Rang einer abelschen Gruppe - Rank of an abelian group

In der Mathematik ist der Rang , der Prüfer-Rang oder der torsionsfreie Rang einer abelschen Gruppe A die Kardinalität einer maximalen linear unabhängigen Teilmenge. Der Rang A bestimmt die Größe der größten in A enthaltenen freien abelschen Gruppe . Wenn A ist verwindungssteif dann bettet sie in einen Vektorraum über die rationalen Zahlen der Dimension Rang A . Für endlich erzeugte abelsche Gruppen ist der Rang eine starke Invariante, und jede solche Gruppe wird bis zum Isomorphismus durch ihre Rang- und Torsionsuntergruppe bestimmt . Torsionsfreie abelsche Gruppen von Rang 1 wurden vollständig klassifiziert. Die Theorie der abelschen Gruppen von höherem Rang ist jedoch stärker involviert.

Der Begriff Rang hat im Kontext elementarer abelscher Gruppen eine andere Bedeutung .

Definition

Eine Teilmenge { a _α } einer abelschen Gruppe ist linear unabhängig (über Z ), wenn die einzige lineare Kombination dieser Elemente, die gleich Null ist, trivial ist: if

${\ displaystyle \ sum _ {\ alpha} n _ {\ alpha} a _ {\ alpha} = 0, \ quad n _ {\ alpha} \ in \ mathbb {Z},}$

Wenn alle bis auf endlich viele Koeffizienten n _{& agr;} Null sind (so dass die Summe tatsächlich endlich ist), dann sind alle Summanden 0. Zwei beliebige zwei maximal linear unabhängige Mengen in A haben dieselbe Kardinalität , die als Rang von A bezeichnet wird .

Der Rang einer abelschen Gruppe ist analog zur Dimension eines Vektorraums . Der Hauptunterschied zum Fall des Vektorraums ist das Vorhandensein von Torsion . Ein Element einer abelschen Gruppe A wird als Torsion klassifiziert, wenn seine Ordnung endlich ist. Die Menge aller Torsionselemente ist eine Untergruppe, die als Torsionsuntergruppe bezeichnet und mit T ( A ) bezeichnet wird. Eine Gruppe wird als torsionsfrei bezeichnet, wenn sie keine nicht trivialen Torsionselemente enthält. Die Faktorgruppe A / T ( A ) ist der eindeutige maximale torsionsfreie Quotient von A und sein Rang stimmt mit dem Rang von A überein .

Der Begriff des Ranges mit analogen Eigenschaften kann für Module über eine beliebige integrale Domäne definiert werden , wobei der Fall von abelschen Gruppen Modulen über Z entspricht . Siehe hierzu das endlich generierte Modul # Generischer Rang .

Eigenschaften

• Der Rang einer abelschen Gruppe A stimmt mit der Dimension des Q- Vektorraums A ⊗ Q überein . Wenn A ist verwindungsfreie dann die kanonische Abbildung A → A ⊗ Q ist injektiv und der Rang von A ist die minimale Abmessung von Q -Vektorraum enthaltend A als abelian Untergruppe. Insbesondere hat jede Zwischengruppe Z ⁿ < A < Q ⁿ den Rang n .
• Abelsche Gruppen mit Rang 0 sind genau die periodischen abelschen Gruppen .
• Die Gruppe Q rationaler Zahlen hat Rang 1. Torsionsfreie abelsche Gruppen von Rang 1 werden als Untergruppen von Q realisiert und es gibt eine zufriedenstellende Klassifizierung von ihnen bis zum Isomorphismus. Im Gegensatz dazu gibt es keine zufriedenstellende Klassifizierung von torsionsfreien abelschen Gruppen von Rang 2.
• Der Rang addiert sich zu kurzen exakten Sequenzen : if

${\ displaystyle 0 \ bis A \ bis B \ bis C \ bis 0 \;}$

ist eine kurze exakte Sequenz der abelschen Gruppen dann rk B = rk A + rk C . Dies folgt aus der Ebenheit von Q und der entsprechenden Tatsache für Vektorräume.

