Dartingers Repräsentations- und Projektionssatz - Wirtinger's representation and projection theorem

In der Mathematik ist Wirtingers Repräsentations- und Projektionssatz ein Satz , den Wilhelm Wirtinger 1932 im Zusammenhang mit einigen Problemen der Approximationstheorie bewiesen hat . Dieser Satz gibt die Darstellungsformel für den holomorphen Unterraum des einfachen, ungewichteten holomorphen Hilbert- Funktionsraums an, der über die Oberfläche der Einheitsscheibe der komplexen Ebene quadratintegrierbar ist , zusammen mit einer Form der orthogonalen Projektion von bis . ${\ displaystyle \ left. \ right.H_ {2}}$ ${\ displaystyle \ left. \ right.L ^ {2}}$${\ displaystyle \ left. \ right. \ {z: | z | <1 \}}$${\ displaystyle \ left. \ right.L ^ {2}}$${\ displaystyle \ left. \ right.H_ {2}}$

Wirtingers Artikel enthält den folgenden Satz, der auch in Joseph L. Walshs bekannter Monographie (S. 150) mit einem anderen Beweis vorgestellt wurde. Wenn aus der Klasse auf , dh${\ displaystyle \ left. \ right. \ left.F (z) \ right.}$ ${\ displaystyle \ left. \ right.L ^ {2}}$${\ displaystyle \ left. \ right. | z | <1}$

${\ displaystyle \ iint _ {| z | <1} | F (z) | ^ {2} \, dS <+ \ infty,}$

Wo ist das Flächenelement , dann die eindeutige Funktion der holomorphen Unterklasse , so dass ${\ displaystyle \ left. \ right.dS}$${\ displaystyle \ left. \ right.f (z)}$${\ displaystyle H_ {2} \ subset L ^ {2}}$

${\ displaystyle \ iint _ {| z | <1} | F (z) -f (z) | ^ {2} \, dS}$

ist am wenigsten gegeben durch

${\ displaystyle f (z) = {\ frac {1} {\ pi}} \ iint _ {| \ zeta | <1} F (\ zeta) {\ frac {dS} {(1 - {\ overline {\ zeta}} z) ^ {2}}}, \ quad | z | <1.}$

Die letzte Formel gibt eine Form für die orthogonale Projektion von bis an . Außerdem macht das Ersetzen durch es die Darstellung von Wirtinger für alle . Dies ist ein Analogon der bekannten Cauchy-Integralformel mit dem Quadrat des Cauchy-Kernels. Später, nach den 1950er Jahren, wurde ein Grad des Cauchy-Kernels als reproduzierender Kernel bezeichnet , und die Notation wurde für die Klasse üblich . ${\ displaystyle \ left. \ right.L ^ {2}}$${\ displaystyle \ left. \ right.H_ {2}}$${\ displaystyle \ left. \ right.F (\ zeta)}$${\ displaystyle \ left. \ right.f (\ zeta)}$${\ displaystyle f (z) \ in H_ {2}}$${\ displaystyle \ left. \ right.A_ {0} ^ {2}}$${\ displaystyle \ left. \ right.H_ {2}}$

1948 erweiterte Mkhitar Djrbashian Wirtingers Darstellung und Projektion auf die breiteren, gewichteten Hilbert- Funktionsräume, die holomorph sind und die die Bedingung erfüllen ${\ displaystyle \ left. \ right.A _ {\ alpha} ^ {2}}$${\ displaystyle \ left. \ right.f (z)}$${\ displaystyle \ left. \ right. | z | <1}$

${\ displaystyle \ | f \ | _ {A _ {\ alpha} ^ {2}} = \ left \ {{\ frac {1} {\ pi}} \ iint _ {| z | <1} | f (z ) | ^ {2} (1- | z | ^ {2}) ^ {\ alpha -1} \, dS \ right \} ^ {1/2} <+ \ infty {\ text {für einige}} \ alpha \ in (0, + \ infty),}$

und auch zu einigen Hilbert-Räumen ganzer Funktionen. Die Erweiterung dieser Ergebnisse auf einige gewichtete Räume von Funktionen, die holomorph sind, und ähnliche Räume ganzer Funktionen, deren Vereinigungen jeweils mit allen Funktionen übereinstimmen, die holomorph sind, und die gesamte Menge ganzer Funktionen sind in zu sehen. ${\ displaystyle \ left. \ right.A _ {\ omega} ^ {2}}$${\ displaystyle \ left. \ right. | z | <1}$${\ displaystyle \ left. \ right. | z | <1}$

Siehe auch

• Jerbashian, AM; VS Zakaryan (2009). "Die zeitgenössische Entwicklung in der MM Djrbashian Faktorisierungstheorie und verwandte Probleme der Analyse". Izv. NAN von Armenien, Matematika (englische Übersetzung: Journal of Contemporary Mathematical Analysis) . 44 (6).

Verweise