Universalität der Zetafunktion - Zeta function universality

Jede auf dem Streifen definierte nicht verschwindende holomorphe Funktion f kann durch die ζ-Funktion angenähert werden.

In der Mathematik ist die Universalität von Zetafunktionen die bemerkenswerte Fähigkeit der Riemannschen Zetafunktion und anderer ähnlicher Funktionen (wie der Dirichlet-L-Funktionen ) beliebige nicht verschwindende holomorphe Funktionen beliebig gut anzunähern.

Die Universalität der Riemannschen Zetafunktion wurde erstmals 1975 von Sergei Mikhailovitch Voronin  [ ru ] bewiesen und wird manchmal als Voronins Universalitätssatz bezeichnet .

Die Riemannsche Zetafunktion auf dem Streifen 1/2 < Re( s ) < 1; 103 < Im( s ) < 109.

Formale Aussage

Es folgt eine mathematisch präzise Universalitätsaussage für die Riemannsche Zetafunktion ζ( s ).

Sei U eine kompakte Teilmenge des Streifens

${\displaystyle \{s\in\mathbb{C}\mid 1/2<{\mbox{Re}}s<1\}}$

derart , daß das Komplement von U ist , verbunden . Sei f  : U → C eine stetige Funktion auf U, die im Inneren von U holomorph ist und keine Nullstellen in U hat . Dann existiert für jedes ε > 0 ein t ≥ 0 mit

${\displaystyle \left|\zeta(s+it)-f(s)\right|<\varepsilon}$

( 1 )

für alle . ${\displaystyle s\in U}$

Mehr noch: Die niedrigere Dichte der Menge von Werten t , die die Aufgabe erfüllen, ist positiv, was durch die folgende Ungleichung um einen Grenzwert inferior ausgedrückt wird .

${\displaystyle 0<\liminf_{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\,\lambda\!\left(\left\{t\in [0,T]\;{\ bigg |}\;\max_{s\in U}\left|\zeta (s+it)-f(s)\right|<\varepsilon\right\}\right),}$

wobei λ das Lebesgue-Maß der reellen Zahlen bezeichnet .

Diskussion

Die Bedingung, dass das Komplement von U zusammenhängend ist, bedeutet im Wesentlichen, dass U keine Löcher enthält.

Die intuitive Bedeutung der ersten Aussage ist wie folgt: Es ist möglich, U um eine vertikale Verschiebung it so zu verschieben, dass die Funktion f auf U durch die Zetafunktion auf der verschobenen Kopie von U mit einer Genauigkeit von ε angenähert wird .

Die Funktion f darf keine Nullstellen auf U haben . Dies ist eine wichtige Einschränkung; Wenn Sie mit einer holomorphen Funktion mit einer isolierten Null beginnen, hat jede "in der Nähe" holomorphe Funktion ebenfalls eine Null. Nach der Riemann-Hypothese hat die Riemann-Zeta-Funktion keine Nullstellen im betrachteten Streifen und kann daher eine solche Funktion unmöglich approximieren. Die Funktion f ( s ) = 0, die auf U identisch Null ist, kann durch ζ angenähert werden : Wir können zuerst die "nahegelegene" Funktion g ( s ) = ε /2 (die holomorph ist und keine Nullen hat) auswählen und finden eine vertikale Verschiebung , so dass ζ approximiert g Genauigkeit ε / 2 und somit f an Genauigkeit ε .

Die nebenstehende Abbildung zeigt die Zeta-Funktion auf einem repräsentativen Teil des betreffenden Streifens. Die Farbe des Punktes s kodiert den Wert ζ ( s ) wie folgt: Der Farbton repräsentiert das Argument von ζ ( s ), wobei Rot positive reelle Werte bezeichnet und dann gegen den Uhrzeigersinn durch Gelb, Grün, Cyan, Blau und Violett. Starke Farben bezeichnen Werte nahe 0 (schwarz = 0), schwache Farben bezeichnen Werte weit weg von 0 (weiß = ∞). Das Bild zeigt drei Nullstellen der Zetafunktion bei etwa 1/2 + 103,7 i , 1/2 + 105,5 i und 1/2 + 107,2 i . Der Satz von Voronin besagt im Wesentlichen, dass dieser Streifen alle möglichen "analytischen" Farbmuster enthält, die kein Schwarz oder Weiß verwenden.