• Der Rang addiert sich zu beliebigen direkten Summen :

${\ displaystyle \ operatorname {rank} \ left (\ bigoplus _ {j \ in J} A_ {j} \ right) = \ sum _ {j \ in J} \ operatorname {rank} (A_ {j}),}$

wobei die Summe auf der rechten Seite Kardinalarithmetik verwendet .

Gruppen von höherem Rang

Abelsche Gruppen mit einem Rang größer als 1 sind Quellen für interessante Beispiele. Zum Beispiel, für jeden Kardinal d gibt es verwindungsfreie abelschen Gruppen von Rang d , die unzerlegbar , dh nicht als direkte Summe eines Paar von ihren echten Untergruppen ausgedrückt werden. Diese Beispiele zeigen, dass eine torsionsfreie abelsche Gruppe mit einem Rang größer als 1 nicht einfach durch direkte Summen aus torsionsfreien abelschen Gruppen mit Rang 1 gebildet werden kann, deren Theorie gut verstanden wird. Darüber hinaus gibt es für jede ganze Zahl eine torsionsfreie abelsche Ranggruppe , die gleichzeitig eine Summe von zwei nicht zusammensetzbaren Gruppen und eine Summe von n nicht zusammensetzbaren Gruppen ist. Daher ist selbst die Anzahl der nicht zusammensetzbaren Summanden einer Gruppe mit einem geraden Rang größer oder gleich 4 nicht genau definiert. ${\ displaystyle n \ geq 3}$${\ displaystyle 2n-2}$

Ein weiteres Ergebnis über die Nicht-Eindeutigkeit direkter Summenzerlegungen ist auf ALS Corner zurückzuführen: Bei gegebenen ganzen Zahlen existiert eine torsionsfreie abelsche Gruppe A mit Rang n, so dass für jede Aufteilung in k natürliche Summanden die Gruppe A die direkte Summe von k ist nicht zusammensetzbare Untergruppen von Rängen . Somit ist die Folge von Rängen nicht zusammensetzbarer Summanden in einer bestimmten direkten Summenzerlegung einer torsionsfreien abelschen Gruppe endlichen Ranges weit davon entfernt, eine Invariante von A zu sein . ${\ displaystyle n \ geq k \ geq 1}$${\ displaystyle n = r_ {1} + \ cdots + r_ {k}}$${\ displaystyle r_ {1}, r_ {2}, \ ldots, r_ {k}}$

Andere überraschende Beispiele umfassen torsionsfreie Rang-2-Gruppen A _{n , m} und B _{n , m,} so dass A ⁿ genau dann isomorph zu B ⁿ ist, wenn n durch m teilbar ist .

Für abelsche Gruppen von unendlichem Rang gibt es ein Beispiel für eine Gruppe K und eine Untergruppe G, so dass

• K ist nicht zusammensetzbar;
• K wird durch G und ein einzelnes anderes Element erzeugt; und
• Jeder direkte Summand von G ungleich Null ist zerlegbar.

Verallgemeinerung

Der Rangbegriff kann für jedes Modul M über eine integrale Domäne R verallgemeinert werden , als die Dimension über R ₀ , das Quotientenfeld , des Tensorprodukts des Moduls mit dem Feld:

${\ displaystyle {\ text {rank}} (M) = \ dim _ {R_ {0}} M \ otimes _ {R} R_ {0}}$

Es ist sinnvoll, da R ₀ ein Feld ist und somit jedes Modul (oder genauer gesagt der Vektorraum ) darüber frei ist.

Es ist eine Verallgemeinerung, da jede abelsche Gruppe ein Modul über die ganzen Zahlen ist. Daraus folgt leicht, dass die Dimension des Produkts über Q die Kardinalität der maximalen linear unabhängigen Teilmenge ist, da für jedes Torsionselement x und jedes rationale q

${\ displaystyle x \ otimes _ {\ mathbf {Z}} q = 0}$

Siehe auch

• Rang einer Gruppe

Verweise