\,i=1,2

wo , für .

{\textstyle \delta u_{i}=u_{i}-u_{i-1}}

{\textstyle \delta^{2}u_{i}=u_{i}^{2}-u_{i-1}^{2}}

{\textstyle u=x,y}

Betrachten Sie nun die Kurve und setzen Sie , und . Zur zweiten Ordnung in haben wir ${\textstyle P=P(\tau)}$ ${\textstyle P_{0}=P(\tau -d\tau)}$ ${\textstyle P_{1}=P(\tau)}$ ${\textstyle P_{2}=P(\tau +d\tau)}$ ${\textstyle d\tau }$

{\begin{ausgerichtet}\delta u_{1}=&{\dot {u}}d\tau -{\frac {1}{2}}{\ddot {u}}d\tau ^{ 2}\\\delta ^{2}u_{1}=&2u{\dot {u}}d\tau -d\tau ^{2}\left({\dot {u}}^{2}+u {\ddot {u}}\right)\end{ausgerichtet}}

und ein ähnlicher Ausdruck für und wo das Vorzeichen von umgekehrt ist. Durch Entwicklung der Gleichung für und Gruppierung der Terme in und erhalten wir

{\textstyle \delta u_{2}}

{\textstyle \delta ^{2}u_{2}}

{\textstyle d\tau ^{2}}

{\textstyle x_{c},y_{c}}

{\textstyle d\tau }

{\textstyle d\tau ^{2}}

{\begin{ausgerichtet}{\dot {x}}(x_{c}-x)+{\dot {y}}(y_{c}-y)=&0\\{\ddot {x} }(x_{c}-x)+{\ddot {y}}(y_{c}-y)=&{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2} \end{ausgerichtet}}

Bezeichnet man die erste Gleichung bedeutet , daß bei an den Einheitstangentenvektor orthogonal ist :

{\textstyle \mathbf{r} ={\overrightarrow {P_{1}C}}}

{\textstyle \mathbf{r}}

{\textstyle P_{1}}

\mathbf {r} .\mathbf {t} =0

Die zweite Beziehung bedeutet, dass

\mathbf {k} .\mathbf {r} =1

wo

\mathbf {k} ={\frac {d\mathbf {t} }{ds}}=({\ddot {x}},{\ddot {y}})/\left({\dot { x}}^{2}+{\dot{y}}^{2}\right)

ist der Krümmungsvektor. In der ebenen Geometrie ist orthogonal zu weil

{\textstyle\mathbf{k}}

{\textstyle\mathbf{t}}

\mathbf {t} .\mathbf {k} =\mathbf {t} {\frac {d\mathbf {t} }{ds}}={\frac {1}{2}}{\frac { d(\mathbf{t} .\mathbf{t})}{ds}}={\frac {1}{2}}{\frac {d(1)}{ds}}=0

Daher und der Radius des Schmiegkreises ist genau der Kehrwert der Krümmung.

{\textstyle \mathbf {k} .\mathbf {r} = kr}

Wenn wir die Gleichung nach den Koordinaten von auflösen, finden wir ${\textstyle C}$

{\begin{ausgerichtet}x_{c}-x=&{\frac {{\dot {y}}\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}} ^{2}\right)}{{\dot {y}}{\ddot {x}}-{\dot {x}}{\ddot {y}}}}\\y_{c}-y=& {\frac {-{\dot {x}}\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}\right)}{{\dot {y}} {\ddot {x}}-{\dot {x}}{\ddot {y}}}}\end{ausgerichtet}}

Pendelkreis als Minimierungsproblem

Betrachten Sie eine Kurve, die intrinsisch durch die Gleichung definiert ist ${\textstyle C}$

f(x,y)=0

die wir uns als den Schnitt der Fläche durch die Ebene vorstellen können . Die Normale zur Kurve an einem Punkt ist die Steigung an diesem Punkt ${\textstyle z=f(x,y)}$ ${\textstyle z=0}$ ${\textstyle\mathbf{n}}$ ${\textstyle P_{0}=(x_{0},y_{0})}$

