Konische Kombination - Conical combination

Bei einer endlichen Anzahl von Vektoren in einem reellen Vektorraum ist eine konische Kombination , konische Summe oder gewichtete Summe dieser Vektoren ein Vektor der Form ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots,x_{n}}$

${\displaystyle \alpha_{1}x_{1}+\alpha_{2}x_{2}+\cdots +\alpha_{n}x_{n}}$

wo sind nicht negative reelle Zahlen. ${\displaystyle \alpha_{i}}$

Der Name leitet sich von der Tatsache ab, dass eine konische Summe von Vektoren einen Kegel (möglicherweise in einem niedrigerdimensionalen Unterraum ) definiert.

Konischer Rumpf

Der Satz aller konischen Kombinationen für einen gegebenen Satz S wird die angerufene konischen Rumpf von S und bezeichnet Konus ( S ) oder CONI ( S ). Das ist,

${\displaystyle \operatorname {coni} (S)=\left\{\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}x_{i}:x_{i}\in S,\,\ alpha _{i}\in\mathbb{R}_{\geq 0},\,k\in\mathbb{N}\right\}.}$

Mit k  = 0 folgt, dass der Nullvektor ( Ursprung ) zu allen konischen Hüllen gehört (da die Summation eine leere Summe wird ).

Die konische Hülle einer Menge S ist eine konvexe Menge . Tatsächlich ist es der Schnittpunkt aller konvexen Kegel, die S plus den Ursprung enthalten. Wenn S eine kompakte Menge ist (insbesondere wenn es eine endliche nichtleere Menge von Punkten ist), dann ist die Bedingung "plus Ursprung" unnötig.

Wenn wir den Ursprung verwerfen, können wir alle Koeffizienten durch ihre Summe dividieren, um zu sehen, dass eine konische Kombination eine mit einem positiven Faktor skalierte konvexe Kombination ist.

In der Ebene ist die konische Hülle eines durch den Ursprung verlaufenden Kreises die offene Halbebene, die durch die Tangente an den Kreis am Ursprung plus den Ursprung definiert wird.

Daher sind "konische Kombinationen" und "konische Hüllen" tatsächlich "konvexe konische Kombinationen" bzw. "konvexe konische Hüllen". Darüber hinaus impliziert die obige Bemerkung zum Teilen der Koeffizienten unter Verwerfen des Ursprungs, dass die konischen Kombinationen und Hüllen als konvexe Kombinationen und konvexe Hüllen im projektiven Raum betrachtet werden können .

Während die konvexe Hülle einer kompakten Menge auch eine kompakte Menge ist, gilt dies nicht für die konische Hülle; Erstens ist letzteres unbegrenzt. Darüber hinaus ist es nicht einmal notwendigerweise eine abgeschlossene Menge : Ein Gegenbeispiel ist eine Kugel, die durch den Ursprung geht, wobei die konische Hülle ein offener Halbraum plus Ursprung ist. Ist S jedoch eine nichtleere konvexe kompakte Menge, die den Ursprung nicht enthält, dann ist die konvexe konische Hülle von S eine abgeschlossene Menge.

Siehe auch

Verwandte Kombinationen

• Affine Kombination
• Konvexe Kombination
• Lineare Kombination

Verweise