Parabolische Induktion - Parabolic induction

In der Mathematik ist die parabolische Induktion eine Methode zur Konstruktion von Darstellungen einer reduktiven Gruppe aus Darstellungen ihrer parabolischen Untergruppen .

Wenn G eine reduktive algebraische Gruppe ist und die Langlands-Zerlegung einer parabolischen Untergruppe P ist , besteht die parabolische Induktion darin, eine Darstellung von zu nehmen , sie auf P zu erweitern, indem N trivial wirken gelassen wird , und das Ergebnis von P nach G zu induzieren .

Es gibt einige Verallgemeinerungen der parabolischen Induktion unter Verwendung der Kohomologie , wie die kohomologische parabolische Induktion und die Deligne-Lusztig-Theorie .

Philosophie der Höckerformen

Die Philosophie der Höckerformen war ein Slogan von Harish-Chandra , der seine Idee einer Art Reverse Engineering der automorphen Formtheorie aus Sicht der Darstellungstheorie zum Ausdruck brachte . Die für die klassische Theorie grundlegende diskrete Gruppe Γ verschwindet oberflächlich. Was bleibt, ist die Grundidee, dass Repräsentationen im Allgemeinen durch parabolische Induktion von Eckzahnrepräsentationen konstruiert werden sollen . Eine ähnliche Philosophie wurde von Israel Gelfand formuliert , und die Philosophie ist ein Vorläufer des Langlands-Programms . Eine Konsequenz für das Nachdenken über die Darstellungstheorie ist, dass Eckzahnrepräsentationen die grundlegende Klasse von Objekten sind, aus denen andere Repräsentationen durch Induktionsverfahren konstruiert werden können.

Laut Nolan Wallach

Einfach ausgedrückt, besagt die "Philosophie der Höckerformen", dass man für jede Γ-Konjugationsklasse von Q-rationalen parabolischen Untergruppen automorphe Funktionen (aus Objekten aus Räumen niedrigerer Dimensionen) konstruieren sollte, deren konstante Terme für andere Konjugationsklassen und Null sind Die konstanten Terme für [ein] Element der gegebenen Klasse geben alle konstanten Terme für diese parabolische Untergruppe an. Dies ist nahezu möglich und führt zu einer Beschreibung aller automorphen Formen hinsichtlich dieser Konstrukte und Höckerformen. Die Konstruktion, die dies tut, ist die Eisenstein-Serie .

Anmerkungen

Verweise

  • AW Knapp, Darstellungstheorie von Semisimple-Gruppen: Ein Überblick anhand von Beispielen , Princeton Landmarks in Mathematics, Princeton University Press, 2001. ISBN   0-691-09089-0 .
  • Bump, Daniel (2004), Lie Groups , Diplomtexte in Mathematik, 225 , New York: Springer-Verlag, ISBN   0-387-21154-3