Puppenfolge - Puppe sequence

In der Mathematik ist die Puppe-Sequenz eine Konstruktion der Homotopietheorie , die nach Dieter Puppe benannt ist . Es gibt zwei Formen: eine lange exakte Sequenz , die aus der Mapping-Faser (einer Fibration ) aufgebaut ist, und eine lange koexakte Sequenz, die aus dem Mapping-Kegel (einer Cofibration ) aufgebaut ist. Intuitiv erlaubt uns die Puppe-Sequenz, die Homologietheorie als einen Funktor zu betrachten , der Räume für lange exakte Sequenzen von Gruppen benötigt. Es ist auch nützlich, um lange exakte Sequenzen relativer Homotopiegruppen zu erstellen .

Genaue Puppe-Sequenz

Sei eine kontinuierliche Abbildung zwischen spitzen Räumen und bezeichne die Abbildungsfaser (die Fibration dual zum Abbildungskegel ). Man erhält dann eine genaue Reihenfolge: ${\ displaystyle f \ Doppelpunkt (X, x_ {0}) \ bis (Y, y_ {0})}$${\ displaystyle Mf}$

${\ displaystyle Mf \ to X \ to Y}$

wobei die Abbildungsfaser definiert ist als:

${\ displaystyle Mf = \ {(x, \ omega) \ in X \ mal Y ^ {I}: \ omega (0) = y_ {0} {\ mbox {und}} \ omega (1) = f (x ) \}}$

Beachten Sie, dass der Schleifenraum in die Mapping-Faser injiziert wird : , da er aus den Maps besteht, die am Basispunkt beginnen und enden . Man kann dann zeigen, dass sich die obige Sequenz auf die längere Sequenz erstreckt ${\ displaystyle \ Omega Y}$${\ displaystyle \ Omega Y \ to Mf}$${\ displaystyle y_ {0}}$

${\ displaystyle \ Omega X \ bis \ Omega Y \ bis Mf \ bis X \ bis Y}$

Die Konstruktion kann dann iteriert werden, um die genaue Puppe-Sequenz zu erhalten

${\ displaystyle \ cdots \ to \ Omega ^ {2} (Mf) \ to \ Omega ^ {2} X \ to \ Omega ^ {2} Y \ to \ Omega (Mf) \ to \ Omega X \ to \ Omega Y \ bis Mf \ bis X \ bis Y}$

Die genaue Sequenz ist in praktischen Anwendungen oft bequemer als die koexakte Sequenz, wie Joseph J. Rotman erklärt:

(die) verschiedenen Konstruktionen (der koexakten Sequenz) beinhalten Quotientenräume anstelle von Teilräumen, und daher erfordern alle Karten und Homotopien eine genauere Prüfung, um sicherzustellen, dass sie genau definiert und kontinuierlich sind.

Beispiele

Beispiel: Relative Homotopie

Als Sonderfall kann man nehmen X ein Unterraum zu A von Y , der den Basispunkt enthält , y ₀ , und f die Aufnahme zu sein , von A in Y . Man erhält dann eine genaue Reihenfolge in der Kategorie der spitzen Räume : ${\ displaystyle i: A \ hookrightarrow Y}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ cdots & \ to \ pi _ {n + 1} (A) \ to \ pi _ {n + 1} (Y) \ to \ left [S ^ {0}, \ Omega ^ {n} (Mi) \ rechts] \ zu \ pi _ {n} (A) \ zu \ pi _ {n} (Y) \ zu \ cdots \\\ cdots & \ zu \ pi _ {1} (A) \ zu \ pi _ {1} (Y) \ zu \ links [S ^ {0}, Mi \ rechts] \ zu \ pi _ {0} (A) \ zu \ pi _ {0} (Y. ) \ end {align}}}$

wo die ARE Homotopiegruppen , die Null-Bereich (dh zwei Punkte) und bezeichnet die Homotopieäquivalenz von Karten von U bis W . Beachten Sie das . Das kann man dann zeigen ${\ displaystyle \ pi _ {n}}$${\ displaystyle S ^ {0}}$${\ displaystyle [U, W]}$${\ displaystyle \ pi _ {n + 1} (X) = \ pi _ {1} (\ Omega ^ {n} X)}$

