Projektives Tensorprodukt - Projective tensor product

Die stärkste lokal-konvexe topologische Vektorraum (TVS)-Topologie auf dem Tensorprodukt von zwei lokal-konvexen TVSs, wodurch die kanonische Abbildung (definiert durch Senden an ) stetig wird, wird die projektive Topologie oder die π-Topologie genannt . Wenn mit dieser Topologie ausgestattet ist, dann wird sie bezeichnet und heißt das projektive Tensorprodukt von und $X\otimes Y,$ $\cdot \otimes \cdot :X\times Y\to X\otimes Y$ $(x,y)\in X\times Y$ $x\otimes y$ $X\otimes Y$ $X\otimes_{\pi}Y$ $X$ $Y.$

Vorrunde

Dabei seien und seien topologische Vektorräume und eine lineare Abbildung. $X,Y,$ $Z$ $L:X\to Y$

$L:X\to Y$ $L:X\to Y$ ist ein topologischer Homomorphismus oder Homomorphismus , wenn er linear, stetig und eine offene Abbildung ist
, wobei das Bild von die durch . induzierte Unterraumtopologie hat $L:X\to \operatorname {Im} L$ $L:X\to \operatorname {Im} L$ $\operatorname {Im} L,$ $\operatorname {Im} L,$ $L,$ $L,$ $Y.$ $Y.$
- Wenn ist ein Unterraum von dann sind sowohl die Quotientenabbildung als auch die kanonische Injektion Homomorphismen. Insbesondere kann jede lineare Abbildung wie folgt kanonisch zerlegt werden: wobei definiert eine Bijektion. $S\subseteq X$ $X$ $X\to X/S$ $S\nach X$ $L:X\to Y$ $X\to X/\operatorname {ker} L{\overset {L_{0}}{\rightarrow }}\operatorname {Im} L\to Y$ $L_{0}(x+\ker L):=L(x)$
Die Menge stetiger linearer Abbildungen (bzw. stetiger bilinearer Abbildungen ) wird mit (bzw. ) bezeichnet, wobei wenn das Skalarfeld ist, können wir stattdessen (bzw. ) schreiben . $X\nach Z$ $X\times Y\to Z$ $L(X;Z)$ $B(X,Y;Z)$ $Z$ $L(X)$ $B(X,Y)$
Wir bezeichnen den stetigen Dualraum von by und den algebraischen Dualraum (der der Vektorraum aller linearen Funktionale auf stetigem oder nicht stetigem ist) mit $X$ $x$ $X^{\prime}$ $X^{\prime}$ $X,$ $X,$ $X^{\#}.$ $X^{\#}.$
- Um die Übersichtlichkeit der Darstellung zu erhöhen, verwenden wir die übliche Konvention, Elemente von mit einem Strich nach dem Symbol zu schreiben (z. B. bezeichnet ein Element von und nicht etwa eine Ableitung und die Variablen und müssen in keiner Weise in Beziehung gesetzt werden). $X^{\prime}$ $x^{\prime}$ $X^{\prime}$ $x$ $x^{\prime}$
Eine lineare Abbildung von einem Hilbert - Raum in sich selbst heißt positiv , wenn für jeden in diesem Fall gibt es eine eindeutige positive Karte ist die genannte Quadratwurzel
aus , so dass $L:H\to H$ $L:H\to H$ ${\displaystyle\langle L(x),X\rangle\geq 0}$ ${\displaystyle\langle L(x),X\rangle\geq 0}$ $x\in H.$ $x\in H.$ $r:H\to H,$ $r:H\to H,$ $L,$ $L,$ $L=r\circ r.$ $L=r\circ r.$
- Wenn eine kontinuierliche lineare Abbildung zwischen Hilberträumen ist, dann ist immer positiv. Nun lassen Sie bezeichnen seine positive Quadratwurzel, die die aufgerufen wird
absoluten Wert von definieren auf der ersten durch das Setzen für und sich kontinuierlich definieren und dann auf , indem für und erweitern diese Karte linear auf alle Die Karte ist eine Isometrie und surjektiv $L:H_{1}\to H_{2}$ $L^{*}\circ L$ $R:H\to H$ $L.$ $U:H_{1}\to H_{2}$ $\operatorname {Im} R$ $U(x)=L(x)$ $x=R\left(x_{1}\right)\in\operatorname {Im} R$ $U$ ${\overline {\operatorname {Im} R}},$ $U$ $\operatorname {ker} R$ $U(x)=0$ $x\in\operatorname {ker} R$ $H_{1}.$ $U{\big \vert }_{\operatorname {Im} R}:\operatorname {Im} R\to \operatorname {Im} L$ $L=U\circ R.$

Eine lineare Abbildung wird als kompakte oder vollständig kontinuierlich , wenn es eine Nachbarschaft des Ursprungs in derart , dass ist präkompakt in

\Lambda :X\to Y

U

X

\Lambda (U)

Y.

In einem Hilbertraum haben positive kompakte lineare Operatoren beispielsweise eine einfache spektrale Zerlegung, die zu Beginn des 20. Jahrhunderts von Fredholm und F. Riesz entdeckt wurde: $L:H\to H$

Es gibt eine Folge von positiven Zahlen, die absteigend und entweder endlich oder gegen 0 konvergieren, und eine Folge von endlich dimensionalen Unterräumen von ( ) ungleich null mit den folgenden Eigenschaften: (1) die Unterräume sind paarweise orthogonal; (2) für jeden und jeden ; und (3) die Orthogonal des von aufgespannten Unterraums ist gleich dem Kern von

r_{1}>r_{2}>\cdots >r_{k}>\cdots

V_{i}

H

i=1,2,\ldots

V_{i}

i

x\in V_{i},

L(x)=r_{i}x

\cup_{i}V_{i}

L.

Notation für Topologien

$\sigma \left(X,X^{\prime}\right)$ bezeichnet die gröbste Topologie auf jede Karte bei der Herstellung kontinuierlich und oder Bezeichnen mit dieser Topologie dotiert . $X$ $X^{\prime}$ $X_{\sigma\left(X,X^{\prime}\right)}$ $X_{\sigma}$ $X$
$\sigma \left(X^{\prime},X\right)$ bezeichnet eine schwache* Topologie auf und oder bezeichnet mit dieser Topologie ausgestattet
. $X^{\prime}$ $X^{\prime}$ $X_{\sigma\left(X^{\prime},X\right)}$ $X_{\sigma\left(X^{\prime},X\right)}$ $X_{\sigma}^{\prime}$ $X_{\sigma}^{\prime}$ $X^{\prime}$
- Jeder induziert eine Abbildung, die durch definiert ist, ist die gröbste Topologie , um alle diese Abbildungen stetig zu machen. $x_{0}\in X$ $X^{\prime}\to\mathbb{R}$ $\lambda \mapsto \lambda \left(x_{0}\right).$ $\sigma \left(X^{\prime},X\right)$ $X^{\prime}$
$b\left(X,X^{\prime}\right)$ bezeichnet die Topologie der beschränkten Konvergenz auf $X$ und oder bezeichnet mit dieser Topologie ausgestattet . $X_{b\left(X,X^{\prime}\right)}$ $X_{b}$ $X$
$b\left(X^{\prime},X\right)$ bezeichnet die Topologie der beschränkten Konvergenz auf $X^{\prime}$ oder die starke duale Topologie auf $X^{\prime}$ und oder bezeichnet mit dieser Topologie ausgestattet
. $X_{b\left(X^{\prime},X\right)}$ $X_{b\left(X^{\prime},X\right)}$ $X_{b}^{\prime}$ $X_{b}^{\prime}$ $X^{\prime}$
- Wenn wie üblich als topologischer Vektorraum betrachtet wird, aber nicht klargestellt wurde, mit welcher Topologie er ausgestattet ist, wird die Topologie als . angenommen $X^{\prime}$ $b\left(X^{\prime},X\right).$

