Steinmetz massiv - Steinmetz solid

Steinmetz-Volumenkörper (Schnittpunkt zweier Zylinder)

In der Geometrie ist ein Steinmetz-Volumenkörper der feste Körper, der sich als Schnittpunkt von zwei oder drei Zylindern gleichen Radius im rechten Winkel ergibt . Jede der Kurven des Schnittpunkts zweier Zylinder ist eine Ellipse.

Der Schnittpunkt zweier Zylinder wird als Bizylinder bezeichnet . Topologisch entspricht es einem quadratischen Hosoeder . Der Schnittpunkt von drei Zylindern wird als Trizylinder bezeichnet . Ein halbierter Zweizylinder wird Gewölbe genannt , und ein Kreuzganggewölbe in der Architektur hat diese Form.

Steinmetz-Körper sind nach dem Mathematiker Charles Proteus Steinmetz benannt , der das Problem der Bestimmung des Schnittvolumens gelöst hat. Das gleiche Problem wurde jedoch schon früher von Archimedes in der antiken griechischen Welt, Zu Chongzhi im alten China und Piero della Francesca in der frühen italienischen Renaissance gelöst .

Animierte Darstellung eines Zweizylinders

Zweizylinder

Die Generation eines Zweizylinders

Berechnung des Volumens eines Zweizylinders

Ein von zwei Zylindern mit Radius erzeugter Bizylinder hat die ${\displaystyle r}$

Volumen

${\displaystyle V={\frac {16}{3}}r^{3}}$

und der

Oberfläche

${\displaystyle A=16r^{2}}$.

Die obere Hälfte eines Zweizylinders ist der quadratische Fall eines Kuppelgewölbes , ein kuppelförmiger Körper, der auf einem konvexen Polygon basiert, dessen Querschnitte ähnliche Kopien des Polygons sind, und analoge Formeln zur Berechnung des Volumens und der Oberfläche eines Kuppelgewölbes wie ein rationales Vielfaches des Volumens und der Oberfläche seines umschließenden Prismas gilt allgemeiner.

Beweis der Volumenformel

Um die Volumenformel abzuleiten, ist es praktisch, die allgemeine Idee zur Berechnung des Volumens einer Kugel zu verwenden : das Sammeln dünner zylindrischer Scheiben. In diesem Fall sind die dünnen Scheiben quadratische Quader (siehe Abbildung). Dies führt zu

${\displaystyle V=\int_{-r}^{r}(2x)^{2}\mathrm {d} z=4\cdot \int_{-r}^{r}x^{2}\ Mathrm {d} z=4\cdot \int_{-r}^{r}(r^{2}-z^{2})\mathrm {d} z={\frac {16}{3}} r^{3}}$.

Es ist bekannt, dass die Verhältnisse der Volumina eines geraden Kreiskegels, einer Kugelhälfte und eines geraden Kreiszylinders mit gleichen Radien und Höhen 1 : 2 : 3 sind. Für eine Hälfte eines Zweizylinders gilt ähnliches:

• Die Volumenverhältnisse der eingeschriebenen quadratischen Pyramide ( ), des Halbbizylinders ( ) und des umgebenden quadratischen Quaders ( ) betragen 1 : 2 : 3.${\displaystyle a=2r,h=r,V={\frac {4}{3}}r^{3}}$${\displaystyle V={\frac {8}{3}}r^{3}}$${\displaystyle a=2r,h=r,V=4r^{3}}$

Verwenden der Multivariablenrechnung

Betrachten Sie die Gleichungen der Zylinder:

${\displaystyle x^{2}+z^{2}=r^{2}}$

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$

Das Volumen wird vergeben von:

${\displaystyle V=\iiiint_{V}\mathrm {d} z\mathrm {d} y\mathrm {d} x}$

Mit den Integrationsgrenzen:

${\displaystyle -{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\leqslant z\leqslant {\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}$

${\displaystyle -{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\leqslant y\leqslant {\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}$

${\displaystyle -r\leqslant x\leqslant r}$

Als Ersatz haben wir:

${\displaystyle V=\int _{-r}^{r}\int _{-{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}^{\sqrt {r^{2}- x^{2}}}\int _{-{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}^{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\mathrm {d} z\mathrm {d} y\mathrm {d} x=8r^{3}-{\frac {8r^{3}}{3}}={\frac {16r^{3}}{3 }}}$