\mathbf{n} =(f_{x},f_{y})

Daher sind die Mittelpunkte der Tangentialkreise gegeben durch

{\textstyle B_{\alpha}}

X_{c}=x_{0}-\alpha f_{x}\,\,;\,\,Y_{c}=y_{0}-\alpha f_{y}

wo ist Parameter. Für einen gegebenen Radius von is ${\textstyle\alpha}$ ${\textstyle\alpha,}$ ${\textstyle R}$ ${\textstyle B_{\alpha}}$

R^{2}=\alpha^{2}(f_{x}^{2}+f_{y}^{2})

Wir möchten unter allen möglichen Kreisen denjenigen finden, der am besten zur Kurve passt .

{\textstyle B_{\alpha}}

Die Koordinaten eines Punktes können geschrieben werden als ${\textstyle P_{1}\in B_{\alpha}}$

x_{1}=X_{c}+R\cos\theta\,\,;\,\,y_{1}=Y_{c}+R\sin\theta

wo für , , dh

{\textstyle \theta =\theta _{0}}

{\textstyle P_{1}=P_{0}}

R\cos\theta_{0}=\alpha f_{x}\,\,;\,\,R\sin\theta_{0}=\alpha f_{y}

Betrachten Sie nun einen Punkt in der Nähe von , wo sein „Winkel“ ist . Entwickeln der trigonometrischen Funktionen zweiter Ordnung in und unter Verwendung der obigen Beziehungen, Koordinaten von are

{\textstyle P_{1}\in B_{\alpha}}

{\textstyle P_{0}}

{\textstyle \theta_{1}=\theta_{0}+d\theta}

{\textstyle d\theta }

P_{1}

{\begin{aligned}x_{1}=&x_{0}-\alpha f_{y}d\theta -{\frac {1}{2}}\alpha f_{x}\left(d\ theta \right)^{2}\\y_{1}=&y_{0}+\alpha f_{x}d\theta -{\frac {1}{2}}\alpha f_{y}\left(d \theta \right)^{2}\end{ausgerichtet}}

Wir können nun die Funktion am Punkt und ihre Variation auswerten . Die Abweichung ist konstruktionsbedingt null zur ersten Ordnung (zur ersten Ordnung in , liegt auf der Tangente an die Kurve ). Die Variation proportional zu ist

{\textstyle f(,)}

{\textstyle P_{1}}

f(x_{1},y_{1})-f(x_{0},y_{0})

{\textstyle d\theta }

{\textstyle\theta}

{\textstyle P_{1}}

{\textstyle C}

(d\theta)^{2}

df=-{\frac {1}{2}}\alpha \left(f_{x}^{2}+f_{y}^{2}\right)+{\frac {1}{2 }}\alpha^{2}\left(f_{y}^{2}f_{xx}+f_{x}^{2}f_{yy}-f_{x}f_{y}f_{xy}\ Rechts)

und diese Variation ist null, wenn wir uns entscheiden

\alpha =\left(f_{x}^{2}+f_{y}^{2}\right){\bigg /}\left(f_{y}^{2}f_{xx}+ f_{x}^{2}f_{yy}-f_{x}f_{y}f_{xy}\right)

Daher ist der Radius des Schmiegkreises

R=\left|{\frac {\left(f_{x}^{2}+f_{y}^{2}\right)^{3/2}}{\left(f_{y} ^{2}f_{xx}+f_{x}^{2}f_{yy}-f_{x}f_{y}f_{xy}\right)}}\right|

Für eine explizite Funktion finden wir die Ergebnisse des vorherigen Abschnitts. $f(x,y)=yg(x)$

Eigenschaften

Für eine Kurve C, die durch hinreichend glatte parametrische Gleichungen (zweimal stetig differenzierbar) gegeben ist, kann der Schmiegkreis durch ein begrenzendes Verfahren erhalten werden: Es ist die Grenze der Kreise, die durch drei verschiedene Punkte auf C gehen, wenn sich diese Punkte P nähern . Dies ist völlig analog zur Konstruktion der Tangente an eine Kurve als Grenze der Sekantenlinien durch Paare verschiedener Punkte auf C, die sich P nähern .