Die grobe Bedeutung der Aussage über die geringere Dichte ist wie folgt: Wenn eine Funktion f und ein ε > 0 gegeben sind, gibt es eine positive Wahrscheinlichkeit , dass eine zufällig ausgewählte vertikale Verschiebung es wird eine Näherung Ausbeute f Genauigkeit ε .

Das Innere von U kann leer sein, in diesem Fall muss f nicht holomorph sein. Nehmen wir zum Beispiel U als Liniensegment an, dann ist eine stetige Funktion f  : U → C nichts anderes als eine Kurve in der komplexen Ebene, und wir sehen, dass die Zeta-Funktion jede mögliche Kurve kodiert (dh jede Figur, die ohne den Bleistift anzuheben) mit beliebiger Genauigkeit auf dem betrachteten Streifen gezeichnet werden.

Der genannte Satz gilt nur für die Bereiche U , die im Streifen enthalten sind. Wenn wir jedoch Übersetzungen und Skalierungen zulassen, können wir auch in den Zetafunktionen codierte ungefähre Versionen aller nicht verschwindenden holomorphen Funktionen finden, die auf anderen Regionen definiert sind. Da die Zeta-Funktion selbst holomorph ist, sind insbesondere Versionen von sich selbst in verschiedenen Maßstäben darin kodiert, das Markenzeichen eines Fraktals .

Die überraschende Natur des Theorems lässt sich so zusammenfassen: Die Riemannsche Zetafunktion enthält "alle möglichen Verhaltensweisen" in sich und ist somit in gewisser Weise "chaotisch", dennoch ist sie eine vollkommen glatte analytische Funktion mit einer ziemlich einfachen, unkomplizierten Definition.

Beweisskizze

Es folgt eine Skizze des Beweises in (Voronin und Karatsuba, 1992). Wir betrachten nur den Fall, in dem U eine bei 3/4 zentrierte Scheibe ist:

${\displaystyle U=\{s\in\mathbb{C} :|s-3/4|<r\}\quad {\mbox{with}}\quad 0<r<1/4}$

und wir werden argumentieren, dass jede auf U definierte holomorphe Funktion ungleich Null durch die ζ -Funktion auf einer vertikalen Translation dieser Menge approximiert werden kann .

Vorbei an den Logarithmus ist es genug , um zu zeigen , dass für jede holomorphe Funktion g  : U → C und jedes ε > 0 eine reelle Zahl existieren t , so dass

${\displaystyle \left|\ln \zeta (s+it)-g(s)\right|<\varepsilon \quad {\text{für alle}}\quad s\in U.}$

Wir approximieren zunächst g ( s ) mit dem Logarithmus bestimmter endlicher Produkte, die an das Euler-Produkt für die ζ -Funktion erinnern :

${\displaystyle \zeta(s)=\prod_{p\in\mathbb{P}}\left(1-{\frac{1}{p^{s}}}\right)^{-1}, }$

wobei P die Menge aller Primzahlen bezeichnet.

