Genaue Reihenfolge - Exact sequence

Eine exakte Sequenz ist eine Sequenz von Morphismen zwischen Objekten (zum Beispiel Gruppen , Ringe , Module und allgemeiner Objekte einer abelschen Kategorie ), so dass das Bild eines Morphismus dem Kern des nächsten entspricht.

Definition

Im Kontext der Gruppentheorie ist eine Sequenz

${\displaystyle G_{0}\;{\xrightarrow {\ f_{1}\ }}\;G_{1}\;{\xrightarrow {\ f_{2}\ }}\;G_{2}\;{ \xrightarrow {\ f_{3}\ }}\;\cdots \;{\xrightarrow {\ f_{n}\ }}\;G_{n}}$

von Gruppen und Gruppenhomomorphismen heißt genau bei if . Die Folge heißt exakt, wenn sie bei jedem für alle exakt ist , dh wenn das Bild jedes Homomorphismus gleich dem Kern des nächsten ist. ${\displaystyle G_{i}}$${\displaystyle \operatorname {im} (f_{i})=\ker(f_{i+1})}$${\displaystyle G_{i}}$${\displaystyle 1\leq i<n}$

Die Folge von Gruppen und Homomorphismen kann entweder endlich oder unendlich sein.

Eine ähnliche Definition kann für andere algebraische Strukturen gemacht werden . Zum Beispiel könnte man eine exakte Folge von Vektorräumen und linearen Abbildungen oder von Modulen und Modulhomomorphismen haben . Allgemeiner ausgedrückt ist der Begriff einer exakten Sequenz in jeder Kategorie mit Kernels und Cokernels sinnvoll , und spezieller in abelschen Kategorien , wo er weit verbreitet ist.

Einfache Fälle

Um die Definition zu verstehen, ist es hilfreich, relativ einfache Fälle zu betrachten, in denen die Folge endlich ist und mit der trivialen Gruppe beginnt oder endet . Traditionell wird dies zusammen mit dem einzelnen Identitätselement mit 0 (additive Notation, normalerweise wenn die Gruppen abelsch sind) oder mit 1 (multiplikative Notation) bezeichnet.

• Betrachten Sie die Folge 0 → A → B . Das Bild der Karte ganz links ist 0. Daher ist die Sequenz genau dann genau, wenn die Karte ganz rechts (von A nach B ) den Kernel {0} hat; das heißt, genau dann, wenn diese Abbildung ein Monomorphismus (injektiv oder eins zu eins) ist.
• Betrachten Sie die duale Folge B → C → 0. Der Kern der Abbildung ganz rechts ist C. Daher ist die Folge genau dann genau, wenn das Bild der Abbildung ganz links (von B nach C ) ganz aus C besteht ; das heißt, genau dann, wenn diese Abbildung ein Epimorphismus (surjektiv oder auf) ist.
• Daher ist die Folge 0 → X → Y → 0 genau dann exakt, wenn die Abbildung von X nach Y sowohl ein Monomorphismus als auch ein Epimorphismus (d. h. ein Bimorphismus ) ist, und somit in vielen Fällen ein Isomorphismus von X nach Y .

Kurze genaue Sequenz

Wichtig sind kurze exakte Folgen , das sind exakte Folgen der Form

${\displaystyle 0\to A\;\xrightarrow {\ f\ } \;B\;\xrightarrow {\ g\ } \;C\to 0.}$

Wie oben festgestellt, ist für jede solche kurze exakte Folge f ein Monomorphismus und g ist ein Epimorphismus. Außerdem ist das Bild von f gleich dem Kern von g . Es ist hilfreich, sich A als Teilobjekt von B mit f Einbettung von A in B vorzustellen , und C als das entsprechende Faktorobjekt (oder Quotient ), B / A , wobei g einen Isomorphismus induziert

${\displaystyle C\cong B/\operatorname {im} (f)}$

Die kurze exakte Sequenz

${\displaystyle 0\to A\;{\xrightarrow {\ f\ }}\;B\;{\xrightarrow {\ g\ }}\;C\to 0}$

heißt gespalten, wenn es einen Homomorphismus h  : C → B gibt, so dass die Zusammensetzung g ∘ h die Identitätskarte auf C ist . Daraus folgt, dass, wenn es sich um abelsche Gruppen handelt , B isomorph zur direkten Summe von A und C ist (siehe Splitting Lemma ):

${\displaystyle B\cong A\oplus C.}$

Lange exakte Sequenz

Eine allgemeine exakte Folge wird manchmal als lange exakte Folge bezeichnet , um sie vom Spezialfall einer kurzen genauen Folge zu unterscheiden.