Ein kanonisches Tensorprodukt als Unterraum des Dualen von Bi(X, Y)

Seien und Vektorräume (es wird noch keine Topologie benötigt) und seien der Raum aller bilinearen Abbildungen, die auf dem zugrunde liegenden Skalarfeld definiert sind und in dieses gehen. $X$ $Y$ $\operatorname {Bi} (X,Y)$ $X\times Y$

For each definiere eine kanonische Bilinearform by mit Domain by for every Dies induziert eine kanonische Abbildung definiert durch wobei bezeichnet das algebraische Dual von Wenn wir die Spannweite des Bereichs von by dann bezeichnen zusammen mit bildet ein Tensorprodukt von und (wo ). Damit erhalten wir ein kanonisches Tensorprodukt von und $(x,y)\in X\times Y$ $\chi_{(x,y)}$ $\operatorname {Bi} (X,Y)$ $\chi_{(x,y)}(u):=u(x,y)$ $u\in Bi(X,Y).$ $\chi :X\times Y\to \operatorname {Bi} (X,Y)^{\#}$ $\chi(x,y)=\chi_{(x,y)},$ $\operatorname {Bi} (X,Y)^{\#}$ $\operatorname {Bi} (X,Y).$ ${\displaystyle\chi}$ $X\otimes Y$ $X\otimes Y$ ${\displaystyle\chi}$ $X$ $Y$ $x\otimes y=\chi (x,y)$ $X$ $Y.$

Wenn es sich um einen anderen Vektorraum handelt, ist die durch gegebene Abbildung ein Isomorphismus von Vektorräumen. Dies erlaubt uns insbesondere, das algebraische Dual von mit dem Raum der Bilinearformen auf zu identifizieren. Darüber hinaus, wenn und sind lokal konvexe topologische Vektorräume (TVSs) und wenn die -Topologie gegeben ist, dann beschränkt sich diese Abbildung für jede lokal konvexe TVS auf a Vektorraumisomorphismus vom Raum stetiger linearer Abbildungen auf den Raum stetiger bilinearer Abbildungen. Insbesondere kann das stetige Dual von kanonisch mit dem Raum der stetigen Bilinearformen auf identifiziert werden ; außerdem sind unter dieser Identifikation die gleichstetigen Teilmengen von gleich den gleichstetigen Teilmengen von $Z$ $Li(X\otimes Y;Z)\to \operatorname {Bi} (X,Y;Z)$ $u\mapsto u\circ\chi$ $X\otimes Y$ $X\times Y.$ $X$ $Y$ $X\otimes Y$ $\pi$ $Z,$ $L(X\otimes_{\pi}Y;Z)\to B(X,Y;Z)$ $X\otimes Y$ ${\displaystyle\operatorname {B} (X,Y)}$ $X\times Y$ ${\displaystyle\operatorname {B} (X,Y)}$ $(X\otimes_{\pi}Y)^{\prime}.$

Das projektive Tensorprodukt

Tensorprodukt von Seminormen

Durchweg werden wir lokal konvexe topologische Vektorräume lassen und sein (lokale Konvexität erlaubt uns, nützliche Topologien zu definieren). Wenn eine Seminorm ist, dann ist sie ihre geschlossene Einheitskugel. $X$ $Y$ $p$ $X$ $C_{p}:=\{x\in X:p(x)\leq 1\}$

Wenn eine Seminorm on und eine Seminorm on ist, dann können wir das Tensorprodukt von und die Abbildung definieren, die auf durch . definiert ist $p$ $X$ $q$ $Y$ $p$ $q$ $p\otimes q$ $X\otimes Y$

(p\otimes q)(b):=\inf_{r>0,b\in rW}r

wo ist die balancierte konvexe Hülle von Given in this kann auch ausgedrückt werden als

W

C_{p}\otimes C_{q}=\left\{x\otimes y:p(x)\leq 1,q(y)\leq 1\right\}.

b

X\otimes Y,

(p\otimes q)(b):=\inf\sum _{i}p(x_{i})q(y_{i})

wobei das Infimum über alle endlichen Folgen und (von gleicher Länge) genommen wird, so dass (erinnern Sie sich daran, dass es möglicherweise nicht möglich ist, als einfacher Tensor auszudrücken ). Wenn dann haben wir

x_{1},\ldots,x_{n}\in X

y_{1},\ldots,y_{n}\in Y

b=x_{1}\otimes y_{1}+\cdots +x_{n}\otimes y_{n}

b

b=x\otimes y

(p\otimes q)(x\otimes y)=p(x)q(y).

Die Seminorm ist genau dann eine Norm, wenn beide und Normen sind.

p\otimes q

p

q

Ist die Topologie von (bzw. ) durch die Familie der Seminormen (bzw. ) gegeben, dann ist ein lokal konvexer Raum, dessen Topologie durch die Familie aller möglichen Tensorprodukte der beiden Familien (dh durch ) gegeben ist. Insbesondere wenn und seminormed Räume mit Halbnormen sind und jeweils dann eine seminormable Raum , dessen Topologie durch die Halbnorm definiert ist , wenn und sind normierte Räume dann ist auch ein normierter Raum, der angerufene

projektive Tensorprodukt von und in dem die Topologie induziert durch IS das gleiche wie die π-Topologie.

X

Y

\left(p_{\alpha}\right)

\left(q_{\beta}\right)

X\otimes_{\pi}Y

\left(p_{\alpha}\otimes q_{\beta}\right)

X

Y

p

q,

X\otimes_{\pi}Y

p\otimes q.

