Zugängliche Kategorie - Accessible category

Die Theorie der zugänglichen Kategorien ist Teil der Mathematik , insbesondere der Kategorietheorie . Es wird versucht, Kategorien anhand der "Größe" (einer Kardinalzahl ) der Operationen zu beschreiben, die zum Generieren ihrer Objekte erforderlich sind.

Die Theorie stammt aus der Arbeit von Grothendieck, die 1969 fertiggestellt wurde, und Gabriel und Ulmer (1971). Es wurde 1989 von Michael Makkai und Robert Paré weiterentwickelt, wobei die Motivation aus der Modelltheorie stammt , einem Zweig der mathematischen Logik . Ein Standardlehrbuch von Adámek und Rosický erschien 1994. Zugängliche Kategorien finden auch Anwendung in der Homotopietheorie . Grothendieck setzte die Entwicklung der Theorie für homotopietheoretische Zwecke in seinem (teilweise noch unveröffentlichten) Manuskript Les dérivateurs von 1991 fort . Einige Eigenschaften zugänglicher Kategorien hängen vom verwendeten Set-Universum ab, insbesondere von den Kardinaleigenschaften und dem Vopěnka-Prinzip .

${\ displaystyle \ kappa}$-gerichtete Colimits und -präsentable Objekte${\ displaystyle \ kappa}$

Sei ein unendlicher regulärer Kardinal , dh eine Kardinalzahl , die nicht die Summe einer kleineren Anzahl kleinerer Kardinäle ist; Beispiele sind ( aleph-0 ), die erste unendliche Kardinalzahl und der erste unzählige Kardinal). Ein teilweise geordneten Satz heißt -directed wenn jede Teilmenge von weniger als der Mächtigkeit in einen oberen gebunden hat . Insbesondere sind die gewöhnlichen gerichteten Mengen genau die gerichteten Mengen. ${\ displaystyle \ kappa}$${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$${\ displaystyle \ aleph _ {1}}$ ${\ displaystyle (I, \ leq)}$${\ displaystyle \ kappa}$${\ displaystyle J}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle \ kappa}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$

Nun sei eine Kategorie . Eine direkte Begrenzung (auch als gerichtetes Colimit bezeichnet) über eine gerichtete Menge wird als gerichtetes Colimit bezeichnet . Ein Objekt von heißt -presentable, wenn der Hom-Funktor alle -directed colimits in beibehält . Es ist klar, dass jedes darstellbare Objekt auch immer präsentierbar ist , da in diesem Fall jedes gerichtete Colimit auch ein gerichtetes Colimit ist. Ein darstellbares Objekt heißt endlich darstellbar . ${\ displaystyle C}$${\ displaystyle \ kappa}$${\ displaystyle (I, \ leq)}$${\ displaystyle \ kappa}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle \ kappa}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Hom} (X, -)}$${\ displaystyle \ kappa}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle \ kappa}$${\ displaystyle \ kappa '}$${\ displaystyle \ kappa \ leq \ kappa '}$${\ displaystyle \ kappa '}$${\ displaystyle \ kappa}$${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$

Beispiele

• In der Kategorie Menge aller Mengen fallen die endlich darstellbaren Objekte mit den endlichen Mengen zusammen. Die darstellbaren Objekte sind die Mengen der Kardinalität kleiner als .${\ displaystyle \ kappa}$${\ displaystyle \ kappa}$
• In der Kategorie aller Gruppen ist ein Objekt genau dann endlich präsentierbar , wenn es eine endlich präsentierte Gruppe ist , dh wenn es eine Präsentation mit endlich vielen Generatoren und endlich vielen Beziehungen hat. Für unzählige reguläre Objekte sind die darstellbaren Objekte genau die Gruppen mit einer Kardinalität kleiner als .${\ displaystyle \ kappa}$${\ displaystyle \ kappa}$${\ displaystyle \ kappa}$
• In der Kategorie der linken Module${\ displaystyle R}$ über einen (einheitlichen, assoziativen) Ring sind die endlich präsentierbaren Objekte genau die endlich präsentierten Module .${\ displaystyle R}$

${\ displaystyle \ kappa}$-zugängliche und lokal präsentierbare Kategorien

Die Kategorie heißt -zugänglich, sofern: ${\ displaystyle C}$${\ displaystyle \ kappa}$

• ${\ displaystyle C}$hat alle gerichteten Colimits${\ displaystyle \ kappa}$
• ${\ displaystyle C}$enthält eine Reihe von darstellbaren Objekten, so dass jedes Objekt von ein gerichtetes Colimit von Objekten von ist .${\ displaystyle P}$${\ displaystyle \ kappa}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle \ kappa}$${\ displaystyle P}$

Eine zugängliche Kategorie wird als endlich zugänglich bezeichnet . Eine Kategorie wird als zugänglich bezeichnet, wenn sie für einen unendlichen regulären Kardinal zugänglich ist . Wenn eine zugängliche Kategorie ebenfalls vollständig ist , wird sie als lokal präsentierbar bezeichnet . ${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$${\ displaystyle \ kappa}$${\ displaystyle \ kappa}$

Ein Funktor zwischen -zugänglichen Kategorien heißt -accessible, sofern -irected colimits erhalten bleiben. ${\ displaystyle F: C \ bis D}$${\ displaystyle \ kappa}$${\ displaystyle \ kappa}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle \ kappa}$

Beispiele

• Die Kategorie Menge aller Mengen und Funktionen ist lokal endlich darstellbar, da jede Menge die direkte Grenze ihrer endlichen Teilmengen darstellt und endliche Mengen endlich darstellbar sind.
• Die Kategorie -Mod von (linken) -Modulen ist für jeden Ring lokal endlich präsentierbar .${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$
• Die Kategorie der einfachen Mengen ist endlich zugänglich.
• Die Kategorie Mod (T) von Modellen einer Theorie T erster Ordnung mit zählbarer Signatur ist zugänglich. -präsentable Objekte sind Modelle mit einer zählbaren Anzahl von Elementen.${\ displaystyle \ aleph _ {1}}$${\ displaystyle \ aleph _ {1}}$
• Weitere Beispiele für lokal darstellbare Kategorien sind endliche algebraische Kategorien (dh die Kategorien, die Sorten von Algebren in der universellen Algebra entsprechen ) und Grothendieck-Kategorien .

Theoreme

Man kann zeigen, dass jede lokal präsentierbare Kategorie auch vollständig ist . Darüber hinaus ist eine Kategorie lokal ansehnlich , wenn und nur wenn es in der Kategorie der Modelle einer Grenze entspricht Skizze .

Adjunkte Funktoren zwischen lokal darstellbaren Kategorien haben eine besonders einfache Charakterisierung. Ein Funktor zwischen lokal präsentierbaren Kategorien: ${\ displaystyle F: C \ bis D}$

• ist ein linker Zusatz, wenn und nur wenn es kleine Colimits bewahrt,
• ist genau dann ein Rechtszusatz, wenn er kleine Grenzen beibehält und zugänglich ist.

Anmerkungen

Verweise

• Adámek, Jiří; Rosický, Jiří (1994), Lokal präsentierbare und zugängliche Kategorien , LNM Lecture Notes, Cambridge University Press, ISBN 0-521-42261-2