Eine lange exakte Folge ist äquivalent zu einer Familie kurzer exakter Folgen im folgenden Sinne: Gegeben eine lange Folge

${\displaystyle A_{0}\;\xrightarrow {\ f_{1}\ } \;A_{1}\;\xrightarrow {\ f_{2}\ } \;A_{2}\;\xrightarrow {\ f_ {3}\ } \;\cdots\;\xrightarrow {\ f_{n}\ } \;A_{n},}$ (1)

mit n ≥ 2 können wir es in die kurzen Folgen aufteilen

${\displaystyle {\begin{aligned}0\rightarrow K_{1}\rightarrow {}&A_{1}\rightarrow K_{2}\rightarrow 0,\\0\rightarrow K_{2}\rightarrow {}&A_{2 }\rightarrow K_{3}\rightarrow 0,\\\vdots \\0\rightarrow K_{n-1}\rightarrow {}&A_{n-1}\rightarrow K_{n}\rightarrow 0,\\\end {ausgerichtet}}}$ (2)

wo für jeden . Konstruktionsbedingt sind die Folgen (2) genau bei den 's (unabhängig von der Genauigkeit von (1) ). Außerdem ist (1) genau dann eine lange exakte Folge, wenn (2) alle kurze exakte Folgen sind. ${\displaystyle K_{i}=\operatorname {im} (f_{i})}$${\displaystyle i}$${\displaystyle K_{i}}$

Beispiele

Ganzzahlen modulo zwei

Betrachten Sie die folgende Abfolge von abelschen Gruppen:

${\displaystyle \mathbf {Z} \;\;{\overset {2\times }{\hookrightarrow}}\;\;\mathbf {Z} \twoheadrightarrow \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} }$

Der erste Homomorphismus bildet jedes Element i in der Menge der ganzen Zahlen Z auf das Element 2 i in Z ab . Der zweite Homomorphismus bildet jedes Element i in Z auf ein Element j in der Quotientengruppe ab; das heißt, j = i mod 2. Hier zeigt der Hakenpfeil an, dass die Abbildung 2× von Z nach Z ein Monomorphismus ist, und der zweiköpfige Pfeil zeigt einen Epimorphismus (die Abbildung mod 2) an. Dies ist eine exakte Sequenz, da das Bild 2 Z des Monomorphismus der Kern des Epimorphismus ist. Im Wesentlichen kann "die gleiche" Sequenz auch geschrieben werden als ${\displaystyle \hookrightarrow}$${\displaystyle \twoheadrightarrow}$

${\displaystyle 2\mathbf{Z}\;\;{\hookrightarrow}\;\;\mathbf{Z} \twoheadrightarrow\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}}$

In diesem Fall ist der Monomorphismus 2 n 2 n und obwohl er wie eine Identitätsfunktion aussieht, ist er nicht auf ( dh kein Epimorphismus), da die ungeraden Zahlen nicht zu 2 Z gehören . Das Bild von 2 Z durch diesen Monomorphismus ist jedoch genau dieselbe Teilmenge von Z wie das Bild von Z durch n ↦ 2 n, das in der vorherigen Sequenz verwendet wurde. Diese letztere Folge unterscheidet sich in der konkreten Natur ihres ersten Objekts von der vorherigen, da 2 Z nicht dieselbe Menge wie Z ist , obwohl die beiden als Gruppen isomorph sind.