(X,p)

(Y,q)

\left(X\otimes Y,p\otimes q\right)

(X,p)

(Y,q),

p\otimes q

If ist eine konvexe Teilmenge von then ist eine Umgebung von 0 genau dann, wenn das Urbild von unter der Karte eine Umgebung von 0 ist; äquivalent, genau dann, wenn es offene Teilmengen gibt und solche, die dieses Urbild enthält Daraus folgt, dass, wenn und Nachbarschaftsbasen des Ursprungs in bzw. sind, die Menge der konvexen Hüllen aller möglichen Mengen eine Nachbarschaftsbasis des Ursprungs in . bilden $W$ $X\otimes Y$ $W$ $X\otimes_{\pi}Y$ $W$ $(x,y)\mapsto x\otimes y$ $U\subseteq X$ $V\subseteq Y$ $U\otimes V:=\{u\otimes v:u\in U,v\in V\}.$ $\left(U_{\alpha}\right)$ $\left(V_{\beta}\right)$ $X$ $Y,$ $U_{\alpha}\otimes V_{\beta}$ $X\otimes_{\pi}Y.$

Universelles Eigentum

Wenn eine lokal konvexe TVS-Topologie vorliegt ( wobei diese Topologie mit bezeichnet wird ), dann ist die π-Topologie genau dann gleich, wenn sie folgende Eigenschaft hat: $\tau$ $X\otimes Y$ $X\otimes Y$ $X\otimes_{\tau}Y$ $\tau$

Für jede lokal konvexe TVS ist if die kanonische Abbildung aus dem Raum aller bilinearen Abbildungen der Form , die in den Raum aller linearen Abbildungen von dann geht, wenn der Bereich von beschränkt ist auf dann ist der Bereich dieser Beschränkung der Raum der stetigen linearen Operatoren

Z,

I

X\times Y\to Z,

X\otimes Y\to Z,

I

B\left(X,Y;Z\right)

L\left(X\otimes_{\tau}Y;Z\right)

X\otimes_{\tau}Y\to Z.

Insbesondere ist der stetige Dualraum von kanonisch isomorph zu dem Raum der stetigen Bilinearformen auf $X\otimes_{\pi}Y$ $B(X,Y),$ $X\times Y.$

Die π-Topologie

Beachten Sie, dass der kanonische Vektorraum-Isomorphismus gleichstetige Teilmengen beibehält. Da ist kanonisch isomorph zum stetigen Dual von Platz auf der Topologie der gleichmäßigen Konvergenz auf gleichstetigen Teilmengen von ; diese Topologie ist identisch mit der π-Topologie. $I:B\left(X_{\sigma}^{\prime},Y_{\sigma}^{\prime};Z\right)\nach L\left(X\otimes_{\pi}Y ;Z\rechts)$ $B(X,Y)$ $X\otimes_{\pi}Y,$ $X\otimes Y$ $\left(X\otimes_{\pi}Y\right)^{\prime}$

Erhaltene Eigenschaften

Seien und seien lokal konvexe TVSs. $X$ $Y$

Sind beide und Hausdorff (bzw. lokal konvex,

metrisierbar , semi-metrisierbar , normierbar , semi-normierbar ), dann gilt auch

X

Y

X\otimes_{\pi}Y.

Fertigstellung

Im Allgemeinen ist der Raum nicht vollständig, selbst wenn beide und vollständig sind (in der Tat, wenn und beide unendlichdimensionale Banach-Räume sind, dann ist es notwendigerweise

nicht vollständig). Jedoch kann als dichter Vektorunterraum immer ein vollständiger lokal konvexer TVS linear eingebettet werden, was im Allgemeinen mit über eine lineare topologische Einbettung bezeichnet wird . Explizit bedeutet dies, dass es eine kontinuierliche lineare Injektion gibt, deren Bild dicht ist, und das ist ein TVS-Isomorphismus auf seinem Bild. Unter Verwendung dieser Abbildung wird als Unterraum von identifiziert

X\otimes_{\pi}Y

X

Y

X

Y

X\otimes_{\pi}Y

X\otimes_{\pi}Y

X{\widehat {\otimes}}_{\pi}Y,

\operatorname {In} :X\otimes _{\pi}Y\to X{\widehat {\otimes}}_{\pi }Y

X{\widehat {\otimes}}_{\pi}Y

X\otimes_{\pi}Y

X{\widehat {\otimes}}_{\pi}Y.

Der stetige duale Raum von ist derselbe wie der von stetigen Bilinearformen : $X{\widehat {\otimes}}_{\pi}Y$ $X\otimes_{\pi}Y,$ $B(X,Y).$

Jede stetige Abbildung auf kann zu einer eindeutigen stetigen Abbildung auf erweitert werden. Insbesondere, wenn und sind stetige lineare Abbildungen zwischen lokal konvexen Räumen, dann kann ihr Tensorprodukt, das notwendigerweise stetig ist, zu einer eindeutigen stetigen linearen Funktion erweitert werden, die auch bezeichnet werden kann durch wenn keine Unklarheiten entstehen würden. $X\otimes_{\pi}Y$ $X{\widehat {\otimes}}_{\pi}Y.$ $u:X_{1}\to Y_{1}$ $v:X_{2}\to Y_{2}$ $u\otimes v:X_{1}\otimes_{\pi}X_{2}\to Y_{1}\otimes_{\pi}Y_{2}\subseteq Y_{1}{\widehat { \otimes }}_{\pi}Y_{2},$ $u{\widehat {\otimes}}_{\pi}v:X_{1}{\widehat {\otimes}}_{\pi}X_{2}\to Y_{1}{\widehat { \otimes }}_{\pi}Y_{2},$ $u{\widehat {\otimes}}v$

Beachten Sie, dass, wenn und metrisierbar sind, dies auch der Fall ist und wobei insbesondere ein

F-Raum sein wird .

X

Y

X\otimes_{\pi}Y

X{\widehat {\otimes}}_{\pi}Y,

X{\widehat {\otimes}}_{\pi}Y

Grothendiecks Darstellung von Elementen von $X{\widehat {\otimes}}_{\pi}Y$

In einem Hausdorff lokalkonvexen Raum eine Folge in ist

absolut konvergent , wenn für jede stetige Halbnorm auf Wir schreiben , wenn die Partialsummenfolge konvergiert in

X,

\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty}

X

\sum_{i=1}^{\infty}p\left(x_{i}\right)<\infty

p

X.

x=\sum _{i=1}^{\infty}x_{i}

\left(\sum_{i=1}^{n}x_{i}\right)_{n=1}^{\infty}

x

X.

Das folgende grundlegende Ergebnis in der Theorie der topologischen Tensorprodukte geht auf Alexander Grothendieck zurück .

Satz — Seien und seien Sie metrisierbare lokal konvexe TVSs und seien Dann die Summe einer absolut konvergenten Reihe $X$ $Y$ $z\in X{\widehat {\otimes}}_{\pi}Y.$ $z$

z=\sum_{i=1}^{\infty}\lambda_{i}x_{i}\otimes y_{i}

wobei und und sind Nullfolgen in und verbunden.

\sum_{i=1}^{\infty}|\lambda_{i}|<\infty,

\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty}

\left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty}

X

Y,

Der nächste Satz zeigt, dass es möglich ist, die Darstellung von unabhängig von den Folgen und $z$ $\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty}$ $\left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty}.$

Satz — Seien und seien Fréchet-Räume und seien (bzw. ) eine ausgeglichene offene Umgebung des Ursprungs in (bzw. in ). Sei eine kompakte Teilmenge der konvexen balancierten Hülle von Es existiert eine kompakte Teilmenge der Einheitskugel in und Folgen und in und enthalten, die gegen den Ursprung konvergiert, so dass für jede eine solche existiert , dass $X$ $Y$ $U$ $V$ $X$ $Y$ $K_{0}$ $U\otimes V:=\{u\otimes v:u\in U,v\in V\}.$ $K_{1}$ $\ell^{1}$ $\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty}$ $\left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty}$ $U$ $V,$ $z\in K_{0}$ $\left(\lambda_{i}\right)_{i=1}^{\infty}\in K_{1}$

z=\sum_{i=1}^{\infty}\lambda_{i}x_{i}\otimes y_{i}.

