Riccati-Gleichung - Riccati equation

In der Mathematik ist eine Riccati-Gleichung im engeren Sinne jede gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung , die in der unbekannten Funktion quadratisch ist . Mit anderen Worten, es ist eine Gleichung der Form

${\displaystyle y'(x)=q_{0}(x)+q_{1}(x)\,y(x)+q_{2}(x)\,y^{2}(x)}$

wo und . Wenn die Gleichung auf eine Bernoulli- Gleichung reduziert wird , während die Gleichung zu einer linearen gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung wird . ${\displaystyle q_{0}(x)\neq 0}$${\displaystyle q_{2}(x)\neq 0}$${\displaystyle q_{0}(x)=0}$${\displaystyle q_{2}(x)=0}$

Die Gleichung ist nach Jacopo Riccati (1676–1754) benannt.

Allgemeiner wird der Begriff Riccati-Gleichung verwendet, um sich auf Matrixgleichungen mit einem analogen quadratischen Term zu beziehen , die sowohl bei zeitkontinuierlicher als auch zeitdiskreter linear-quadratisch-gaußscher Steuerung auftreten . Die stationäre (nicht dynamische) Version davon wird als algebraische Riccati-Gleichung bezeichnet .

Umwandlung in eine lineare Gleichung zweiter Ordnung

Die nichtlineare Riccati-Gleichung kann immer in eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung (ODE) umgewandelt werden: Wenn

${\displaystyle y'=q_{0}(x)+q_{1}(x)y+q_{2}(x)y^{2}\!}$

dann, wo immer von Null verschieden und differenzierbar ist, erfüllt eine Riccati-Gleichung der Form ${\displaystyle q_{2}}$${\displaystyle v=yq_{2}}$

${\displaystyle v'=v^{2}+R(x)v+S(x),\!}$

wo und , weil ${\displaystyle S=q_{2}q_{0}}$${\displaystyle R=q_{1}+{\frac {q_{2}'}{q_{2}}}}$

${\displaystyle v'=(yq_{2})'=y'q_{2}+yq_{2}'=(q_{0}+q_{1}y+q_{2}y^{2})q_ {2}+v{\frac {q_{2}'}{q_{2}}}=q_{0}q_{2}+\left(q_{1}+{\frac {q_{2}'} {q_{2}}}\right)v+v^{2}.\!}$

Substituiert folgt, dass die lineare ODE 2. Ordnung ${\displaystyle v=-u'/u}$${\displaystyle u}$

${\displaystyle u''-R(x)u'+S(x)u=0\!}$

schon seit

${\displaystyle v'=-(u'/u)'=-(u''/u)+(u'/u)^{2}=-(u''/u)+v^{2}\ !}$

so dass

${\displaystyle u''/u=v^{2}-v'=-S-Rv=-S+Ru'/u\!}$

und daher

${\displaystyle u''-Ru'+Su=0.\!}$

Eine Lösung dieser Gleichung führt zu einer Lösung der ursprünglichen Riccati-Gleichung. ${\displaystyle y=-u'/(q_{2}u)}$

Anwendung auf die Schwarzsche Gleichung

Eine wichtige Anwendung der Riccati-Gleichung ist auf die Schwarzsche Differentialgleichung 3. Ordnung

${\displaystyle S(w):=(w''/w')'-(w''/w')^{2}/2=f}$

was in der Theorie der konformen Abbildung und einwertigen Funktionen vorkommt . In diesem Fall befinden sich die ODEs im komplexen Bereich und die Differenzierung erfolgt in Bezug auf eine komplexe Variable. (Die Schwarzsche Ableitung hat die bemerkenswerte Eigenschaft, dass sie unter Möbius-Transformationen invariant ist, dh immer dann , wenn sie nicht Null ist.) Die Funktion erfüllt die Riccati-Gleichung ${\displaystyle S(w)}$${\displaystyle S((aw+b)/(cw+d))=S(w)}$${\displaystyle ad-bc}$${\displaystyle y=w''/w'}$

${\displaystyle y'=y^{2}/2+f.}$

Nach obigem wo ist eine Lösung der linearen ODE ${\displaystyle y=-2u'/u}$${\displaystyle u}$