Die erste Sequenz kann auch ohne spezielle Symbole für Monomorphismus und Epimorphismus geschrieben werden:

${\displaystyle 0\;\to\;\mathbf {Z}\;\;{\overset {2\times }{\longrightarrow}}\;\;\mathbf {Z} \;\longrightarrow \;\mathbf { Z}/2\mathbf{Z}\;\to\;\ 0}$

Dabei bezeichnet 0 die triviale Gruppe, die Abbildung von Z nach Z ist die Multiplikation mit 2, und die Abbildung von Z auf die Faktorgruppe Z /2 Z ergibt sich durch Reduktion ganzer Zahlen modulo 2. Dies ist in der Tat eine exakte Folge:

• das Bild der Abbildung 0 → Z ist {0}, und der Kern der Multiplikation mit 2 ist auch {0}, also ist die Folge beim ersten Z exakt .
• das Bild der Multiplikation mit 2 ist 2 Z , und der Kern der Reduktion von Modulo 2 ist ebenfalls 2 Z , also ist die Folge beim zweiten Z exakt .
• das Bild des Reduzierens von Modulo 2 ist Z /2 Z , und der Kern der Nullabbildung ist auch Z /2 Z , so dass die Folge an der Position Z /2 Z exakt ist .

Die erste und dritte Folge sind aufgrund der unendlichen Natur von Z etwas Sonderfälle . Es ist nicht möglich, dass eine endliche Gruppe durch Inklusion (d. h. durch einen Monomorphismus) als echte Untergruppe ihrer selbst abgebildet wird. Stattdessen wird die Sequenz , die aus dem hervorgeht ersten Isomorphiesatz ist

${\displaystyle 1\to N\to G\to G/N\to 1}$

Als konkreteres Beispiel für eine exakte Folge auf endlichen Gruppen:

${\displaystyle 1\to C_{n}\to D_{2n}\to C_{2}\to 1}$

wobei die zyklische Gruppe der Ordnung n und die Diedergruppe der Ordnung 2 n ist , die eine nichtabelsche Gruppe ist. ${\displaystyle C_{n}}$${\displaystyle D_{2n}}$

Schnittpunkt und Summe der Module

Seien I und J zwei Ideale eines Rings R . Dann

${\displaystyle 0\to I\cap J\to I\oplus J\to I+J\to 0}$

ist eine exakte Folge von R- Modulen, wobei der Modulhomomorphismus jedes Element x von auf das Element der direkten Summe abbildet und der Homomorphismus jedes Element von auf abbildet . ${\displaystyle I\cap J\to I\oplus J}$${\displaystyle I\cap J}$${\displaystyle (x,x)}$ ${\displaystyle I\oplus J}$${\displaystyle I\oplus J\to I+J}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle I\oplus J}$${\displaystyle xy}$

Diese Homomorphismen sind Einschränkungen ähnlich definierter Homomorphismen, die die kurze exakte Folge bilden

${\displaystyle 0\to R\to R\oplus R\to R\to 0}$

Die Übergabe an Quotientenmodule ergibt eine weitere exakte Sequenz

${\displaystyle 0\to R/(I\cap J)\to R/I\oplus R/J\to R/(I+J)\to 0}$

Grad, Curl und Div in Differentialgeometrie

Ein weiteres Beispiel lässt sich aus der Differentialgeometrie ableiten , das insbesondere für die Arbeit an den Maxwell-Gleichungen relevant ist .

Betrachten Sie den Hilbertraum von skalarwertigen quadratintegrierbaren Funktionen auf drei Dimensionen . Die Betrachtung des Gradienten einer Funktion führt uns zu einer Teilmenge von , dem Raum der vektorwertigen, immer noch quadratintegrierbaren Funktionen auf demselben Gebiet – insbesondere der Menge solcher Funktionen, die konservative Vektorfelder darstellen. (Der verallgemeinerte Satz von Stokes hat die Integrierbarkeit bewahrt.) ${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle\left\lbrace f:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}\right\rbrace}$${\displaystyle f\in\mathbb{H} _{1}}$${\displaystyle \mathbb{H} _{3}}$${\displaystyle \left\lbrace f:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}\right\rbrace}$