Topologie der bi-beschränkten Konvergenz

Lassen Sie und die Familien aller beschränkten Teilmengen von bezeichnen und jeweils. Da der stetige Dualraum von der Raum stetiger Bilinearformen ist , können wir auf die Topologie der gleichmäßigen Konvergenz auf Mengen setzen, die auch als

Topologie der zweibeschränkten Konvergenz bezeichnet wird . Diese Topologie ist gröber als die starke Topologie und in ( Grothendieck 1955 ) interessierte sich Alexander Grothendieck dafür, wann diese beiden Topologien identisch waren. Diese Frage ist äquivalent zu den Fragen: Gibt es bei einer gegebenen beschränkten Teilmenge beschränkte Teilmengen und solche, die eine Teilmenge der abgeschlossenen konvexen Hülle von sind ?

{\mathfrak {B}}_{X}

{\mathfrak {B}}_{Y}

X

Y,

X{\widehat {\otimes}}_{\pi}Y

B(X,Y),

B(X,Y)

{\mathfrak {B}}_{X}\times {\mathfrak {B}}_{Y},

b\left(B(X,Y),X{\widehat {\otimes}}_{\pi}Y\right),

B\subseteq X{\widehat {\otimes}}_{\pi}Y,

B_{1}\subseteq X

B_{2}\subseteq Y

B

B_{1}\otimes B_{2}:=\{b_{1}\otimes b_{2}:b_{1}\in B_{1},b_{2}\in B_{2}\ }

Grothendieck hat bewiesen, dass diese Topologien gleich sind, wenn und beide Banach-Räume oder beide

DF-Räume sind (eine Klasse von Räumen, die von Grothendieck eingeführt wurde). Sie sind auch gleich, wenn beide Räume Fréchet sind und einer von ihnen nuklear ist.

X

Y

Stark dual und bidual

Bei einem gegebenen lokal konvexen TVS wird angenommen, dass es die starke Topologie (so ) hat, und wenn nicht anders angegeben, gilt dasselbe für das Bidual (so charakterisierte Alexander Grothendieck das starke Dual und das Bidual für bestimmte Situationen: $X,$ $X^{\prime}$ $X^{\prime}=X_{b}^{\prime}$ $X^{\prime \prime}$ $X^{\prime \prime}=\left(X_{b}^{\prime}\right)_{b}^{\prime}.$

Satz (Grothendieck) — Seien und seien lokal konvexe TVSs mit Kern. Nehmen Sie an, dass beide und Fréchet-Räume sind oder dass sie beide DF-Räume sind . Dann: $N$ $Y$ $N$ $N$ $Y$

Das starke Dual von kann identifiziert werden mit ; $N{\widehat {\otimes}}_{\pi}Y$ $N_{b}^{\prime }{\widehat {\otimes}}_{\pi}Y_{b}^{\prime}$
Das Bidual von kann identifiziert werden mit ; $N{\widehat {\otimes}}_{\pi}Y$ $N{\widehat{\otimes}}_{\pi}Y^{\prime\prime}$
Wenn zusätzlich reflexiv ist, dann (und daher ) ist ein reflexiver Raum ; $Y$ $N{\widehat {\otimes}}_{\pi}Y$ $N_{b}^{\prime }{\widehat {\otimes}}_{\pi}Y_{b}^{\prime}$
Jede separat stetige Bilinearform on ist stetig; $N_{b}^{\prime}\times Y_{b}^{\prime}$
Das starke Dual von kann mit so identifiziert werden , insbesondere wenn reflexiv ist, dann ist es auch $L_{b}\left(X_{b}^{\prime},Y\right)$ $N_{b}^{\prime }{\widehat {\otimes}}_{\pi}Y_{b}^{\prime},$ $Y$ $L_{b}\left(X_{b}^{\prime},Y\right).$

Eigenschaften

$X\otimes_{\pi}Y$ ist Hausdorff genau dann, wenn beide und Hausdorff sind. $X$ $Y$
Angenommen, und sind zwei lineare Abbildungen zwischen lokal konvexen Räumen. Wenn beide und stetig sind, dann ist es auch ihr Tensorprodukt $u:X_{1}\to Y_{1}$ $u:X_{1}\to Y_{1}$ $v:X_{2}\to Y_{2}$ $v:X_{2}\to Y_{2}$ $u$ $du$ $v$ $v$ $u\otimes v:X_{1}\otimes_{\pi}X_{2}\to Y_{1}\otimes_{\pi}Y_{2}.$ $u\otimes v:X_{1}\otimes_{\pi}X_{2}\to Y_{1}\otimes_{\pi}Y_{2}.$
- $u\otimes v:X_{1}\otimes_{\pi}X_{2}\to Y_{1}\otimes_{\pi}Y_{2}$ hat eine eindeutige kontinuierliche Erweiterung zu bezeichnet mit $X_{1}{\widehat {\otimes}}_{\pi}X_{2}$ $u{\widehat {\otimes}}v:X_{1}{\widehat {\otimes}}_{\pi}X_{2}\to Y_{1}{\widehat {\otimes}}_ {\pi}Y_{2}.$
- Wenn zusätzlich beide und TVS-Homomorphismen sind und das Bild jeder Abbildung in seiner Codomäne dicht ist, dann ist ein Homomorphismus, dessen Bild dicht in ; wenn und beide metrisierbar sind, dann ist dieses Bild gleich allen von $u$ $v$ $u{\widehat {\otimes}}_{\pi}v:X_{1}{\widehat {\otimes}}_{\pi}X_{2}\to Y_{1}{\widehat { \otimes }}_{\pi }Y_{2}$ $Y_{1}{\widehat {\otimes}}_{\pi}Y_{2}$ $X_{1}$ $Y_{1}$ $Y_{1}{\widehat {\otimes}}_{\pi}Y_{2}.$
- Es gibt Beispiele für und so , dass beide und sind surjektiv homomorphisms aber ist

nicht surjektiv.

u

v

u

v

u{\widehat {\otimes}}_{\pi}v:X_{1}{\widehat {\otimes}}_{\pi}X_{2}\to Y_{1}{\widehat { \otimes }}_{\pi }Y_{2}

Es gibt Beispiele für und so , dass beide und sind TVS-Einbettungen aber ist

nicht eine TVS-Einbettung. Um eine TVS-Einbettung zu sein, ist es notwendig und ausreichend, zusätzlich zu zeigen, dass jede äquistetige Teilmenge von das Bild unter einer äquikontinuierlichen Teilmenge von . ist

u

v

u

v

u{\widehat {\otimes}}_{\pi}v:X_{1}{\widehat {\otimes}}_{\pi}X_{2}\to Y_{1}{\widehat { \otimes }}_{\pi }Y_{2}

u{\widehat {\otimes}}_{\pi}v

B\left(X_{1},X_{2}\right)

{}^{t}\left(u{\widehat {\otimes}}_{\pi}v\right)

B\left(Y_{1},Y_{2}\right).