Beweis der Flächenformel

Die Fläche besteht aus zwei roten und zwei blauen zylindrischen Doppeln. Ein rotes Dreieck wird durch die yz-Ebene halbiert und so in die Ebene entwickelt, dass der Halbkreis (Schnittpunkt mit der yz-Ebene) auf die positive -Achse entwickelt wird und die Abwicklung des Dreiecks nach oben durch den Sinusbogen begrenzt wird . Daher ist der Bereich dieser Entwicklung ${\displaystyle \xi}$${\displaystyle \eta =r\sin\left({\frac {\xi }{r}}\right),\ 0\leq \xi \leq \pi r}$

Klostergewölbe

${\displaystyle B=\int_{0}^{\pi r}r\sin\left({\frac {\xi }{r}}\right)\mathrm {d}\xi =2r^{2} }$

und die Gesamtfläche beträgt:

${\displaystyle A=8\cdot B=16r^{2}}$.

Alternativer Beweis der Volumenformel

Das Volumen eines Bizylinders (weiß) kann durch Packen in einen Würfel (rot) abgeleitet werden. Eine Ebene (parallel zu den Achsen der Zylinder), die den Bizylinder schneidet, bildet ein Quadrat und ihr Schnittpunkt mit dem Würfel ist ein größeres Quadrat. Der Flächenunterschied der beiden Quadrate entspricht 4 kleinen Quadraten (blau). Während sich die Ebene durch die Festkörper bewegt, beschreiben diese blauen Quadrate quadratische Pyramiden mit gleichschenkligen Flächen in den Ecken des Würfels; die Pyramiden haben ihre Spitzen in den Mittelpunkten der vier Würfelkanten. Das Bewegen der Ebene durch den gesamten Bizylinder beschreibt insgesamt 8 Pyramiden.

• 

  Zu Chongzhis Methode (ähnlich dem Cavalieri-Prinzip ) zur Berechnung des Volumens einer Kugel umfasst die Berechnung des Volumens eines Zweizylinders.

• 

  Verhältnis der Fläche eines Zweizylinderquerschnitts zu einem Würfelquerschnitt

Das Volumen des Würfels (rot) abzüglich des Volumens der acht Pyramiden (blau) ist das Volumen des Zweizylinders (weiß). Das Volumen der 8 Pyramiden ist: , und dann können wir berechnen, dass das Bizylindervolumen ist${\displaystyle \textstyle 8\times {\frac {1}{3}}r^{2}\times r={\frac {8}{3}}r^{3}}$${\displaystyle \textstyle (2r)^{3}-{\frac {8}{3}}r^{3}={\frac {16}{3}}r^{3}}$

Dreizylinder

Erzeugen der Oberfläche eines Dreizylinders: Zuerst werden zwei Zylinder (rot, blau) geschnitten. Der so erzeugte Bizylinder wird vom dritten (grünen) Zylinder geschnitten.

Der Schnittpunkt von drei Zylindern mit sich rechtwinklig schneidenden Achsen erzeugt eine Fläche eines Volumenkörpers mit Eckpunkten, an denen sich 3 Kanten treffen, und Eckpunkten, an denen sich 4 Kanten treffen. Die Knotenmenge kann als Kanten eines rhombischen Dodekaeders betrachtet werden . Der Schlüssel zur Bestimmung von Volumen und Oberfläche ist die Beobachtung, dass der Dreizylinder durch den Würfel mit den Eckpunkten, an denen sich 3 Kanten treffen (s. Diagramm) und 6 gekrümmte Pyramiden (die Dreiecke sind Teile von Zylinderflächen) nachbilden lässt. Das Volumen und die Oberfläche der gekrümmten Dreiecke können durch ähnliche Überlegungen wie beim obigen Bizylinder bestimmt werden.

Das Volumen eines Dreizylinders ist

${\displaystyle V=8(2-{\sqrt {2}})r^{3}}$

und die Oberfläche ist

${\displaystyle A=24(2-{\sqrt {2}})r^{2}.}$

Mehr Zylinder

Bei vier Zylindern mit Achsen, die die Ecken eines Tetraeders mit den entsprechenden Punkten auf der anderen Seite des Festkörpers verbinden, ist das Volumen

${\displaystyle V_{4}=12(2{\sqrt {2}}-{\sqrt {6}})r^{3}\,}$

Bei sechs Zylindern mit Achsen parallel zu den Diagonalen der Seitenflächen eines Würfels ist das Volumen:

${\displaystyle V_{6}={\frac {16}{3}}(3+2{\sqrt {3}}-4{\sqrt {2}})r^{3}\,}$

Siehe auch

• Ungula

Verweise

Externe Links

• Ein 3D-Modell eines Steinmetz-Volumenkörpers in Google 3D Warehouse