Der Schmiegkreis S zu einer ebenen Kurve C in einem regelmäßigen Punkt P kann durch folgende Eigenschaften charakterisiert werden:

Der Kreis S geht durch P .
Der Kreis S und die Kurve C haben bei P die gemeinsame Tangente und damit die gemeinsame Normale.
In der Nähe von P fällt der Abstand zwischen den Punkten der Kurve C und dem Kreis S in Normalenrichtung als Kubik oder eine höhere Potenz des Abstands zu P in tangentialer Richtung ab.

Dies wird normalerweise als "die Kurve und ihr Schmiegkreis haben den Kontakt zweiter oder höherer Ordnung " bei P ausgedrückt . Grob gesagt stimmen die Vektorfunktionen, die C und S repräsentieren , zusammen mit ihren ersten und zweiten Ableitungen bei P überein .

Wenn die Ableitung der Krümmung nach s bei P ungleich Null ist, dann schneidet der Schmiegkreis die Kurve C bei P . Punkte P, an denen die Ableitung der Krümmung null ist, heißen Scheitelpunkte . Wenn P eine Ecke ist, dann haben C und sein Schmiegkreis Kontakt der Ordnungszahl drei. Wenn die Krümmung außerdem bei P ein von Null verschiedenes lokales Maximum oder Minimum hat, dann berührt der Schmiegkreis die Kurve C bei P , aber kreuzt sie nicht.

Die Kurve C kann als Hüllkurve der Einparameterfamilie ihrer Schmiegkreise erhalten werden. Ihre Zentren, dh die Krümmungsmittelpunkte, bilden eine weitere Kurve, die Evolute von C genannt wird . Scheitelpunkte von C entsprechen singulären Punkten auf seiner Evolute.

Innerhalb eines Bogens einer Kurve C, innerhalb dessen die Krümmung monoton ist (d. h. weg von jedem Scheitelpunkt der Kurve), sind die Schmiegkreise alle disjunkt und ineinander verschachtelt. Dieses Ergebnis ist als Tait-Kneser-Theorem bekannt .

Beispiele

Parabel

Der Schmiegkreis der Parabel an ihrem Scheitel hat einen Radius von 0,5 und einen Kontakt vierter Ordnung.

Für die Parabel

\gamma(t)={\begin{bmatrix}t\\t^{2}\end{bmatrix}}

der Krümmungsradius ist

R(t)=\left|{\frac {\left(1+4\cdot t^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}{2}}\right|

Am Scheitelpunkt beträgt der Krümmungsradius R (0) = 0,5 (siehe Abbildung). Die Parabel hat dort Kontakt vierter Ordnung mit ihrem Schmiegkreis. Für große t nimmt der Krümmungsradius ~ t ^{3 zu} , dh die Kurve wird immer gerader. $\gamma (0)={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}$

Lissajous-Kurve

Eine Lissajous-Kurve mit Frequenzverhältnis (3:2) kann wie folgt parametriert werden

\gamma(t)={\begin{bmatrix}\cos(3t)\\\sin(2t)\end{bmatrix}}.