Wenn alle vier Räume normiert sind, dann

\|u\otimes v\|_{\pi}=\|u\|\|v\|.

Die π-Topologie ist feiner als die ε-Topologie (da die kanonische bilineare Abbildung stetig ist).

X\times Y\to X\otimes _{\epsilon}Y

Wenn und Frechet-Räume sind, dann wird gebarellt.

X

Y

X\otimes_{\pi}Y

Wenn und lokal konvexe Räume sind, dann ist die kanonische Abbildung ein TVS-Isomorphismus.

Y

\left(X_{\alpha}\right)

\left(\prod_{\alpha}X_{\alpha}\right){\widehat {\otimes}}_{\pi}Y\to \prod_{\alpha}\left(X_{\ alpha }{\widehat {\otimes}}_{\pi}Y\right)

Wenn und Frechet-Räume sind und ein vollständiger lokal konvexer Hausdorff-Raum ist, dann wird der kanonische Vektorraum-Isomorphismus zu einem Homöomorphismus, wenn diesen Räumen die Topologien der gleichmäßigen Konvergenz auf Produkte kompakter Mengen und für den zweiten die Topologie der kompakten Konvergenz gegeben sind (dh ist ein TVS-Isomorphismus).

X

Y

Z

I:B(X,Y;Z)\nach L\left(X{\widehat {\otimes}}_{\pi}Y;Z\right)

I:B_{c}(X,Y;Z)\to L_{c}\left(X{\widehat {\otimes}}_{\pi}Y;Z\right)

Angenommen und sind Frechet-Räume. Jede kompakte Teilmenge von ist in der geschlossenen konvexen balancierten Hülle des Tensorprodukts enthalten, wenn eine kompakte Teilmenge von und eine kompakte Teilmenge von

X

Y

X{\widehat {\otimes}}_{\pi}Y

X

Y.

Wenn und dann nuklear sind und nuklear sind.

X

Y

X\otimes_{\pi}Y

X{\widehat {\otimes}}_{\pi}Y

Projektive Norm

Angenommen, und sind normierte Räume. Dann ist ein normierbarer Raum mit einer kanonischen Norm bezeichnet mit Die

-norm ist definiert auf durch

\left(X,\|\,\cdot \,\|\right)

\left(Y,\|\,\cdot \,\|\right)

X\otimes_{\pi}Y

\|\,\cdot\,\|_{\pi}.

$\pi$

X\otimes Y

\|b\|_{\pi}:=\inf_{r>0,b\in rW}r

wo ist die balancierte konvexe Hülle von Given in this kann auch ausgedrückt werden als

W

C_{p}\otimes C_{q}=\left\{x\otimes y:p(x)\leq 1,q(y)\leq 1\right\}.

b

X\otimes Y,

\|b\|_{\pi}:=\inf\sum _{i}\|x_{i}\|\|y_{i}\|

wobei das Infimum über alle endlichen Folgen und (gleicher Länge) genommen wird, so dass If in then

x_{1},\ldots,x_{n}\in X

y_{1},\ldots,y_{n}\in Y

b=x_{1}\otimes y_{1}+\cdots +x_{n}\otimes y_{n}.

b

X{\widehat {\otimes}}_{\pi}Y

\|b\|_{\pi}:=\inf\sum _{i}\|x_{i}\|\|y_{i}\|

wobei das Infimum über alle (endlichen oder unendlichen) Folgen und (gleicher Länge) genommen wird, so dass auch

x_{1},\ldots,\in X

y_{1},\ldots,\in Y

b=x_{1}\otimes y_{1}+\cdots.

\|b\|_{\pi}:=\inf\sum_{i}|\lambda_{i}|

wobei das Infimum über alle Sequenzen aufgenommen wird in und in und Skalare (von gleicher Länge) , so dass und sich auch,

\left(x_{i}\right)

X

\left(y_{i}\right)

Y

\lambda_{1},\cdots

b=\lambda_{1}x_{1}\otimes y_{1}+\cdots,

\|x_{i}\|=\|y_{i}\|=1,

\sum_{i}|\lambda_{i}|<\infty.

\|b\|_{\pi}:=\inf\sum_{i}|\lambda_{i}|\|x_{i}\|\|y_{i}\|

wobei das Infimum über alle Folgen in und in und Skalare (gleicher Länge) so genommen wird, dass und gegen den Ursprung konvergieren, und

\left(x_{i}\right)

X

\left(y_{i}\right)

Y

\lambda_{1},\cdots

b=\lambda_{1}x_{1}\otimes y_{1}+\cdots,

\left(x_{i}\right)

\left(y_{i}\right)

\sum_{i}|\lambda_{i}|<\infty.

Wenn und Banachräume sind, dann ist die geschlossene Einheitskugel von die geschlossene konvexe Hülle des Tensorprodukts der geschlossenen Einheitskugel in mit der von $X$ $Y$ $X{\widehat {\otimes}}_{\pi}Y$ $X$ $Y.$

Eigenschaften

Für alle normierten Räume ist der kanonische Vektorraumisomorphismus von on eine Isometrie. $\left(Z,\|\,\cdot\,\|\right),$ $B(X,Y;Z)$ $L\left(X\otimes_{\pi}Y;Z\right)$
Nehmen wir an, dass dies eine Norm ist, und die TVS-Topologie, die sie induziert, sei mit bezeichnet Wenn die kanonische lineare Abbildung von in die das algebraische Dual von ist eine Isometrie von

on zu dann

\|\,\cdot \,\|

X\otimes Y

X\otimes Y

{\displaystyle\alpha.}

B(X,Y)

\left(X\otimes Y\right)^{\#},

X\otimes Y,

B(X,Y)

\left(X\otimes_{\alpha}Y\right)^{\prime},

\|\,\cdot \,\|=\|\,\cdot \,\|_{\pi}.