Beachten Sie zunächst, dass die Kräuselung aller dieser Felder Null ist – da

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {curl} (\operatorname {grad} f)&\equiv \nabla \times (\nabla f)=0\end{aligned}}}$

für alle solche f . Dies beweist jedoch nur, dass das Bild des Farbverlaufs eine Teilmenge des Kerns der Locke ist. Um zu beweisen, dass es sich tatsächlich um dieselbe Menge handelt, beweisen Sie die Umkehrung: Wenn die Krümmung eines Vektorfeldes 0 ist, dann ist dies der Gradient einer Skalarfunktion. Dies folgt fast unmittelbar aus dem Satz von Stokes (siehe den Beweis bei konservativer Kraft ). Das Bild des Gradienten ist dann genau der Kern der Locke, und so können wir die Locke dann als unseren nächsten Morphismus nehmen, was uns wieder zu a . führt (andere) Teilmenge von . ${\displaystyle {\vec {F}}}$${\displaystyle {\vec {F}}}$${\displaystyle \mathbb{H} _{3}}$

Ebenso stellen wir fest, dass

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {div} \left(\operatorname {curl} {\vec {v}}\right)&\equiv \nabla \cdot \nabla \times {\vec {v}} =0,\end{ausgerichtet}}}$

das Bild der Locke ist also eine Teilmenge des Kerns der Divergenz . Das Gegenteil ist etwas kompliziert:

Beweis, dass = 0 impliziert für einige${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {F}}}$${\displaystyle {\vec {F}}=\operatorname {curl} {\vec {A}}}$${\displaystyle {\vec {A}}}$

Wir werden durch den Bau gehen: Da ein Vektorfeld , so dass wir ein Feld erzeugen , so dass ${\displaystyle {\vec {F}}=F_{x}{\hat{i}}+F_{y}{\hat{j}}+F_{z}{\hat {k}}}$${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {F}}=0}$${\displaystyle {\vec {A}}}$ ${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\nabla \times {\vec {A}}&=\left(\partial_{y}A_{z}-\partial_{z}A_{y}\right){ \hat{i}}+\left(\partial_{z}A_{x}-\partial_{x}A_{z}\right){\hat{j}}+\left(\partial_{x }A_{y}-\partial_{y}A_{x}\right){\hat {k}}\\&=F_{x}{\hat {i}}+F_{y}{\hat { j}}+F_{z}{\hat{k}}={\vec {F}}\end{ausgerichtet}}}$ Beachten Sie zunächst, dass wir , wie oben bewiesen , den Gradienten jeder Skalarfunktion hinzufügen können, ohne die Locke zu ändern. Wir können diese Messfreiheit nutzen, um eine beliebige Komponente von auf Null zu setzen, ohne ihre Kräuselung zu ändern; Wenn wir die z -Komponente willkürlich wählen , fordern wir also einfach, dass ${\displaystyle \operatorname {curl} (\operatorname {grad} f)=0}$${\displaystyle {\vec {A}}}$${\displaystyle {\vec {A}}}$ ${\displaystyle -\partial_{z}A_{y}{\hat{i}}+\partial_{z}A_{x}{\hat{j}}+\left(\partial_{x}A_ {y}-\partial_{y}A_{x}\right){\hat{k}}=F_{x}{\hat{i}}+F_{y}{\hat{j}}+F_ {z}{\hat{k}}}$ Indem wir dann einfach die ersten beiden Komponenten integrieren und feststellen, dass die 'Konstante' der Integration immer noch von jeder nicht überintegrierten Variablen abhängen kann, finden wir, dass ${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}A_{x}&=\int F_{y}dz+{\vec {C_{1}}}(x,y)\\A_{y}&=-\int F_{ x}dz+{\vec {C_{2}}}(x,y)\end{ausgerichtet}}}$ Beachten Sie, dass wir , da die beiden Integrationsterme nur von x und y und nicht von z abhängen , einen weiteren Gradienten einer Funktion hinzufügen können , der ebenfalls nicht von z abhängt . Dies ermöglicht es uns, einen der Begriffe zugunsten des anderen zu eliminieren, ohne unsere frühere Arbeit, die auf Null gesetzt wurde, zu verderben . Wenn wir die letzte Komponente als Einschränkung eliminieren und anwenden, haben wir ${\displaystyle {\vec {C_{1}}},{\vec {C_{2}}}}$${\displaystyle f(x,y)}$${\displaystyle A_{z}}$${\displaystyle {\vec {C_{2}}}}$ ${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}-\partial_{x}\int F_{x}dz+\partial_{x}{\vec {C_{1}}}(x,y)-\partial_{y }\int F_{y}dz&=F_{z}\\-\int \left(\partial_{x}F_{x}+\partial_{y}F_{y}\right)dz+\partial_{ x}{\vec {C_{1}}}(x,y)&=F_{z}\end{ausgerichtet}}}$ Nach Annahme, , und so ${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {F}}=\partial_{x}F_{x}+\partial_{y}F_{y}+\partial_{z}F_{z}=0 }$ ${\displaystyle \int \partial_{z}F_{z}dz+\partial_{x}{\vec {C_{1}}}(x,y)=F_{z}}$ Da der fundamentale Satz der Infinitesimalrechnung verlangt, dass der erste obige Term genau plus einer Konstanten in z ist , ist die Existenz einer Lösung des obigen Gleichungssystems garantiert. ${\displaystyle F_{z}}$