Es hat eine Krümmung k ( t ) mit Vorzeichen, einen Normaleneinheitsvektor N ( t ) und einen Krümmungsradius R ( t ) gegeben durch

k(t)={\frac {6\cos(t)(8(\cos t)^{4}-10(\cos t)^{2}+5)}{(232(\cos t)^{4}-97(\cos t)^{2}+13-144(\cos t)^{6})^{3/2}}}\,,

N(t)={\frac {1}{\|\gamma '(t)\|}}\cdot {\begin{bmatrix}-2\cos(2t)\\-3\sin(3t )\end{bmatrix}}

und

R(t)=\left|{\frac {\left(232\cos^{4}(t)-97\cos^{2}(t)+13-144\cos^{6}( t)\right)^{3/2}}{6\cos(t)\left(8\cos^{4}(t)-10\cos^{2}(t)+5\right)}} \rechts|.

Siehe die Abbildung für eine Animation. Dort ist der "Beschleunigungsvektor" die zweite Ableitung nach der Bogenlänge $s$ . ${\textstyle {\frac {\mathrm{d}^{2}\gamma(s)}{\mathrm{d}s^{2}}}}$

Zykloide

Zykloide (blau), ihr Schmiegkreis (rot) und Evolute (grün).

Eine Zykloide mit Radius r kann wie folgt parametrisiert werden:

\gamma(t)={\begin{bmatrix}r\left(t-\sin t\right)\\r\left(1-\cos t\right)\end{bmatrix}}

Seine Krümmung wird durch die folgende Formel angegeben:

\kappa(t)=-{\frac {\left|\csc\left({\frac{t}{2}}\right)\right|}{4r}}

was gibt:

R(t)={\frac{4r}{\left|\csc\left({\frac{t}{2}}\right)\right|}}

Siehe auch

Anmerkungen

^ ^a ^b Ghys, tienne ; Tabachnikov, Sergej ; Timorin, Vladlen (2013). „Schiebekurven: um das Tait-Kneser-Theorem“. Der Mathematische Intelligenz . 35 (1): 61–66. arXiv : 1207.5662 . doi : 10.1007/s00283-012-9336-6 . MR 3.041.992 . S2CID 18183204 .
^ TatsächlichreichenPunkt P plus zwei zusätzliche Punkte, einer auf jeder Seite von P. Siehe Lamm (online): Horace Lamb (1897). Ein elementarer Kurs der Infinitesimalrechnung . Universitätspresse. P. 406 . Schmiegkreis.
^ Weisstein, Eric W. "Zykloide" . MathWorld .

Weiterlesen

Einige historische Anmerkungen zum Studium der Krümmung finden Sie unter

Grattan-Guinness & HJM Bos (2000). Von der Infinitesimalrechnung zur Mengenlehre 1630-1910: Eine einführende Geschichte . Princeton University Press. P. 72. ISBN 0-691-07082-2.
Roy Porter, Herausgeber (2003). Die Cambridge-Wissenschaftsgeschichte: v4 - Wissenschaft des achtzehnten Jahrhunderts . Cambridge University Press. P. 313. ISBN 0-521-57243-6.

Zur Anwendung beim Rangieren von Fahrzeugen siehe

JC Alexander und JH Maddocks (1988): Zum Manövrieren von Fahrzeugen doi : 10.1137/0148002
Murray S. Klamkin (1990). Probleme in der angewandten Mathematik: Auswahl aus dem SIAM-Review . Gesellschaft für Industrielle und Angewandte Mathematik. P. 1. ISBN 0-89871-259-9.

Externe Links

[gtt-1] Ghys, tienne ; Tabachnikov, Sergej ; Timorin, Vladlen (2013). „Schiebekurven: um das Tait-Kneser-Theorem“. Der Mathematische Intelligenz . 35 (1): 61–66. arXiv : 1207.5662 . doi : 10.1007/s00283-012-9336-6 . MR 3.041.992 . S2CID 18183204 .

[Lamb-2] TatsächlichreichenPunkt P plus zwei zusätzliche Punkte, einer auf jeder Seite von P. Siehe Lamm (online): Horace Lamb (1897). Ein elementarer Kurs der Infinitesimalrechnung . Universitätspresse. P. 406 . Schmiegkreis.

[3] Weisstein, Eric W. "Zykloide" . MathWorld .

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