${\ displaystyle \ left [S ^ {0}, \ Omega ^ {n} (Mi) \ right] = \ left [S ^ {n}, Mi \ right] = \ pi _ {n} (Mi)}$

befindet sich in Bijektion zur relativen Homotopiegruppe , wodurch die relative Homotopie-Sequenz von Paaren entsteht${\ displaystyle \ pi _ {n + 1} (Y, A)}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ cdots & \ to \ pi _ {n + 1} (A) \ to \ pi _ {n + 1} (Y) \ to \ pi _ {n + 1} (Y. , A) \ zu \ pi _ {n} (A) \ zu \ pi _ {n} (Y) \ zu \ cdots \\\ cdots & \ zu \ pi _ {1} (A) \ zu \ pi _ {1} (Y) \ bis \ pi _ {1} (Y, A) \ bis \ pi _ {0} (A) \ bis \ pi _ {0} (Y) \ end {align}}}$

Das Objekt ist eine Gruppe für und ist abelisch für . ${\ displaystyle \ pi _ {n} (Y, A)}$${\ displaystyle n \ geq 2}$${\ displaystyle n \ geq 3}$

Beispiel: Fibration

Als Sonderfall kann man f als Fibration betrachten . Dann hat die Abbildungsfaser Mp die Homotopie-Hebeeigenschaft und es folgt, dass Mp und die Faser den gleichen Homotopietyp haben . Es folgt trivial, dass Karten der Kugel in Mp homotopisch zu Karten der Kugel in F sind , d. H. ${\ displaystyle p: E \ bis B}$ ${\ displaystyle F = p ^ {- 1} (b_ {0})}$

${\ displaystyle \ pi _ {n} (Mp) = \ left [S ^ {n}, Mp \ right] \ simeq \ left [S ^ {n}, F \ right] = \ pi _ {n} (F. ).}$

Daraus ergibt die Puppe-Sequenz die Homotopie-Sequenz einer Fibration :

${\ displaystyle {\ begin {align} \ cdots & \ to \ pi _ {n + 1} (E) \ to \ pi _ {n + 1} (B) \ to \ pi _ {n} (F) \ zu \ pi _ {n} (E) \ zu \ pi _ {n} (B) \ zu \ cdots \\\ cdots & \ zu \ pi _ {1} (E) \ zu \ pi _ {1} ( B) \ bis \ pi _ {0} (F) \ bis \ pi _ {0} (E) \ bis \ pi _ {0} (B) \ end {align}}}$

Beispiel: Schwache Fibration

Schwache Fibrationen sind streng schwächer als Fibrationen, das obige Hauptergebnis gilt jedoch weiterhin, obwohl der Beweis geändert werden muss. Die wichtigste Beobachtung von Jean-Pierre Serre ist, dass bei einer schwachen Fibration und der Faser am Basispunkt eine Bijektion vorliegt${\ displaystyle p \ Doppelpunkt E \ bis B}$${\ displaystyle F = p ^ {- 1} (b_ {0})}$

${\ displaystyle p _ {*} \ Doppelpunkt \ pi _ {n} (E, F) \ bis \ pi _ {n} (B, b_ {0})}$.

Diese Bijektion kann in der obigen relativen Homotopiesequenz verwendet werden, um die Homotopiesequenz einer schwachen Fibration zu erhalten , die dieselbe Form wie die Fibrationssequenz hat, obwohl sie eine andere Verbindungskarte aufweist.

