Smith-Nummer - Smith number

Smith-Nummer

Benannt nach	Harold Smith ( Schwager von Albert Wilansky)
Autor der Veröffentlichung	Albert Wilansky
Gesamtnr . von Begriffen	Unendlichkeit
Formel	siehe die mathematische Definition
Erste Begriffe	4 , 22 , 27 , 58 , 85 , 94 , 121
Größter bekannter Begriff	siehe Eigenschaften
OEIS- Index

In der Zahlentheorie ist eine Smith-Zahl eine zusammengesetzte Zahl, bei der in einer gegebenen Zahlenbasis die Summe ihrer Ziffern gleich der Summe der Ziffern in ihrer Primfaktorzerlegung in der gegebenen Zahlenbasis ist . Bei Zahlen, die nicht quadratfrei sind , wird die Faktorisierung ohne Exponenten geschrieben, wobei der wiederholte Faktor so oft wie nötig geschrieben wird.

Smith-Nummern wurden von Albert Wilansky von der Lehigh University benannt , als er das Grundstück in der Telefonnummer (493-7775) seines Schwagers Harold Smith bemerkte:

4937775 = 3 ¹ 5 ² 65837 ¹

während

4 + 9 + 3 + 7 + 7 + 7 + 5 = 3 · 1 + 5 · 2 + (6 + 5 + 8 + 3 + 7) · 1 = 42

in Basis 10 .

Mathematische Definition

Sei eine natürliche Zahl. Für base sei die Funktion die Ziffernsumme von n in base . Eine natürliche Zahl hat die ganzzahlige Faktorisierung ${\displaystyle n}$${\displaystyle b>1}$${\displaystyle F_{b}(n)}$${\displaystyle b}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle n=\prod_{\stackrel {p\mid n}{p{\text{prim}}}}p^{v_{p}(n)}}$

und ist eine Smith-Zahl, wenn

${\displaystyle F_{b}(n)=\sum_{\stackrel {p\mid n}{p{\text{ prime}}}}v_{p}(n)F_{b}(p)}$

wo ist die p-adische Bewertung von . ${\displaystyle v_{p}(n)}$${\displaystyle n}$

In der Basis 10 ist beispielsweise 378 = 2 ¹ 3 ³ 7 ¹ eine Smith-Zahl, da 3 + 7 + 8 = 2 · 1 + 3 · 3 + 7 · 1 und 22 = 2 ¹ 11 ¹ eine Smith-Zahl ist. weil 2 + 2 = 2 · 1 + (1 + 1) · 1

Die ersten Smith-Zahlen zur Basis 10 sind:

4 , 22 , 27 , 58 , 85 , 94 , 121 , 166 , 202 , 265 , 274 , 319 , 346 , 355 , 378 , 382 , 391 , 438 , 454 , 483 , 517 , 526 , 535 , 562 , 576 , 588 , 627 , 634 , 636 , 645 , 648 , 654 , 663 , 666 , 690 , 706 , 728 , 729 , 762 , 778 , 825 , 852 , 861 , 895 , 913 , 915 , 922 , 958 , 985 , 1086 ... (Sequenz A006753 im OEIS )

Eigenschaften

WL McDaniel bewies 1987, dass es unendlich viele Smith-Zahlen gibt. Die Anzahl der Smith-Zahlen zur Basis 10 unter 10 ⁿ für n =1,2,... ist:

1, 6, 49, 376, 3294, 29928, 278411, 2632758, 25154060, 241882509, … (Sequenz A104170 im OEIS )

Zwei aufeinanderfolgende Smith-Nummern (zum Beispiel 728 und 729 oder 2964 und 2965) werden Smith-Brüder genannt . Es ist nicht bekannt, wie viele Smith-Brüder es gibt. Die Startelemente des kleinsten Smith- n- Tupels (d. h. n aufeinanderfolgende Smith-Zahlen) zur Basis 10 für n = 1, 2, ... sind:

4, 728, 73615, 4463535, 15966114, 2050918644, 164736913905, … (Sequenz A059754 im OEIS )

Smith-Zahlen können aus faktorisierten Repunits konstruiert werden . Die größte bekannte Smith-Zahl in Basis 10 ab 2010 ist:

9 × R ₁₀₃₁ × (10 ⁴⁵⁹⁴ + 3 × 10 ²²⁹⁷ + 1) ¹⁴⁷⁶ × 10 ^{3 913 210}

wobei R ₁₀₃₁ eine Wiederholung gleich (10 ¹⁰³¹ –1)/9 ist.

Siehe auch

• Äquidigitale Zahl

Anmerkungen

Verweise

• Gardner, Martin (1988). Penrose-Kacheln zu Trapdoor-Chiffren . S. 299–300.
• Sandor, Jozsef; Crstici, Borislav (2004). Handbuch der Zahlentheorie II . Dordrecht: Kluwer Akademiker. S.  32 –36. ISBN 1-4020-2546-7. Zbl  1079.11001 .

Externe Links

• Weisstein, Eric W. "Smith-Nummer" . MathWorld .
• Shyam Sunder Gupta, Faszinierende Smith-Zahlen .
• Copeland, Ed . "4937775 – Smith-Zahlen" . Zahlenphil . Brady Haran .