Standardvermutungen zu algebraischen Zyklen - Standard conjectures on algebraic cycles

In der Mathematik sind die Standardvermutungen über algebraische Zyklen mehrere Vermutungen , die die Beziehung zwischen algebraischen Zyklen und Weil-Kohomologie-Theorien beschreiben . Eine der ursprünglichen Anwendungen dieser Vermutungen, die von Alexander Grothendieck ins Auge gefasst wurden , bestand darin zu beweisen, dass seine Konstruktion reiner Motive eine abelsche Kategorie ergab , die halbeinfach ist . Darüber hinaus implizieren die Standardvermutungen, wie er betonte, auch den schwierigsten Teil der Weil-Vermutungen , nämlich die "Riemann-Hypothese"-Vermutung, die Ende der 1960er Jahre offen blieb und später von Pierre Deligne bewiesen wurde ; für Details zum Zusammenhang zwischen Weil und Standardvermutungen siehe Kleiman (1968) . Die Standardvermutungen bleiben offene Probleme, so dass ihre Anwendung nur bedingte Ergebnisbeweise liefert . In einigen Fällen, auch bei den Weil-Vermutungen, wurden andere Methoden gefunden, um solche Ergebnisse bedingungslos zu beweisen.

Die klassischen Formulierungen der Standardvermutungen beinhalten eine feste Weil-Kohomologie-Theorie H . Alle Vermutungen befassen sich mit "algebraischen" Kohomologieklassen, was einen Morphismus über die Kohomologie einer glatten projektiven Varietät bedeutet

H ^∗ ( X ) → H ^∗ ( X )

induziert durch einen algebraischen Zyklus mit rationalen Koeffizienten auf dem Produkt X × X über die Zyklusklassenabbildung , die Teil der Struktur einer Weil-Kohomologietheorie ist.

Vermutung A ist äquivalent zu Vermutung B (siehe Grothendieck (1969) , S. 196) und wird daher nicht aufgeführt.

Lefschetz-Typ Standardvermutung (Vermutung B)

Eines der Axiome einer Weil-Theorie ist das sogenannte harte Lefschetz-Theorem (oder Axiom):

Beginnen Sie mit einem festen glatten Hyperebenenschnitt

W = H ∩ X ,

wobei X eine gegebene glatte projektive Varietät im umgebenden projektiven Raum P ^{N ist} und H eine Hyperebene ist. Dann gilt für i ≤ n = dim( X ) der Lefschetz-Operator

L  : H ⁱ ( X ) → H ^{i +2} ( X ) ,

die durch sich schneidende Kohomologieklassen mit W definiert ist , ergibt einen Isomorphismus

L ^{n – i}  : H ⁱ ( X ) → H ^{2 n – i} ( X ) .

Nun definiere für i ≤ n :

Λ = ( L ^{n − i +2} ) ⁻¹ ∘ L ∘ ( L ^{n − i} ) : H ⁱ ( X ) → H ^{i −2} ( X )

Λ = ( L ^{n − i} ) ∘ L ∘ ( L ^{n − i +2} ) ⁻¹  : H ^{2 n − i +2} ( X ) → H ^{2 n − i} ( X )

Die Vermutung besagt, dass der Lefschetz-Operator ( Λ ) durch einen algebraischen Zyklus induziert wird.

Künneth Typ Standardvermutung (Vermutung C)

Es wird vermutet, dass die Projektoren

H ^∗ ( X ) ↠ H ⁱ ( X ) ↣ H ^∗ ( X )

sind algebraisch, dh induziert durch einen Zyklus π ⁱ ⊂ X × X mit rationalen Koeffizienten. Dies impliziert, dass das Motiv jeder glatten projektiven Varietät (und allgemeiner jedes reinen Motivs ) zerfällt als

${\displaystyle h(X)=\bigoplus_{i=0}^{2dim(X)}h^{i}(X).}$

Die Motive und lassen sich immer als direkte Summanden abspalten. Die Vermutung gilt daher sofort für Kurven. Für Oberflächen wurde es von Murre (1990) nachgewiesen . Katz & Messing (1974) haben die Weil-Vermutungen verwendet , um die Vermutung für über endliche Körper definierte algebraische Varietäten in willkürlicher Dimension zu zeigen. ${\displaystyle h^{0}(X)}$${\displaystyle h^{2dim(X)}}$

Šermenev (1974) bewies die Künneth-Zerlegung für abelsche Varietäten A . Deninger & Murre (1991) verfeinerten dieses Ergebnis, indem sie eine funktoriale Künneth-Zerlegung des Chow-Motivs von A so zeigten, dass die n- Multiplikation auf der abelschen Varietät wie auf dem i- ten Summanden wirkt . de Cataldo & Migliorini (2002) bewiesen die Künneth-Zerlegung für das Hilbert-Schema von Punkten in einer glatten Oberfläche. ${\displaystyle n^{i}}$${\displaystyle h^{i}(A)}$

Vermutung D (numerische Äquivalenz vs. homologische Äquivalenz)

Vermutung D besagt, dass numerische und homologische Äquivalenz übereinstimmen. (Dies impliziert insbesondere, dass letzteres nicht von der Wahl der Weil-Kohomologie-Theorie abhängt). Diese Vermutung impliziert die Lefschetz-Vermutung. Wenn die Hodge-Standardvermutung gilt, dann sind die Lefschetz-Vermutung und die Vermutung D äquivalent.

Diese Vermutung wurde von Lieberman für Varietäten der Dimension höchstens 4 und für abelsche Varietäten gezeigt .

