Osgood Kurve - Osgood curve

Nicht zu verwechseln mit der Ramberg-Osgood-Kurve, die die Spannung in der Materialwissenschaft in Beziehung setzt.
Fraktale Konstruktion einer Osgood-Kurve durch rekursives Entfernen von Keilen aus Dreiecken. Wenn sich die Keile verengen, nimmt der Anteil der entfernten Fläche exponentiell ab, so dass die in der endgültigen Kurve verbleibende Fläche ungleich Null ist.

In der Mathematik ist eine Osgood-Kurve eine sich nicht selbst schneidende Kurve (entweder eine Jordan-Kurve oder ein Jordan-Bogen ) mit positivem Bereich . Formal sind dies Kurven in der euklidischen Ebene mit positivem zweidimensionalem Lebesgue-Maß .

Geschichte

Die ersten Beispiele für Osgood-Kurven wurden von William Fogg Osgood  ( 1903 ) und Henri Lebesgue  ( 1903 ) gefunden. Beide Beispiele haben eine positive Fläche in Teilen der Kurve, aber eine Nullfläche in anderen Teilen; Dieser Fehler wurde von Knopp (1917) korrigiert , der auf der Grundlage einer früheren Konstruktion von Wacław Sierpiński eine Kurve fand, die in jeder Nachbarschaft jedes Punktes eine positive Fläche aufweist . Knopps Beispiel hat den zusätzlichen Vorteil, dass seine Fläche so gesteuert werden kann, dass sie ein beliebiger Bruchteil der Fläche seiner konvexen Hülle ist .

Fraktale Konstruktion

Obwohl die meisten raumfüllenden Kurven keine Osgood-Kurven sind (sie haben eine positive Fläche, enthalten jedoch häufig unendlich viele Selbstschnittpunkte, da es sich nicht um Jordan-Kurven handelt), ist es möglich, die rekursive Konstruktion von raumfüllenden Kurven oder anderen fraktalen Kurven zu modifizieren , um eine zu erhalten Osgood Kurve. Zum Beispiel beinhaltet Knopps Konstruktion das rekursive Aufteilen von Dreiecken in Paare kleinerer Dreiecke, die sich an einem gemeinsamen Scheitelpunkt treffen, indem dreieckige Keile entfernt werden. Wenn die entfernten Keile auf jeder Ebene dieser Konstruktion den gleichen Bruchteil der Fläche ihrer Dreiecke bedecken, entsteht ein Cesàro-Fraktal wie die Koch-Schneeflocke. Wenn jedoch Keile entfernt werden , deren Flächen schneller schrumpfen, entsteht eine Osgood-Kurve.

Denjoy-Riesz-Bau

Eine andere Möglichkeit, eine Osgood-Kurve zu konstruieren, besteht darin, eine zweidimensionale Version der Smith-Volterra-Cantor-Menge zu bilden , eine vollständig getrennte Punktmenge mit einer Fläche ungleich Null, und dann den Denjoy-Riesz-Satz anzuwenden, nach dem jeder begrenzt und vollständig ist Die getrennte Teilmenge der Ebene ist eine Teilmenge einer Jordan-Kurve.

Anmerkungen

Verweise

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Externe Links