Ultrafinitismus - Ultrafinitism

In der Philosophie der Mathematik ist Ultrafinitismus (auch bekannt als Ultraintuitionismus , strikter Formalismus , strikter Finitismus , Aktualismus , Prädikativismus und starker Finitismus ) eine Form von Finitismus und Intuitionismus . Es gibt verschiedene Philosophien der Mathematik, die als Ultrafinitismus bezeichnet werden. Eine wichtige Identifikationseigenschaft, die den meisten dieser Philosophien gemeinsam ist, sind ihre Einwände gegen die Gesamtheit zahlentheoretischer Funktionen wie die Exponentiation über natürliche Zahlen .

Hauptideen

Wie andere Finitisten bestreiten Ultrafinitisten die Existenz der unendlichen Menge N der natürlichen Zahlen .

Darüber hinaus befassen sich einige Ultrafinitisten mit der Akzeptanz von Objekten in der Mathematik, die aufgrund physikalischer Beschränkungen bei der Konstruktion großer endlicher mathematischer Objekte niemand in der Praxis konstruieren kann. Daher werden einige Ultrafinitisten die Existenz großer Zahlen leugnen oder davon absehen, zum Beispiel den Boden der ersten Skewes-Zahl , die eine riesige Zahl ist, die unter Verwendung der Exponentialfunktion als exp(exp(exp(79))) definiert ist, oder

Der Grund dafür ist, dass noch niemand berechnet hat, welche natürliche Zahl der Boden dieser reellen Zahl ist , und dies möglicherweise nicht einmal physikalisch möglich ist. Ebenso würde (in Knuths Aufwärtspfeil-Notation ) nur ein formaler Ausdruck betrachtet, der keiner natürlichen Zahl entspricht. Der Ultrafinitismus, der sich mit der physikalischen Realisierbarkeit der Mathematik beschäftigt, wird oft als Aktualismus bezeichnet .

Edward Nelson kritisierte die klassische Auffassung der natürlichen Zahlen wegen der Zirkularität ihrer Definition. In der klassischen Mathematik werden die natürlichen Zahlen als 0 definiert und Zahlen, die durch die iterative Anwendung der Nachfolgefunktion auf 0 erhalten werden. Aber der Begriff der natürlichen Zahl wird bereits für die Iteration vorausgesetzt. Mit anderen Worten, um eine Zahl wie 1 zu erhalten, muss die Nachfolgefunktion iterativ (genau genommen genau mal) auf 0 ausgeführt werden.

Einige Versionen des Ultrafinitismus sind Formen des Konstruktivismus , aber die meisten Konstruktivisten betrachten die Philosophie als undurchführbar extrem. Die logische Grundlage des Ultrafinitismus ist unklar; in seiner umfassenden Übersicht Konstruktivismus in Mathematik (1988) wies der konstruktive Logiker AS Troelstra es mit der Aussage zurück, dass "derzeit keine befriedigende Entwicklung existiert". Dies war nicht so sehr ein philosophischer Einwand, sondern ein Eingeständnis, dass es in einem strengen Werk der mathematischen Logik einfach nichts Genaues gab, das man aufnehmen könnte.

Menschen, die mit Ultrafinitismus in Verbindung gebracht werden

Ernsthafte Arbeiten zum Ultrafinitismus wurden von 1959 bis zu seinem Tod im Jahr 2016 von Alexander Esenin-Volpin geleitet , der 1961 ein Programm zum Beweis der Konsistenz der Zermelo-Fraenkel-Mengentheorie in der ultrafiniten Mathematik entwarf . Andere Mathematiker, die sich mit diesem Thema beschäftigt haben, sind Doron Zeilberger , Edward Nelson , Rohit Jivanlal Parikh und Jean Paul Van Bendegem . Die Philosophie wird manchmal auch mit dem Glauben von Ludwig Wittgenstein , Robin Gandy , Petr Vopěnka und J. Hjelmslev in Verbindung gebracht .

Shaughan Lavine hat eine Form des mengentheoretischen Ultrafinitismus entwickelt, die mit der klassischen Mathematik im Einklang steht. Lavine hat gezeigt, dass die Grundprinzipien der Arithmetik wie "es gibt keine größte natürliche Zahl" aufrechterhalten werden können, da Lavine die Einbeziehung "unbegrenzt großer" Zahlen zulässt.

Beschränkungen auf der Grundlage der Berechnungskomplexitätstheorie

Andere Überlegungen zur Möglichkeit, unhandliche große Zahlen zu vermeiden, können auf der Theorie der rechnerischen Komplexität beruhen , wie in Andras Kornais Arbeit über den expliziten Finitismus (der die Existenz großer Zahlen nicht leugnet) und Vladimir Sazonovs Begriff der zulässigen Zahl .

Es hat auch erhebliche formale Entwicklung auf Versionen von Ultrafinitismus gewesen , die auf der Komplexitätstheorie basieren, wie Samuel Buss ‚s Bounded Arithmetik Theorien, die Erfassung der Mathematik mit verschiedenen Komplexitätsklassen wie zugeordnet P und PSPACE . Buss' Arbeit kann als Fortsetzung von Edward Nelsons Arbeit zur prädikativen Arithmetik angesehen werden, da beschränkte arithmetische Theorien wie S12 in Raphael Robinsons Theorie Q interpretierbar sind und daher im Sinne Nelsons prädikativ sind . Die Kraft dieser Theorien für die Entwicklung der Mathematik wird in Bounded Reverse Mathematics untersucht, wie sie in den Werken von Stephen A. Cook und Phuong The Nguyen zu finden sind . Diese Forschungen sind jedoch keine Philosophien der Mathematik, sondern eher das Studium eingeschränkter Argumentationsformen, ähnlich der umgekehrten Mathematik .

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise

  • Ésénine-Volpine, AS (1961), "Le program ultra-intuitionniste des fondements des mathématiques", Infinitistic Methods (Proc. Sympos. Foundations of Math., Warschau, 1959) , Oxford: Pergamon, S. 201–223, MR  0147389Bewertet von Kreisel, G.; Ehrenfeucht, A. (1967), "Review of Le Program Ultra-Intuitionniste des Fondements des Mathematiques by AS Ésénine-Volpine", The Journal of Symbolic Logic , Association for Symbolic Logic, 32 (4): 517, doi : 10.2307/2270182 , JSTOR  2270182
  • Lavine, S., 1994. Das Unendliche verstehen , Cambridge, MA: Harvard University Press.

Externe Links