Völlig getrennter Raum - Totally disconnected space

In der Topologie und verwandten Zweigen der Mathematik ist ein vollständig getrennter Raum ein topologischer Raum , der in dem Sinne maximal getrennt ist, dass er keine nicht-trivialen zusammenhängenden Teilmengen hat. In jedem topologischen Raum sind die Singletons (und, wenn er als zusammenhängend betrachtet wird, die leere Menge) zusammenhängend; in einem völlig unverbundenen Raum sind dies die einzigen zusammenhängenden echten Teilmengen.

Ein wichtiges Beispiel für einen völlig unverbundenen Raum ist die Cantor-Menge . Ein weiteres Beispiel, das eine Schlüsselrolle in der algebraischen Zahlentheorie spielt , ist der Körper Q _p der p- adischen Zahlen .

Definition

Ein topologischer Raum ist total unverbunden, wenn die zusammenhängenden Komponenten in Einpunktmengen sind. Analog ist ein topologischer Raum ist vollständig Weg unterbrochen , wenn alle Pfad-Komponenten in die Ein-Punkt - Sets. ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Ein anderer eng verwandter Begriff ist der eines vollständig getrennten Raums , dh ein Raum, in dem Quasikomponenten Singletons sind. Äquivalent ist ein topologischer Raum genau dann ein total getrennter Raum, wenn für jeden der Schnittpunkt aller klonen Umgebungen von der Singleton ist . In äquivalenter Weise für jedes Paar von unterschiedlichen Punkten , gibt es ein Paar von disjunkten offenen Umgebungen von so daß . ${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \{x\}}$${\displaystyle x,y\in X}$${\displaystyle U,V}$${\displaystyle x,y}$${\displaystyle X=U\sqcup V}$

Jeder völlig getrennte Raum ist offensichtlich völlig getrennt, aber das Umgekehrte ist selbst für metrische Räume falsch. Nehmen wir zum Beispiel das Tipi des Kantors, das ist der Knaster-Kuratowski-Fächer mit entfernter Spitze. Dann ist völlig unverbunden, aber seine Quasikomponenten sind keine Singletons. Für lokal kompakte Hausdorff-Räume sind die beiden Begriffe ( total getrennt und total getrennt ) äquivalent. ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Unglücklicherweise werden in der Literatur (zum Beispiel ) vollständig getrennte Räume manchmal als erblich getrennt bezeichnet, während die Terminologie völlig getrennt für vollständig getrennte Räume verwendet wird.

Beispiele

Im Folgenden sind Beispiele für vollständig getrennte Räume aufgeführt:

• Diskrete Räume
• Die rationalen Zahlen
• Die irrationalen Zahlen
• Die p-adischen Zahlen ; allgemeiner gesagt sind alle profiniten Gruppen vollständig getrennt.
• Die Cantor-Menge und der Cantor-Raum
• Der Baire-Raum
• Die Sorgenfrey-Linie
• Jeder Hausdorff-Raum kleiner induktiver Dimension 0 ist total unzusammenhängend
• Der Erdős-Raum ℓ ² ist ein total unzusammenhängender Hausdorff-Raum, der keine kleine induktive Dimension 0 hat.${\displaystyle\,\cap\,\mathbb{Q}^{\omega}}$
• Extrem unzusammenhängende Hausdorff-Räume
• Steinräume
• Der Knaster-Kuratowski-Fächer liefert ein Beispiel für einen zusammenhängenden Raum, bei dem das Entfernen eines einzelnen Punktes einen völlig getrennten Raum erzeugt.

Eigenschaften

• Unterräume , Produkte und Koprodukte von vollständig getrennten Räumen sind vollständig getrennt.
• Völlig unzusammenhängende Räume sind T ₁ -Räume , da Singletons abgeschlossen sind.
• Kontinuierliche Bilder von total unzusammenhängenden Räumen sind nicht notwendigerweise total unzusammenhängend, tatsächlich ist jeder kompakte metrische Raum ein kontinuierliches Bild der Cantor-Menge .
• Ein lokal kompakter Hausdorff-Raum hat genau dann die kleine induktive Dimension 0, wenn er vollständig getrennt ist.
• Jeder völlig unzusammenhängende kompakte metrische Raum ist zu einer Teilmenge eines abzählbaren Produkts diskreter Räume homöomorph .
• Es ist im Allgemeinen nicht richtig, dass jede offene Menge in einem völlig unzusammenhängenden Raum auch abgeschlossen ist.
• Es ist im Allgemeinen nicht richtig, dass der Abschluss jeder offenen Menge in einem total unzusammenhängenden Raum offen ist, dh nicht jeder total unzusammenhängende Hausdorff-Raum ist extrem unzusammenhängend .

Einen völlig unverbundenen Raum konstruieren

Sei ein beliebiger topologischer Raum. Sei genau dann wenn (wo bezeichnet die größte zusammenhängende Teilmenge, die ) enthält. Dies ist offensichtlich eine Äquivalenzrelation, deren Äquivalenzklassen die zusammenhängenden Komponenten von sind . Geben Sie die Quotiententopologie an , dh die feinste Topologie , die die Karte kontinuierlich macht. Mit ein wenig Mühe können wir sehen, dass das völlig getrennt ist. Wir haben auch die folgende universelle Eigenschaft : Wenn eine stetige Abbildung auf einen völlig unzusammenhängenden Raum existiert , dann existiert eine eindeutige stetige Abbildung mit . ${\displaystyle X}$${\displaystyle x\sim y}$${\displaystyle y\in\mathrm {conn} (x)}$${\displaystyle \mathrm {conn} (x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X/{\sim}}$${\displaystyle m:x\mapsto\mathrm {conn} (x)}$${\displaystyle X/{\sim}}$${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\breve {f}}:(X/\sim)\rightarrow Y}$${\displaystyle f={\breve {f}}\circ m}$

Siehe auch

• Extrem getrennter Raum
• Völlig getrennte Gruppe

Verweise

• Willard, Stephen (2004), Allgemeine Topologie , Dover Publications , ISBN 978-0-486-43479-7, MR  2048350(Nachdruck des Originals von 1970, MR 0264581 )