Die Hodge-Standardvermutung

Die Hodge-Standardvermutung ist auf dem Hodge-Indexsatz modelliert . Es gibt die Bestimmtheit (je nach Dimension positiv oder negativ) der Cup-Produktpaarung auf primitiven algebraischen Kohomologieklassen an. Wenn sie zutrifft, dann impliziert die Lefschetz-Vermutung die Vermutung D. Im Merkmal Null gilt die Hodge-Standardvermutung, die eine Folge der Hodge-Theorie ist . In positiver Eigenschaft ist die Hodge-Standardvermutung für Flächen ( Grothendieck (1958) ) und für abelsche Varietäten der Dimension 4 ( Ancona (2020) ) bekannt.

Die Hodge-Standardvermutung ist nicht mit der Hodge-Vermutung zu verwechseln, die besagt, dass für glatte projektive Varietäten über C jede rationale ( p , p ) -Klasse algebraisch ist. Die Hodge-Vermutung impliziert die Lefschetz- und Künneth-Vermutung und die Vermutung D für Varietäten über Feldern der Charakteristik Null. Die Tate-Vermutung impliziert Lefschetz, Künneth und Vermutung D für die ℓ-adische Kohomologie über alle Felder.

Permanenzeigenschaften der Standardvermutungen

Für zwei algebraische Varietäten X und Y , Arapura (2006) hat eine Bedingung eingeführt , dass Y ist motiviert durch X . Die genaue Bedingung ist, dass das Motiv von Y (in Andrés Motivkategorie) ausgehend vom Motiv von X durch Summen, Summanden und Produkte ausdrückbar ist . Zum Beispiel Y ist motiviert , wenn es eine surjektive morphism ist . Wenn Y in der Kategorie nicht gefunden wird, ist es in diesem Kontext unmotiviert . Für glatte projektive komplexe algebraische Sorten X und Y , so daß Y durch motiviert ist X , die Standard - Mutmaßungen D (homologischen Äquivalenz entspricht numerisch), B (Lefschetz), die Vermutung von Hodge und auch der generali Hodge Vermutung Halt für Y , wenn sie halten für alle Potenzen von X . Diese Tatsache kann angewendet werden, um zum Beispiel die Lefschetz-Vermutung für das Hilbert-Schema von Punkten auf einer algebraischen Fläche zu zeigen . ${\displaystyle X^{n}\to Y}$

Beziehung zu anderen Vermutungen

Beilinson (2012) hat gezeigt, dass die (mutmaßliche) Existenz der sogenannten motivischen t-Struktur auf der triangulierten Motivkategorie die Lefschetz- und Künneth-Standardvermutungen B und C impliziert.

Verweise

• Ancona, Giuseppe (2020), "Standardvermutungen für abelsche Vierergruppen", Invent. Mathematik. , arXiv : 1806.03216 , doi : 10.1007/s00222-020-00990-7 , S2CID  119579196

• Arapura, Donu (2006), "Motivation for Hodge cycle", Advances in Mathematics , 207 (2): 762–781, arXiv : math/0501348 , doi : 10.1016/j.aim.2006.01.005 , MR  2271985 , S2CID  13897239

• Beilinson, A. (2012), "Bemerkungen zu Grothendiecks Standardvermutungen", Regulators , Contemp. Math., 571 , Amer. Mathematik. Soc., Providence, RI, S. 25–32, arXiv : 1006.1116 , doi : 10.1090/conm/571/11319 , ISBN 9780821853221, MR  2953406 , S2CID  119687821

• de Cataldo, Mark Andrea A.; Migliorini, Luca (2002), "Die Chow-Gruppen und das Motiv des Hilbert-Schemas von Punkten auf einer Oberfläche", Journal of Algebra , 251 (2): 824–848, arXiv : math/0005249 , doi : 10.1006/jabr. 2001.9105 , MR  1919155 , S2CID  16431761

• Deninger, Christopher; Murre, Jacob (1991), "Motivische Zerlegung abelscher Schemata und die Fourier-Transformation", J. Reine Angew. Mathematik. , 422 : 201–219, HERR  1133323

• Grothendieck, A. (1969), "Standard Conjectures on Algebraic Cycles", Algebraic Geometry (Internat. Colloq., Tata Inst. Fund. Res., Bombay, 1968) (PDF) , Oxford University Press, S. 193-199, MR  0268189.

• Grothendieck, A. (1958), "Sur une note de Mattuck-Tate", J. Reine Angew. Mathematik. , 1958 (200): 208–215, doi : 10.1515/crll.1958.200.208 , MR  0136607 , S2CID  115548848

• Katz, Nicholas M. ; Messing, William (1974), "Einige Konsequenzen der Riemann-Hypothese für Varietäten über endlichen Feldern", Inventiones Mathematicae , 23 : 73–77, Bibcode : 1974InMat..23...73K , doi : 10.1007/BF01405203 , MR  0332791 , S2CID  121989640
• Kleiman, Steven L. (1968), "Algebraic cycle and the Weil conjectures", Dix exposés sur la cohomologie des schémas , Amsterdam: North-Holland, S. 359–386, MR  0292838.

• Murre, JP (1990), "Zum Motiv einer algebraischen Fläche", J. Reine Angew. Mathematik. , 1990 (409): 190–204, doi : 10.1515/crll.1990.409.190 , MR  1061525 , S2CID  117483201

• Kleiman, Steven L. (1994), "The standard conjectures", Motives (Seattle, WA, 1991) , Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, 55 , American Mathematical Society, S. 3–20, MR  1265519.

• Šermenev, AM (1974), "Motiv einer abelschen Varietät", Funckcional. Anal. I Priložen , 8 (1): 55–61, MR  0335523

Externe Links

• Fortschritte bei den Standardvermutungen zu algebraischen Zyklen
• Analogues Kähleriens de surees conjectures de Weil. J.-P. Serre (extrait d'une lettre a A. Weil, 9. Nov. 1959) scan