Kette (algebraische Topologie) - Chain (algebraic topology)

In der algebraischen Topologie , eine k - Kette ist eine formale lineare Kombination der k -Zellen in einem Zellenkomplex . In simplizialen Komplexen (bzw. kubischen Komplexen ) sind k- Ketten Kombinationen von k- simplices (bzw. k- Würfeln), aber nicht notwendigerweise verbunden. Ketten werden in der Homologie verwendet ; die Elemente einer Homologiegruppe sind Äquivalenzklassen von Ketten.

Definition

Für einen simplizialen Komplex ist die Gruppe der -Ketten von gegeben durch: ${\displaystyle X}$${\displaystyle C_{n}(X)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle C_{n}(X)=\{\sum\limits_{i}m_{i}\sigma_{i}|m_{i}\in\mathbb{Z}\}}$

wo sind -simplexe von . Beachten Sie, dass kein Element ein zusammenhängender simplizialer Komplex sein muss. ${\displaystyle \sigma_{i}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C_{n}(X)}$

Integration an Ketten

Integration wird auf Ketten definiert, indem die Linearkombination von Integralen über die Simplizes in der Kette mit Koeffizienten (die typischerweise ganze Zahlen sind) verwendet wird. Die Menge aller k- Ketten bildet eine Gruppe und die Abfolge dieser Gruppen wird als Kettenkomplex bezeichnet .

Grenzoperator auf Ketten

Die Grenze einer polygonalen Kurve ist eine Linearkombination ihrer Knoten; in diesem Fall eine Linearkombination von A ₁ bis A ₆ . Angenommen, die Segmente sind alle von links nach rechts ausgerichtet (in aufsteigender Reihenfolge von _Ak bis _{Ak +1} ), ist die Grenze A ₆ − A ₁ .

Eine geschlossene polygonale Kurve, die eine konsistente Ausrichtung voraussetzt, hat eine Nullgrenze.

Der Rand einer Kette ist die lineare Kombination der Grenzen der Simplizes in der Kette. Die Grenze einer k- Kette ist eine ( k −1)-Kette. Beachten Sie, dass der Rand eines Simplex kein Simplex ist, sondern eine Kette mit den Koeffizienten 1 oder −1 – Ketten sind also die Abschlüsse von Simplizes unter dem Randoperator.

Beispiel 1: Die Grenze eines Weges ist die formale Differenz seiner Endpunkte: es ist eine Teleskopsumme . Zur Veranschaulichung, wenn die 1-Kette ein Weg von Punkt zu Punkt ist , wobei , und ihre konstituierenden 1-Simplizite sind, dann ${\displaystyle c=t_{1}+t_{2}+t_{3}\,}$${\displaystyle v_{1}\,}$${\displaystyle v_{4}\,}$${\displaystyle t_{1}=[v_{1},v_{2}]\,}$${\displaystyle t_{2}=[v_{2},v_{3}]\,}$${\displaystyle t_{3}=[v_{3},v_{4}]\,}$

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\partial _{1}c&=\partial _{1}(t_{1}+t_{2}+t_{3})\\&=\partial _{1}( t_{1})+\partial_{1}(t_{2})+\partial_{1}(t_{3})\\&=\partial_{1}([v_{1},v_{ 2}])+\partial_{1}([v_{2},v_{3}])+\partial_{1}([v_{3},v_{4}])\\&=([ v_{2}]-[v_{1}])+([v_{3}]-[v_{2}])+([v_{4}]-[v_{3}])\\&=[ v_{4}]-[v_{1}].\end{aligned}}}$

Beispiel 2: Die Grenze des Dreiecks ist eine formale Summe seiner Kanten mit Vorzeichen, die so angeordnet sind, dass die Grenze gegen den Uhrzeigersinn durchquert wird.

Eine Kette ist ein sogenannter Zyklus , wenn seine Grenze Null ist. Eine Kette, die die Grenze einer anderen Kette ist, wird als Grenze bezeichnet . Grenzen sind Zyklen, also bilden Ketten einen Kettenkomplex , dessen Homologiegruppen (Zyklen-Modulo-Grenzen) simpliziale Homologiegruppen genannt werden.

Beispiel 3: Ein 0-Zyklus ist eine Linearkombination von Punkten, so dass die Summe aller Koeffizienten 0 ist. Somit misst die 0-Homologiegruppe die Anzahl der pfadverbundenen Komponenten des Raums.

Beispiel 4: Die im Ursprung punktierte Ebene hat eine nichttriviale 1-Homologiegruppe, da der Einheitskreis ein Kreis, aber keine Grenze ist.

In der Differentialgeometrie wird die Dualität zwischen dem Randoperator auf Ketten und der äußeren Ableitung durch den allgemeinen Satz von Stokes ausgedrückt .

Verweise