Nachdem wir damit bewiesen haben, dass das Bild der Locke genau der Kern der Divergenz ist, führt uns dieser Morphismus wiederum zurück zu dem Raum, von dem wir ausgegangen sind . Da wir definitionsgemäß auf einem Raum integrierbarer Funktionen gelandet sind, kann jede solche Funktion (zumindest formal) integriert werden, um ein Vektorfeld zu erzeugen, dessen Divergenz diese Funktion ist – also ist das Bild der Divergenz die Gesamtheit von , und wir kann unsere Sequenz vervollständigen: ${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle L^{2}}$

${\displaystyle 0\to L^{2}\;\;{\xrightarrow {\operatorname {grad}}}\;\;\mathbb {H} _{3}\;\;{\xrightarrow {\operatorname { curl} }}\;\;\mathbb {H}_{3}\;\;{\xrightarrow {\operatorname {div}}}\;\;L^{2}\to 0}$

Äquivalent hätten wir auch umgekehrt argumentieren können: In einem einfach zusammenhängenden Raum kann ein curl-freies Vektorfeld (ein Feld im Kern der Locke) immer als Gradient einer Skalarfunktion geschrieben werden (und ist somit im Bild von die Steigung). In ähnlicher Weise kann ein divergenzfreies Feld als eine Kräuselung eines anderen Feldes geschrieben werden. (Die Argumentation in diese Richtung macht sich also die Tatsache zunutze, dass der 3-dimensionale Raum topologisch trivial ist.)

Diese kurze exakte Sequenz erlaubt auch einen viel kürzeren Beweis der Gültigkeit der Helmholtz-Zerlegung , der nicht auf Brute-Force-Vektorrechnung beruht. Betrachten Sie die Teilsequenz

${\displaystyle 0\to L^{2}\;\;{\xrightarrow {\operatorname {grad}}}\;\;\mathbb {H} _{3}\;\;{\xrightarrow {\operatorname { curl} }}\;\;\operatorname {im} (\operatorname {curl} )\to 0.}$

Da die Divergenz des Gradienten der Laplace-Operator ist und der Hilbert-Raum der quadratintegrablen Funktionen durch die Eigenfunktionen des Laplace-Operators aufgespannt werden kann, sehen wir bereits, dass eine inverse Abbildung existieren muss. Um eine solche Inverse explizit zu konstruieren, können wir von der Definition des Vektors Laplace ${\displaystyle \nabla^{-1}:\mathbb{H} _{3}\to L^{2}}$

${\displaystyle \nabla ^{2}{\vec {A}}=\nabla \left(\nabla \cdot {\vec {A}}\right)+\nabla \times \left(\nabla \times {\ vec {A}}\right)}$