Erhaltene Eigenschaften

Im Allgemeinen respektiert das projektive Tensorprodukt keine Unterräume (zB wenn ist ein Vektorunterraum von dann hat der TVS im Allgemeinen eine gröbere Topologie als die von geerbte Unterraumtopologie ). $Z$ $X$ $Z\otimes _{\pi}Y$ $X\otimes_{\pi}Y$
Nehmen wir an , und Sie werden sich Teilräume und jeweils. Dann ist ein komplementärer Untervektorraum von und die projektive Norm on ist äquivalent zu der auf den Unterraum beschränkten projektiven Norm on ; Wenn und werden außerdem durch Projektionen der Norm 1 ergänzt, dann wird durch eine Projektion der Norm 1 ergänzt. $E$ $F$ $X$ $Y,$ $E\otimes F$ $X\otimes_{\pi}Y$ $E\otimes _{\pi}F$ $X\otimes_{\pi}Y$ $E\otimes F$ $X$ $F$ $E\otimes _{\pi}F$
Wenn es sich um eine isometrische Einbettung in einen Banach-Raum handelt, dann ist seine einzigartige kontinuierliche Erweiterung auch eine isometrische Einbettung. $I:X\otimes _{\pi}Y\to Z$ $Z,$ $I:X{\widehat {\otimes}}_{\pi}Y\to Z$
Wenn und Quotientenoperatoren zwischen Banachräumen sind, dann gilt auch $\alpha :W\to X$ $\alpha :W\to X$ $\beta :Y\to Z$ $\beta :Y\to Z$ $\alpha {\widehat {\otimes}}_{\pi}\beta :W{\widehat {\otimes}}_{\pi}Y\to X{\widehat {\otimes}}_{\ pi}Z.$ $\alpha {\widehat {\otimes}}_{\pi}\beta :W{\widehat {\otimes}}_{\pi}Y\to X{\widehat {\otimes}}_{\ pi}Z.$
- Ein stetiger linearer Operator zwischen normierten Räumen ist ein

Quotientenoperator, wenn er surjektiv ist und die offene Einheitskugel von in die offene Einheitskugel von abbildet oder äquivalent für alle

\beta :Y\to Z

Y

Z,

z\in Z,

\|z\|=\inf_{y\in\beta^{-1}(z)}\|y\|.

Lassen und Vektorraum der Banachräumen sein und jeweils. Dann ist ein TVS-Unterraum genau dann gegeben, wenn sich jede beschränkte Bilinearform on zu einer stetigen Bilinearform on mit der gleichen Norm ausdehnt.

X

F

X

Y,

E{\widehat {\otimes}}_{\pi}F

X{\widehat {\otimes}}_{\pi}Y

E\times F

X\times Y

Trace-Formular

Angenommen, das ist ein lokal konvexer Raum. Es gibt eine bilineare Form auf , die durch die , wenn ein Banachraumes Norm hat gleich 1. Diese bilineare Form entspricht eine lineare Form auf durch Kartieren gegeben zu (wobei natürlich dieser Wert ist in der Tat unabhängig von der Darstellung der gewählten). Für Vermieter haben ihre starke Dual - Topologie, können wir diese lineare Karte auf einer Karte kontinuierlich erweitern (unter der Annahme , dass die Vektorräume Skalarfelds haben ) die genannte

Spur von , dass dieser Name rührt daher , wenn wir schreiben , wo , wenn und sonst 0 ist , dann

X

X\times X^{\prime}

\left(x,x^{\prime}\right)\mapsto x^{\prime}(x),

X

X\otimes X^{\prime}

z:=\sum_{i=1}^{n}x_{i}\otimes x_{i}^{\prime}

\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{\prime}\left(x_{i}\right)

\sum_{i=1}^{n}x_{i}\otimes x_{i}^{\prime}

z

X^{\prime}

\operatorname {Tr} :X{\widehat {\otimes}}_{\pi}X_{b}^{\prime}\to \mathbb {C}

\mathbb{C}

X.

z=\sum_{i,j=1}^{n}z_{ij}e_{i}\otimes e_{j}^{\prime}

e_{j}^{\prime}\left(e_{i}\right)=1

i=j

\operatorname {Tr} (z)=\sum _{i=1}^{n}z_{ii}.

Dualität mit L(X; Y')

Unter der Annahme , daß und sind Banachräumen über das Feld kann man ein definieren

duales System zwischen und mit der Dualität Karte definiert , wo die Identitätskarte und ist die einzigartige kontinuierliche Verlängerung der kontinuierlichen Karte Wenn wir schreiben mit und die Sequenzen und jeder konvergierenden Null , dann haben wir

X

Y

{\displaystyle\mathbb{F},}

X{\widehat {\otimes}}_{\pi}Y

L_{b}\left(X;Y^{\prime}\right)

\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle :L_{b}\left(X;Y^{\prime}\right)\times \left(X{\widehat {\otimes}}_ {\pi}Y\rechts)\zu \mathbb{F}

\langle u,z\rangle :=\operatorname {Tr} \left(\left(u\,{\widehat {\otimes}}_{\pi}\operatorname {Id} _{Y}\right )(z)\rechts),

\operatorname {Id} _{Y}:Y\to Y

u\,{\widehat {\otimes}}_{\pi}\operatorname {Id} _{Y}:X{\widehat {\otimes}}_{\pi}Y\to Y^{\ Primzahl }{\widehat{\otimes}}_{\pi}Y

u\,\otimes_{\pi}\operatorname {Id} _{Y}:X\otimes_{\pi}Y\to Y^{\prime}\otimes_{\pi}Y.

z=\sum_{i=1}^{\infty}\lambda_{i}x_{i}\otimes y_{i}

\sum_{i=1}^{\infty}\left|\lambda_{i}\right|<\infty

\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty}

\left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty}

\left\langle u,z\right\rangle =\sum_{i=1}^{\infty}\lambda_{i}\left\langle u\left(x_{i}\right), y_{i}\rechts\rangle .

Kernkraftbetreiber

Es gibt eine kanonische Vektorraumeinbettung, die durch Senden an die Karte definiert wird $I:X^{\prime}\otimes Y\to L(X;Y)$ $z:=\sum_{i}^{n}x_{i}^{\prime}\otimes y_{i}$

x\mapsto \sum_{i}^{n}x_{i}^{\prime}(x)y_{i}

wobei gezeigt werden kann, dass dieser Wert unabhängig von der gewählten Darstellung ist .

z

Kernkraftbetreiber zwischen Banachräumen

Angenommen, und sind Banach-Räume, dann hat die Abbildung eine Norm, so dass sie eine kontinuierliche Erweiterung zu einer Abbildung hat, von der bekannt ist, dass diese Abbildung nicht unbedingt injektiv ist. Der Bereich dieser Karte wird mit bezeichnet und ihre Elemente werden als

Kernoperatoren bezeichnet . ist TVS-isomorph zu und die Norm auf diesem Quotientenraum, wenn sie über die induzierte Abbildung auf Elemente von übertragen wird, heißt dies Spurnorm und wird mit bezeichnet

X

Y

I:X_{b}^{\prime}\otimes_{\pi}Y\to L_{b}(X;Y)

1

{\hat{I}}:X_{b}^{\prime}{\widehat{\otimes}}_{\pi}Y\to L_{b}(X;Y),

L^{1}(X;Y)

L^{1}(X;Y)

\left(X_{b}^{\prime }{\widehat {\otimes}}_{\pi}Y\right)/\operatorname {ker} {\hat {I}}

L^{1}(X;Y)

{\hat {I}}:\left(X_{b}^{\prime }{\widehat {\otimes}}_{\pi}Y\right)/\operatorname {ker} {\hat { I}}\nach L^{1}(X;Y),

\|\,\cdot \,\|_{\operatorname {Tr}}.