${\displaystyle u''+(1/2)fu=0.}$

Da ergibt die Integration eine Konstante . Andererseits hat jede andere unabhängige Lösung der linearen ODE eine konstante Wronski-Funktion ungleich Null , die nach der Skalierung angenommen werden kann. Daher ${\displaystyle w''/w'=-2u'/u}$${\displaystyle w'=C/u^{2}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U'u-Uu'}$${\displaystyle C}$

${\displaystyle w'=(U'u-Uu')/u^{2}=(U/u)'}$

so dass die Schwarzsche Gleichung eine Lösung hat ${\displaystyle w=U/u.}$

Erhalten von Lösungen durch Quadratur

Die Entsprechung zwischen Riccati-Gleichungen und linearen ODEs zweiter Ordnung hat andere Konsequenzen. Wenn beispielsweise eine Lösung einer ODE 2. Ordnung bekannt ist, dann ist bekannt, dass eine andere Lösung durch Quadratur, dh eine einfache Integration, erhalten werden kann. Das gleiche gilt für die Riccati-Gleichung. Wenn eine bestimmte Lösung gefunden werden kann, erhält man die allgemeine Lösung als ${\displaystyle y_{1}}$

${\displaystyle y=y_{1}+u}$

Ersetzend

${\displaystyle y_{1}+u}$

in der Riccati-Gleichung ergibt

${\displaystyle y_{1}'+u'=q_{0}+q_{1}\cdot (y_{1}+u)+q_{2}\cdot (y_{1}+u)^{2} ,}$

und da

${\displaystyle y_{1}'=q_{0}+q_{1}\,y_{1}+q_{2}\,y_{1}^{2},}$

es folgt dem

${\displaystyle u'=q_{1}\,u+2\,q_{2}\,y_{1}\,u+q_{2}\,u^{2}}$

oder

${\displaystyle u'-(q_{1}+2\,q_{2}\,y_{1})\,u=q_{2}\,u^{2},}$

das ist eine Bernoulli-Gleichung . Die zur Lösung dieser Bernoulli-Gleichung erforderliche Substitution ist

${\displaystyle z={\frac {1}{u}}}$

Ersetzend

${\displaystyle y=y_{1}+{\frac {1}{z}}}$

direkt in die Riccati-Gleichung ergibt die lineare Gleichung

${\displaystyle z'+(q_{1}+2\,q_{2}\,y_{1})\,z=-q_{2}}$

Eine Menge von Lösungen der Riccati-Gleichung ist dann gegeben durch

${\displaystyle y=y_{1}+{\frac {1}{z}}}$

wobei z die allgemeine Lösung der oben genannten linearen Gleichung ist.

Siehe auch

• Linear-Quadratischer Regler
• Algebraische Riccati-Gleichung
• Linear-quadratisch-Gaußsche Steuerung

Verweise

Weiterlesen

• Hille, Einar (1997) [1976], Ordinary Differential Equations in the Complex Domain , New York: Dover Publications, ISBN 0-486-69620-0
• Nehari, Zeev (1975) [1952], Conformal Mapping , New York: Dover Publications, ISBN 0-486-61137-X
• Polyanin, Andrei D.; Zaitsev, Valentin F. (2003), Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2. Aufl.), Boca Raton, Florida: Chapman & Hall/CRC, ISBN 1-58488-297-2
• Zelikin, Mikhail I. (2000), Homogene Räume und die Riccati-Gleichung in der Variationsrechnung , Berlin: Springer-Verlag
• Reid, William T. (1972), Riccati Differential Equations , London: Academic Press

Externe Links

• "Riccati-Gleichung" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Riccati-Gleichung bei EqWorld: Die Welt der mathematischen Gleichungen.
• Riccati Differentialgleichung bei Mathworld
• MATLAB-Funktion zum Lösen zeitkontinuierlicher algebraischer Riccati-Gleichungen.
• SciPy hat Funktionen zum Lösen der kontinuierlichen algebraischen Riccati-Gleichung und der diskreten algebraischen Riccati-Gleichung .