Wenn eine Folge reeller Zahlen ist, eine für jede Primzahl p und M eine endliche Menge von Primzahlen ist, setzen wir ${\displaystyle\theta =(\theta_{p})_{p\in\mathbb{P}}}$

${\displaystyle \zeta_{M}(s,\theta)=\prod_{p\in M}\left(1-{\frac{e^{-2\pi i\theta_{p}}} {p^{s}}}\right)^{-1}.}$

Wir betrachten die spezifische Sequenz

${\displaystyle {\hat{\theta}}=\left({\frac {1}{4}},{\frac {2}{4}},{\frac {3}{4}},{\ frac {4}{4}},{\frac {5}{4}},\ldots\right)}$

und behaupten, dass g ( s ) durch eine Funktion der Form für eine geeignete Menge M von Primzahlen approximiert werden kann . Der Beweis dieser Behauptung verwendet den Bergman-Raum , der in (Voronin und Karatsuba, 1992) fälschlicherweise Hardy-Raum genannt wird , in H von holomorphen Funktionen, die auf U , einem Hilbert-Raum, definiert sind . Legen wir fest ${\displaystyle \ln(\zeta_{M}(s,{\hat{\theta}}))}$

${\displaystyle u_{k}(s)=\ln \left(1-{\frac {e^{-\pi ik/2}}{p_{k}^{s}}}\right)}$

wobei p _k die k- te Primzahl bezeichnet. Dann kann gezeigt werden, dass die Reihe

${\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}u_{k}}$

ist in H bedingt konvergent , dh für jedes Element v von H existiert eine Umordnung der Reihe, die in H gegen v konvergiert . Dieses Argument verwendet einen Satz, der den Riemannschen Reihensatz auf eine Hilbert-Raumeinstellung verallgemeinert . Aufgrund einer Beziehung zwischen der Norm in H und dem maximalen Absolutwert einer Funktion können wir dann unsere gegebene Funktion g ( s ) bei Bedarf mit einem Anfangssegment dieser umgeordneten Reihe approximieren .

Durch eine Version des Kronecker-Theorems , angewendet auf die reellen Zahlen (die über die rationalen Zahlen linear unabhängig sind ), können wir reelle Werte von t finden, so dass durch angenähert wird . Außerdem nähert sich für einige dieser Werte t an , was den Beweis beendet. ${\displaystyle {\frac {\ln 2}{2\pi}},{\frac {\ln 3}{2\pi}},{\frac {\ln 5}{2\pi}},\ldots ,{\frac{\ln p_{N}}{2\pi}}}$${\displaystyle \ln(\zeta_{M}(s,{\hat{\theta}}))}$${\displaystyle \ln(\zeta_{M}(s+it,0))}$${\displaystyle \ln(\zeta_{M}(s+it,0))}$${\displaystyle \ln(\zeta (s+it))}$

Das Theorem wird ohne Beweis in § 11.11 von (Titchmarsh und Heath-Brown, 1986), der zweiten Ausgabe einer Monographie von 1951 von Titchmarsh, angegeben; und ein schwächeres Ergebnis wird in Thm angegeben. 11.9. Obwohl der Satz von Voronin dort nicht bewiesen ist, werden daraus zwei Folgerungen abgeleitet:

1) Lassen Sie     sich fixieren. Dann die Kurve ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}<\sigma <1}$

${\displaystyle \gamma (t)=(\zeta (\sigma +it),\zeta '(\sigma +it),\dots ,\zeta ^{(n-1)}(\sigma +it))}$

ist dicht in ${\displaystyle \mathbb{C}^{n}.}$

2) Sei     eine stetige Funktion und seien     reelle Konstanten.${\displaystyle \Phi}$${\displaystyle h_{1},h_{2},\dots,h_{n}}$

Dann kann die Differentialgleichung nicht erfüllen ${\displaystyle\zeta(s)}$

${\displaystyle \Phi\{\zeta (s+h_{1}),\zeta '(s+h_{1}),\dots ,\zeta^{(n_{1})}(s+h_{1 }),\zeta (s+h_{2}),\zeta '(s+h_{2}),\dots ,\zeta^{(n_{2})}(s+h_{2}),\ Punkte \}=0}$

es sei denn, es     verschwindet identisch.${\displaystyle \Phi}$

Effektive Universalität

Einige neuere Arbeiten haben sich auf die effektive Universalität konzentriert. Unter den am Anfang dieses Artikels genannten Bedingungen gibt es Werte von t , die die Ungleichung (1) erfüllen. Ein effektiver Universalitätssatz legt eine obere Schranke für das kleinste solche t fest .