Koexakte Puppe-Sequenz

Sei eine kontinuierliche Karte zwischen CW-Komplexen und bezeichne einen Abbildungskegel von f (dh die Cofaser der Karte f ), so dass wir eine (Cofaser-) Sequenz haben: ${\ displaystyle f \ Doppelpunkt A \ bis B}$${\ displaystyle C (f)}$

${\ displaystyle A \ bis B \ bis C (f)}$.

Jetzt können wir bilden und Suspensionen von A und B sind, und auch (weil Suspension könnte als gesehen werden Funktors ), eine Sequenz zu erhalten: ${\ displaystyle \ Sigma A}$${\ displaystyle \ Sigma B,}$ ${\ displaystyle \ Sigma f \ Doppelpunkt \ Sigma A \ bis \ Sigma B}$

${\ displaystyle \ Sigma A \ bis \ Sigma B \ bis C (\ Sigma f)}$.

Beachten Sie, dass die Suspension die Cofasersequenzen beibehält.

Aufgrund dieser leistungsstarken Tatsache wissen wir , dass ist homotopieäquivalent zu durch Kollabieren zu einem Punkt, hat man eine natürliche Karte Wir haben also eine Sequenz: ${\ displaystyle C (\ Sigma f)}$${\ displaystyle \ Sigma C (f).}$${\ displaystyle B \ subset C (f)}$${\ displaystyle C (f) \ to \ Sigma A.}$

${\ displaystyle A \ bis B \ bis C (f) \ bis \ Sigma A \ bis \ Sigma B \ bis \ Sigma C (f).}$

Wenn wir diese Konstruktion wiederholen, erhalten wir die Puppe-Sequenz, die verbunden ist mit : ${\ displaystyle A \ to B}$

${\ displaystyle A \ bis B \ bis C (f) \ bis \ Sigma A \ bis \ Sigma B \ bis \ Sigma C (f) \ bis \ Sigma ^ {2} A \ bis \ Sigma ^ {2} B \ zu \ Sigma ^ {2} C (f) \ zu \ Sigma ^ {3} A \ zu \ Sigma ^ {3} B \ zu \ Sigma ^ {3} C (f) \ zu \ cdots}$

Einige Eigenschaften und Konsequenzen

Es ist eine einfache Übung in der Topologie, zu sehen, dass alle drei Elemente einer Puppe-Sequenz bis zu einer Homotopie die Form haben:

${\ displaystyle X \ bis Y \ bis C (f)}$.

Mit "bis zu einer Homotopie" meinen wir hier, dass alle 3 Elemente in einer Puppe-Sequenz die obige Form haben, wenn sie als Objekte und Morphismen in der Kategorie Homotopie betrachtet werden .

Wenn man nun einen topologischen halbgenauen Funktor erhält , impliziert die obige Eigenschaft, dass man, nachdem man mit dem fraglichen Funktor auf die zugeordnete Puppe-Sequenz eingewirkt hat , eine lange exakte Sequenz erhält . ${\ displaystyle A \ to B}$

Ein Ergebnis von John Milnor ist, dass man, wenn man die Eilenberg-Steenrod-Axiome für die Homologietheorie verwendet und die Exzision durch die exakte Sequenz einer schwachen Fibration von Paaren ersetzt, die Homotopie-Analogie des Eilenberg-Steenrod-Theorems erhält : dort Es gibt eine einzigartige Folge von Funktoren mit P, der Kategorie aller spitzen Paare topologischer Räume. ${\ displaystyle \ pi _ {n} \ Doppelpunkt P \ bis {\ bf {Sets}}}$

Bemerkungen

Da es zwei "Arten" der Suspension gibt , nicht reduzierte und reduzierte , kann man auch nicht reduzierte und reduzierte Puppe-Sequenzen in Betracht ziehen (zumindest wenn es sich um spitze Räume handelt , wenn es möglich ist, eine reduzierte Suspension zu bilden).

Verweise

• Edwin Spanier , Algebraische Topologie , Springer-Verlag (1982) Nachdruck, McGraw Hill (1966)