Da wir versuchen, eine Identitätsabbildung zu konstruieren, indem wir eine Funktion mit dem Gradienten zusammensetzen, wissen wir, dass in unserem Fall . Nehmen wir dann die Divergenz beider Seiten ${\displaystyle \nabla \times {\vec {A}}=\operatorname {curl} \left({\vec {A}}\right)=0}$

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\nabla \cdot \nabla ^{2}{\vec {A}}&=\nabla \cdot \nabla \left(\nabla \cdot {\vec {A}}\right )\\&=\nabla ^{2}\left(\nabla \cdot {\vec {A}}\right)\\\end{ausgerichtet}}}$

wir sehen, dass, wenn eine Funktion eine Eigenfunktion des Vektor-Laplace-Operators ist, ihre Divergenz eine Eigenfunktion des skalaren Laplace-Operators mit demselben Eigenwert sein muss. Dann können wir unsere inverse Funktion einfach aufbauen, indem wir jede Funktion in die Vektor-Laplace-Eigenbasis einteilen, jede mit dem Kehrwert ihres Eigenwerts skalieren und die Divergenz nehmen; die Aktion von ist also eindeutig die Identität. Somit kann durch die Spaltung Lemma , ${\displaystyle \nabla ^{-1}}$${\displaystyle \mathbb{H} _{3}}$${\displaystyle \nabla ^{-1}\circ \nabla }$

${\displaystyle \mathbb {H} _{3}\cong L^{2}\oplus \operatorname {im} (\operatorname {curl} )}$,

oder äquivalent kann jedes quadratintegrierbare Vektorfeld auf in die Summe eines Gradienten und einer Locke zerlegt werden – was wir beweisen wollten. ${\displaystyle \mathbb{R} ^{3}}$

Eigenschaften

Das aufspaltende Lemma besagt, dass wenn die kurze exakte Folge

${\displaystyle 0\to A\;{\xrightarrow {\ f\ }}\;B\;{\xrightarrow {\ g\ }}\;C\to 0}$

zugibt ein morphism t  : B → A , so dass t ∘ f die Identität ist A oder ein morphism u : C → B , so dass g ∘ u ist die Identität auf C , dann B ist eine direkte Summe von A und C (für nicht -kommutative Gruppen, dies ist ein semidirektes Produkt ). Man sagt, dass eine so kurze exakte Sequenz spaltet .

Das Schlangenlemma zeigt, wie ein kommutatives Diagramm mit zwei exakten Zeilen zu einer längeren exakten Folge führt. Das Neun-Lemma ist ein Sonderfall.

Das Fünf-Lemma gibt Bedingungen an, unter denen die mittlere Abbildung in einem kommutativen Diagramm mit exakten Zeilen der Länge 5 ein Isomorphismus ist; das kurze Fünfer-Lemma ist ein Spezialfall davon, der auf kurze exakte Folgen angewendet wird.

Die Bedeutung kurzer exakter Sequenzen wird durch die Tatsache unterstrichen, dass jede exakte Sequenz aus dem "Zusammenweben" mehrerer sich überlappender kurzer exakter Sequenzen resultiert. Betrachten Sie zum Beispiel die genaue Sequenz

${\displaystyle A_{1}\nach A_{2}\nach A_{3}\nach A_{4}\nach A_{5}\nach A_{6}}$

was impliziert, dass es Objekte C _k in der Kategorie gibt, so dass

${\displaystyle C_{k}\cong\ker(A_{k}\to A_{k+1})\cong \operatorname {im} (A_{k-1}\to A_{k})}$.

Nehmen Sie außerdem an, dass der Kokern jedes Morphismus existiert und isomorph zum Bild des nächsten Morphismus in der Folge ist:

${\displaystyle C_{k}\cong\operatorname {coker} (A_{k-2}\to A_{k-1})}$

(Dies gilt für eine Reihe interessanter Kategorien, einschließlich jeder abelschen Kategorie wie die abelschen Gruppen; es gilt jedoch nicht für alle Kategorien, die genaue Sequenzen zulassen, und insbesondere nicht für die Kategorie der Gruppen , in denen coker( f ) : G → H ist nicht H /im( f ), sondern , der Quotient von H durch den konjugierten Abschluss von im( f ).) Dann erhalten wir ein kommutatives Diagramm, in dem alle Diagonalen kurze exakte Folgen sind: ${\displaystyle H/{\left\langle\operatorname {im} f\right\rangle}^{H}}$

