Affine Kombination - Affine combination

In der Mathematik ist eine affine Kombination von x ₁ , ..., x _n eine lineare Kombination

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ alpha _ {i} \ cdot x_ {i}} = \ alpha _ {1} x_ {1} + \ alpha _ {2} x_ {2 } + \ cdots + \ alpha _ {n} x_ {n},}$

so dass

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ alpha _ {i}} = 1.}$

Hier, x ₁ , ..., x _n kann Elemente (wird Vektoren ) ein Vektorraum über ein Feld K , und die Koeffizienten sind Elemente von K . ${\ displaystyle \ alpha _ {i}}$

Die Elemente x ₁ , ..., x _n können auch Punkte eines euklidischen Raums und allgemeiner eines affinen Raums über einem Feld K sein . In diesem Fall sind die Elemente von K (oder für einen euklidischen Raum), und die affine Kombination ist auch ein Punkt. Die Definition in diesem Fall finden Sie unter Affiner Raum § Affine Kombinationen und Schwerpunkt . ${\ displaystyle \ alpha _ {i}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

Dieses Konzept ist in der euklidischen Geometrie und der affinen Geometrie von grundlegender Bedeutung , da die Menge aller affinen Kombinationen einer Menge von Punkten den kleinsten Unterraum bildet, der die Punkte enthält, genau wie die linearen Kombinationen einer Menge von Vektoren ihre lineare Spanne bilden .

Die affinen Kombinationen pendeln mit jeder affinen Transformation T in dem Sinne, dass

${\ displaystyle T \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ alpha _ {i} \ cdot x_ {i}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ alpha _ {i} \ cdot Tx_ {i}}.}$

Insbesondere ist jede affine Kombination der Fixpunkte einer gegebenen affinen Transformation auch ein Fixpunkt von , so dass die Menge der Fixpunkte einen affinen Unterraum bildet (in 3D: eine Linie oder eine Ebene und die trivialen Fälle einen Punkt) oder den ganzen Raum). ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$

Wenn eine stochastische Matrix , A , auf einem Spaltenvektor wirkt, b → , das Ergebnis ist ein Spaltenvektor , deren Einträge affine Kombinationen von b → mit Koeffizienten von den Zeilen in A .

Siehe auch

Verwandte Kombinationen

• Konvexe Kombination
• Konische Kombination
• Lineare Kombination

Affine Geometrie

• Affiner Raum
• Affine Geometrie
• Affiner Rumpf

Verweise

• Gallier, Jean (2001), Geometrische Methoden und Anwendungen , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-95044-0. Siehe Kapitel 2 .

Externe Links

• Hinweise zu affinen Kombinationen.