Kernoperatoren zwischen lokal konvexen Räumen

Angenommen, dies ist eine konvex ausgeglichene geschlossene Umgebung des Ursprungs in und eine konvex ausgeglichene beschränkte

Banach-Scheibe in mit sowohl und lokal konvexen Räumen. Sei und sei die kanonische Projektion. Den Banach-Hilfsraum kann man sowohl mit der kanonischen Abbildung, deren Bild dicht ist, als auch mit dem Hilfsraum normiert und mit einer kanonischen Abbildung als (kontinuierliche) kanonische Injektion definieren. Bei einer gegebenen kontinuierlichen linearen Abbildung erhält man durch Komposition die kontinuierliche lineare Abbildung ; also haben wir eine Injektion und verwenden diese Abbildung fortan, um einen Unterraum von zu identifizieren

U

X

B

Y

X

Y

p_{U}(x)=\inf_{r>0,x\in rU}r

\pi :X\to X/p_{U}^{-1}(0)

{\hat {X}}_{U}

{\hat {\pi}}_{U}:X\to {\hat {X}}_{U}

X/p_{U}^{-1}(0),

{\hat {X}}_{U}

F_{B}=\operatorname {span} B

p_{B}(y)=\inf_{r>0,y\in rB}r

\iota :F_{B}\to F

T:{\hat {X}}_{U}\to Y_{B}

{\hat {\pi}}_{U}\circ T\circ \iota :X\to Y

L\left({\hat{X}}_{U};Y_{B}\right)\to L(X;Y)

L\left({\hat{X}}_{U};Y_{B}\right)

L(X;Y).

Seien und seien Hausdorff-lokalkonvexe Räume. Die Vereinigung aller als Bereiche über alle geschlossenen konvex ausgeglichenen Umgebungen des Ursprungs in und Bereiche über alle beschränkten

Banach-Scheiben in wird mit bezeichnet und seine Elemente heißen Kernabbildungen von into

X

Y

L^{1}\left({\hat{X}}_{U};Y_{B}\right)

U

X

B

Y,

L^{1}(X;Y)

X

Y.

Wenn und Banach-Räume sind, dann stimmt diese neue Definition der

Kernabbildung mit der ursprünglichen Definition überein, die für den Spezialfall gegeben wurde, wo und Banach-Räume sind.

X

Y

X

Y

Kernoperatoren zwischen Hilberträumen

Jeder Kernoperator ist ein Integraloperator, aber das Umgekehrte gilt nicht unbedingt. Jeder Integraloperator zwischen Hilberträumen ist jedoch nuklear.

Theorem — Seien und seien Hilbert-Räume und bestücken (der Raum der nuklearen Linearoperatoren) mit der Spurnorm. Wenn der Raum kompakter linearer Operatoren mit der Operatornorm ausgestattet ist (induziert durch die übliche Norm auf ), dann ist sein (starkes) Dual (mit der Spurnorm) und sein Bidual der Raum aller stetigen linearen Operatoren $X$ $Y$ $L^{1}\left(X;Y\right)$ $X\nach Y$ $L_{b}(X;Y)$ $L^{1}\left(X;Y\right)$ $L\left(X;Y\right)$ $X\nach Y.$

Kernbilinearformen

Es gibt eine kanonische Vektorraumeinbettung, die durch Senden an die Karte definiert wird $J:X^{\prime}\otimes Y^{\prime}\to {\mathcal{B}}(X,Y)$ $z:=\sum_{i}^{n}x_{i}^{\prime}\otimes y_{i}^{\prime}$

(x,y)\mapsto \sum_{i}^{n}x_{i}^{\prime}(x)y_{i}{\prime}(y)

wobei gezeigt werden kann, dass dieser Wert unabhängig von der gewählten Darstellung ist .

z

Kernbilinearformen auf Banachräumen

Angenommen, und sind Banach-Räume, dann hat die Abbildung eine Norm, so dass sie eine kontinuierliche Erweiterung zu einer Abbildung hat. Der Bereich dieser Abbildung wird durch bezeichnet und ihre Elemente werden

nukleare Bilinearformen genannt . ist TVS-isomorph zu und die Norm auf diesem Quotientenraum, wenn sie über die induzierte Abbildung auf Elemente von übertragen wird, heißt dies Kernnorm und wird mit bezeichnet

X

Y

J:X_{b}^{\prime}\otimes_{\pi}Y_{b}^{\prime}\to {\mathcal {B}}_{b}(X,Y)

1

{\hat{J}}:X_{b}^{\prime}{\widehat{\otimes}}_{\pi}Y_{b}^{\prime}\to {\mathcal{B} }_{b}(X,Y).

B^{1}(X,Y)

B^{1}(X,Y)

\left(X_{b}^{\prime }{\widehat {\otimes}}_{\pi}Y_{b}^{\prime}\right)/\operatorname {ker} {\hat { J}}

B^{1}(X,Y)

{\hat{J}}:\left(X_{b}^{\prime }{\widehat {\otimes}}_{\pi}Y_{b}^{\prime}\right)/\ Operatorname {ker} {\hat {J}}\to B^{1}(X,Y),

\|\,\cdot \,\|_{\operatorname {N} }.

Angenommen, und sind Banachräume und das ist von nun an eine stetige Bilinearität $X$ $Y$ $N$ $X\times Y.$

Folgendes ist gleichwertig:

$N$ ist nuklear.
Es existieren beschränkte Folgen in und in solchen, dass und gleich der Abbildung ist: für alle $\left(x_{i}^{\prime}\right)_{i=1}^{\infty}$ $X_{b}^{\prime}$ $\left(y_{i}^{\prime}\right)_{i=1}^{\infty}$ $Y_{b}^{\prime}$ $\sum_{i=1}^{\infty}\|x_{i}^{\prime}\|\|y_{i}^{\prime}\|<\infty$ $N$ $N(x,y)=\sum_{i=1}^{\infty}x_{i}^{\prime}(x)y_{i}^{\prime}(y)$ $(x,y)\in X\times Y.$

In diesem Fall nennen wir eine

Kerndarstellung von

\sum_{i=1}^{\infty}x_{i}^{\prime}\otimes y_{i}^{\prime}

N.

Die nukleare Norm von ist: $N$

\|N\|_{\operatorname {N} }=\inf \left\{\sum _{i=1}^{\infty}\left\|x_{i}^{\prime}\ rechts\|\links\|y_{i}^{\prime}\right\|:B(x,y)=\sum _{i=1}^{\infty}x_{i}^{\prime} (x)y_{i}^{\prime}(y){\text{ für alle}}(x,y)\in X\times Y\right\}.

Beachten Sie, dass

\|N\|\leq \|N\|_{\operatorname {N} }.

Beispiele

Raum absolut summierbarer Familien

In diesem Abschnitt fixieren wir eine beliebige (möglicherweise unzählbare ) Menge a TVS und lassen wir die

gerichtete Menge aller endlichen Teilmengen von gerichtet durch Inklusion sein

A,

X,

{\mathcal {F}}(A)

A

\subseteq .

