Abnehmbare Singularität - Removable singularity

Ein Graph einer Parabel mit einer entfernbaren Singularität bei  x  = 2

In der komplexen Analysis ist eine entfernbare Singularität einer holomorphen Funktion ein Punkt, an dem die Funktion undefiniert ist, aber es ist möglich, die Funktion an diesem Punkt so umzudefinieren, dass die resultierende Funktion in einer Umgebung dieses Punktes regulär ist.

Zum Beispiel die (unnormierte) sinc-Funktion

${\displaystyle {\text{sinc}}(z)={\frac {\sin z}{z}}}$

hat eine Singularität bei z kann = 0. Diese Singularität durch Definieren entfernt werden , was das ist Grenze von wie z neigt auf 0. Die resultierende Funktion holomorphe ist. In diesem Fall wurde das Problem durch eine unbestimmte Form verursacht . Eine Potenzreihenentwicklung um den singulären Punkt herum zeigt, dass ${\displaystyle {\text{sinc}}(0):=1}$${\displaystyle {\text{sinc}}}$${\displaystyle {\text{sinc}}}$${\displaystyle {\frac {\sin(z)}{z}}}$

${\displaystyle {\text{sinc}}(z)={\frac {1}{z}}\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{ k}z^{2k+1}}{(2k+1)!}}\right)=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac {(-1)^{k}z^ {2k}}{(2k+1)!}}=1-{\frac {z^{2}}{3!}}+{\frac {z^{4}}{5!}}-{\ frac {z^{6}}{7!}}+\cdots.}$

Formal, wenn ist eine offene Teilmenge der komplexen Ebene , ein Punkt von , und ist eine holomorphe Funktion , dann heißt eine entfernbare Singularität, denn wenn es eine holomorphe Funktion gibt, die mit on zusammenfällt . Wir sagen, ist holomorph erweiterbar, wenn ein solches existiert. ${\displaystyle U\subset \mathbb {C}}$ ${\displaystyle\mathbb{C}}$${\displaystyle a\in U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle f:U\setminus\{a\}\rightarrow\mathbb{C}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g:U\rightarrow\mathbb{C}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle U\setminus \{a\}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle U}$${\displaystyle g}$

Satz von Riemann

Der Satz von Riemann über entfernbare Singularitäten lautet wie folgt:

Die Implikationen 1 ⇒ 2 ⇒ 3 ⇒ 4 sind trivial. Um 4 ⇒ 1 zu beweisen, erinnern wir uns zunächst daran, dass die Holomorphie einer Funktion at äquivalent dazu ist, dass sie analytisch at ( Beweis ) ist, dh eine Potenzreihendarstellung hat. Definieren ${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$

${\displaystyle h(z)={\begin{cases}(za)^{2}f(z)&z\neq a,\\0&z=a.\end{cases}}}$

Offensichtlich ist h holomorph auf , und es existiert ${\displaystyle D\setminus \{a\}}$

${\displaystyle h'(a)=\lim_{z\to a}{\frac {(za)^{2}f(z)-0}{za}}=\lim_{z\to a} (za)f(z)=0}$

nach 4, also ist h holomorph auf D und hat eine Taylor-Reihe um a :

${\displaystyle h(z)=c_{0}+c_{1}(za)+c_{2}(za)^{2}+c_{3}(za)^{3}+\cdots\,. }$

Wir haben c ₀ = h ( a ) = 0 und c ₁ = h ' ( a ) = 0; deshalb

${\displaystyle h(z)=c_{2}(za)^{2}+c_{3}(za)^{3}+\cdots\,.}$

Somit gilt für z  ≠  a :

${\displaystyle f(z)={\frac {h(z)}{(za)^{2}}}=c_{2}+c_{3}(za)+\cdots\,.}$

Jedoch,

${\displaystyle g(z)=c_{2}+c_{3}(za)+\cdots\,.}$

ist auf D holomorph , also eine Erweiterung von f .

Andere Arten von Singularitäten

Im Gegensatz zu Funktionen einer reellen Variablen sind holomorphe Funktionen so starr, dass ihre isolierten Singularitäten vollständig klassifiziert werden können. Die Singularität einer holomorphen Funktion ist entweder gar keine Singularität, dh eine entfernbare Singularität, oder einer der folgenden beiden Typen:

1. Angesichts des Satzes von Riemann könnte man bei einer nicht entfernbaren Singularität fragen, ob es eine natürliche Zahl gibt, so dass . Wenn dies der Fall ist , wird ein Pol von genannt, und der kleinste solcher ist die Ordnung von . Entfernbare Singularitäten sind also genau die Pole der Ordnung 0. Eine holomorphe Funktion explodiert gleichmäßig in der Nähe ihrer anderen Pole.${\displaystyle m}$${\displaystyle \lim_{z\rightarrow a}(za)^{m+1}f(z)=0}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f}$${\displaystyle m}$${\displaystyle a}$
2. Wenn eine isolierte Singularität von weder entfernbar noch ein Pol ist, wird sie als essentielle Singularität bezeichnet . Der Große Picard-Satz zeigt, dass ein solches jede punktierte offene Umgebung auf die gesamte komplexe Ebene abbildet , mit der möglichen Ausnahme von höchstens einem Punkt.${\displaystyle a}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle U\setminus \{a\}}$

Siehe auch

• Analytische Kapazität
• Entfernbare Diskontinuität

Externe Links

• Abnehmbarer singulärer Punkt bei Encyclopedia of Mathematics