Zum Beispiel bewies Garunkštis 2003, dass wenn analytisch in mit ist , dann für jedes ε in eine Zahl in existiert, so dass ${\displaystyle f(s)}$${\displaystyle |s|\leq .05}$${\displaystyle \max_{\left|s\right|\leq .05}\left|f(s)\right|\leq 1}$${\displaystyle 0<\epsilon <1/2}$${\displaystyle t}$${\displaystyle 0\leq t\leq \exp({\exp({10/\epsilon ^{13}})})}$

${\displaystyle \max_{\left|s\right|\leq .0001}\left|\log\zeta (s+{\frac {3}{4}}+it)-f(s)\right|< \epsilon}$.

Wenn zum Beispiel , dann ist die Grenze für t ist . ${\displaystyle \epsilon=1/10}$${\displaystyle t\leq \exp({\exp({10/\epsilon^{13}})})=\exp({\exp({10^{14}})})}$

Schranken können auch aus dem Maß dieser t- Werte in Form von erhalten werden:

${\displaystyle \liminf _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\,\lambda\!\left(\left\{t\in [0,T]:\max _{\ left|s\right|\leq .0001}\left|\log\zeta (s+{\frac {3}{4}}+it)-f(s)\right|<\epsilon \right\}\right )\geq {\frac {1}{\exp({\epsilon^{-13}})}}}$.

Wenn beispielsweise , dann ist die rechte Seite . Sehen. ${\displaystyle \epsilon=1/10}$${\displaystyle 1/\exp({10^{13}})}$

Universalität anderer Zeta-Funktionen

Es wurden Arbeiten durchgeführt, die zeigen, dass sich die Universalität auf Selberg-Zeta-Funktionen erstreckt .

Die Dirichlet-L-Funktionen zeigen nicht nur Universalität, sondern eine bestimmte Art von gemeinsamer Universalität , die es ermöglicht, jede Menge von Funktionen durch den gleichen Wert(e) von t in verschiedenen L- Funktionen zu approximieren, wobei jede zu approximierende Funktion gepaart ist mit eine andere L-Funktion .

Eine ähnliche Universalitätseigenschaft wurde für die Lerch-Zeta-Funktion gezeigt , zumindest wenn der Parameter α eine transzendente Zahl ist . Es hat sich auch gezeigt, dass Abschnitte der Lerch-Zeta-Funktion eine Form von gemeinsamer Universalität haben. ${\displaystyle L(\lambda,\alpha,s)}$

Verweise

Weiterlesen

• Karatsuba, Anatoly A.; Woronin, SM (2011). Die Riemann Zeta-Funktion . de Gruyter Expositionen in der Mathematik. Berlin: de Gruyter. ISBN 978-3110131703.
• Laurinčikas, Antanas (1996). Grenzwertsätze für die Riemann Zeta-Funktion . Mathematik und ihre Anwendungen. 352 . Berlin: Springer. doi : 10.1007/978-94-017-2091-5 . ISBN 978-90-481-4647-5.
• Steuding, Jörn (2007). Wertverteilung von L-Funktionen . Vorlesungsnotizen in Mathematik. 1877 . Berlin: Springer. P. 19 . arXiv : 1711.06671 . doi : 10.1007/978-3-540-44822-8 . ISBN 978-3-540-26526-9.
• Titchmarsh, Edward Charles; Heath-Brown, David Rodney ("Roger") (1986). Die Theorie der Riemannschen Zeta-Funktion (2. Aufl.). Oxford: Oxford UP ISBN 0-19-853369-1.

Externe Links

• Voronins Universalitätssatz von Matthew R. Watkins
• Röntgen der Zeta-Funktion Visuell orientierte Untersuchung, wo Zeta real oder rein imaginär ist. Gibt einen Hinweis darauf, wie kompliziert es im kritischen Streifen ist.