Lassen Sie eine Familie von Elementen in einer TVS und für jede endliche Teilmenge von lassen Wir nennen

summable in , wenn die Grenze der Netto konvergiert in einem gewissen Element (ein solches Element seiner genannt Summe ). Wir nennen absolut summierbar, wenn sie summierbar ist und wenn für jede stetige Seminorm auf der Familie summierbar ist in Die Menge aller dieser absolut summierbaren Familien ist ein Vektorunterraum von bezeichnet mit

\left(x_{\alpha}\right)_{\alpha\in A}

X

H

A,

x_{H}:=\sum _{i\in H}x_{i}.

\left(x_{\alpha}\right)_{\alpha\in A}

X

\lim_{H\in {\mathcal{F}}(A)}x_{H}

\left(x_{H}\right)_{H\in {\mathcal{F}}(A)}

X

\left(x_{\alpha}\right)_{\alpha\in A}

p

X,

\left(p\left(x_{\alpha}\right)\right)_{\alpha\in A}

{\displaystyle\mathbb{R}.}

X^{A}

S_{a}.

Beachten Sie, dass wenn ein metrisierbarer lokal konvexer Raum ist, dann höchstens abzählbar viele Terme in einer absolut summierbaren Familie nicht 0 sind. Ein metrisierbarer lokalkonvexer Raum ist genau dann

nuklear, wenn jede summierbare Folge absolut summierbar ist. Daraus folgt, dass ein normierbarer Raum, in dem jede summierbare Folge absolut summierbar ist, notwendigerweise endlichdimensional ist.

X

Wir definieren nun auf ganz natürliche Weise eine Topologie . Diese Topologie stellt sich als die projektive Topologie heraus, die von einem kanonischen Vektorraum-Isomorphismus (dem offensichtlichen) übernommen und übertragen wird . Dies kommt häufig vor, wenn man die injektiven und projektiven Tensorprodukte von Funktions-/Folgeräumen und TVSs untersucht: Der "natürliche Weg", auf dem man eine Topologie auf einem solchen Tensorprodukt (von Grund auf neu) definieren würde, ist häufig äquivalent zum projektiven oder

injektiven Tensorprodukttopologie .

S_{a}

\ell^{1}(A){\widehat {\otimes}}_{\pi}X

S_{a}

Lassen Sie bezeichnen eine Basis konvexer ausgewogener Nachbarschaften des Ursprungs in und für jede LET seiner bezeichnet

Minkowski funktional . Für jedes solche und jedes beliebige let where definiert eine Seminorm auf Die Familie der Seminormen erzeugt eine Topologie, die in einen lokal konvexen Raum verwandelt wird . Der mit dieser Topologie ausgestattete Vektorraum wird mit bezeichnet Der Spezialfall, in dem das Skalarfeld ist, wird mit bezeichnet

{\mathfrak {U}}

X

U\in {\mathfrak {U}},

\mu_{U}:X\to\mathbb{R}

U

x=\left(x_{\alpha}\right)_{\alpha\in A}\in S_{a},

p_{U}(x):=\sum_{\alpha\in A}\mu_{U}\left(x_{\alpha}\right)

p_{U}

S_{a}.

\{p_{U}:U\in {\mathfrak {U}}\}

S_{a}

S_{a}

\ell ^{1}[A,X].

X

\ell ^{1}[A].

Es gibt eine kanonische Einbettung von Vektorräumen, die durch Linearisieren der durch . definierten bilinearen Abbildung definiert wird $\ell^{1}(A)\otimes X\to \ell^{1}[A,E]$ $\ell^{1}(A)\times X\to \ell^{1}[A,E]$ $\left(\left(r_{\alpha}\right)_{\alpha \in A},x\right)\mapsto \left(r_{\alpha}x\right)_{\alpha\in EIN}.$

Theorem — Die kanonische Einbettung (von Vektorräumen) wird zu einer Einbettung topologischer Vektorräume, wenn die projektive Topologie gegeben ist und außerdem ihre Reichweite in ihrer Kodomäne dicht ist. Wenn eine Vervollständigung von ist, dann ist die kontinuierliche Erweiterung dieser Einbettung ein Isomorphismus von TVSs. Wenn also vollständig ist, dann ist insbesondere kanonisch isomorph zu $\ell^{1}(A)\otimes X\to \ell^{1}[A,E]$ $\ell^{1}(A)\otimes_{\pi}X\to \ell^{1}[A,E]$ $\ell^{1}(A)\otimes X$ ${\hat {X}}$ $X$ $\ell^{1}(A){\widehat {\otimes}}_{\pi}X\to \ell^{1}\left[A,{\hat{X}}\right]$ $\ell^{1}(A)\otimes_{\pi}X\to \ell^{1}\left[A,X\right]\subseteq \ell^{1}\left[A, {\hat{X}}\right]$ $X$ $\ell^{1}(A){\widehat {\otimes}}_{\pi}X$ $\ell ^{1}[A,E].$

Siehe auch

Hilfsnormierte Räume
Ausgangstopologie – gröbste Topologie, die bestimmte Funktionen stetig macht
Induktives Tensorprodukt
Injektive Tensorprodukt
Integrale Karte
Lokalkonvexer topologischer Vektorraum – Ein Vektorraum mit einer Topologie, die durch konvexe offene Mengen definiert ist
Kernkraftbetreiber
Kernraum – Eine Verallgemeinerung endlichdimensionaler euklidischer Räume, die sich von Hilberträumen unterscheiden
Tensorprodukt von Hilberträumen – Tensorproduktraum ausgestattet mit einem speziellen inneren Produkt
Topologisches Tensorprodukt – Tensorproduktkonstruktionen für topologische Vektorräume
Topologischer Vektorraum – Vektorraum mit dem Begriff der Nähe

Verweise

Literaturverzeichnis

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Externe Links

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Vorrunde

Notation für Topologien

Ein kanonisches Tensorprodukt als Unterraum des Dualen von Bi(X, Y)

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Tensorprodukt von Seminormen

Universelles Eigentum

Die π-Topologie

Erhaltene Eigenschaften

Fertigstellung

Grothendiecks Darstellung von Elementen von $X{\widehat {\otimes}}_{\pi}Y$

Topologie der bi-beschränkten Konvergenz

Stark dual und bidual

Eigenschaften

Projektive Norm

Eigenschaften

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Trace-Formular

Dualität mit L(X; Y')

Kernkraftbetreiber

Kernkraftbetreiber zwischen Banachräumen

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Universelles Eigentum

Die π-Topologie

Erhaltene Eigenschaften

Fertigstellung

Grothendiecks Darstellung von Elementen von x ⊗ ^ π Ja {\displaystyle X{\widehat {\otimes}}_{\pi}Y}

Topologie der bi-beschränkten Konvergenz

Stark dual und bidual

Eigenschaften

Projektive Norm

Eigenschaften

Erhaltene Eigenschaften

Trace-Formular

Dualität mit L(X; Y')

Kernkraftbetreiber

Kernkraftbetreiber zwischen Banachräumen

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Beispiele

Raum absolut summierbarer Familien

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