Der einzige Teil dieses Diagramms, der von der Cokernel-Bedingung abhängt, ist das Objekt und das letzte Morphismenpaar . Wenn es ein Objekt und einen solchen Morphismus gibt, die exakt sind, dann ist die Genauigkeit von sichergestellt. Wiederum das Beispiel der Kategorie von Gruppen nehmend, impliziert die Tatsache, dass im( f ) der Kern eines Homomorphismus auf H ist , dass es eine normale Untergruppe ist , die mit ihrer konjugierten Hülle zusammenfällt; somit ist coker( f ) isomorph zum Bild H /im( f ) des nächsten Morphismus. ${\textstyle C_{7}}$${\textstyle A_{6}\to C_{7}\to 0}$${\displaystyle A_{k+1}}$${\displaystyle A_{k}\to A_{k+1}}$${\displaystyle A_{k-1}\to A_{k}\to A_{k+1}}$${\displaystyle 0\to C_{k}\to A_{k}\to C_{k+1}\to 0}$

Umgekehrt bilden bei einer gegebenen Liste von überlappenden kurzen exakten Folgen ihre mittleren Terme auf die gleiche Weise eine exakte Folge.

Anwendungen exakter Sequenzen

In der Theorie der abelschen Kategorien werden kurze exakte Folgen oft als bequeme Sprache verwendet, um über Teil- und Faktorobjekte zu sprechen.

Das Erweiterungsproblem ist im Wesentlichen die Frage " Welche Möglichkeiten gibt es bei den Endtermen A und C einer kurzen exakten Folge für den mittleren Term B ?" In der Kategorie der Gruppen entspricht dies der Frage, welche Gruppen B haben A als normale Untergruppe und C als entsprechende Faktorgruppe? Dieses Problem ist bei der Klassifizierung von Gruppen wichtig . Siehe auch Äußere Automorphismus-Gruppe .

Beachten Sie, dass in einer exakten Folge die Zusammensetzung f _{i +1} ∘ f _i A _i auf 0 in A _{i +2} abbildet , sodass jede exakte Folge ein Kettenkomplex ist . Außerdem werden nur f _i -Bilder von Elementen von A _i durch f _{i +1} auf 0 abgebildet , so dass die Homologie dieses Kettenkomplexes trivial ist. Kurz und bündig:

Exakte Sequenzen sind genau solche Kettenkomplexe, die azyklisch sind .

Bei einem gegebenen Kettenkomplex kann seine Homologie daher als Maß für den Grad seiner Ungenauigkeit angesehen werden.

Wenn wir eine Reihe von kurzen exakten Sequenzen von Kettenkomplexen verbunden ist (das heißt, eine kurze exakte Sequenz von Kettenkomplexen oder aus einem anderen Blickwinkel, eine Kette Komplex von kurzen exakten Sequenzen), dann kann man daraus ableiten , ein lange exakte Sequenz (d. h. eine durch die natürlichen Zahlen indizierte exakte Sequenz) auf Homologie durch Anwendung des Zick-Zack-Lemmas . Es kommt in der algebraischen Topologie beim Studium der relativen Homologie vor ; die Mayer-Vietoris-Sequenz ist ein weiteres Beispiel. Lange exakte Folgen, die durch kurze exakte Folgen induziert werden, sind auch für abgeleitete Funktoren charakteristisch .

Exakte Funktoren sind Funktoren , die exakte Folgen in exakte Folgen umwandeln.

Verweise

Zitate

Quellen

• Spanier, Edwin Henry (1995). Algebraische Topologie . Berlin: Springer. P. 179 . ISBN 0-387-94426-5.
• Eisenbud, David (1995). Kommutative Algebra: mit Blick auf die algebraische Geometrie . Springer-Verlag New York. P. 785 . ISBN 0-387-94269-6.