Klassifizierung elektromagnetischer Felder - Classification of electromagnetic fields
In der Differentialgeometrie und der theoretischen Physik ist die Klassifizierung elektromagnetischer Felder eine punktweise Klassifizierung von Bivektoren an jedem Punkt einer Lorentzschen Mannigfaltigkeit . Es wird zur Untersuchung von Lösungen der Maxwellschen Gleichungen verwendet und findet Anwendung in Einsteins Relativitätstheorie .
Der Klassifikationssatz
Das elektromagnetische Feld an einem Punkt p (dh einem Ereignis) einer Lorentzschen Raumzeit wird durch einen realen Bivektor F = F ab dargestellt , der über dem Tangentenraum bei p definiert ist .
Der Tangentenraum bei p ist isometrisch als realer innerer Produktraum zu E 1,3 . Das heißt, hat es die gleiche Vorstellung von Vektor - Größe und Winkel als Minkowski Raum - Zeit . Um die Notation zu vereinfachen, nehmen wir die Raum - Zeit ist Raum - Zeit - Minkowski. Dies neigt dazu, die Unterscheidung zwischen dem Tangentenraum bei p und der darunter liegenden Mannigfaltigkeit zu verwischen ; Glücklicherweise geht durch diese Spezialisierung nichts verloren, aus Gründen, die wir am Ende des Artikels diskutieren.
Der Klassifikationssatz für elektromagnetische Felder charakterisiert den Bivektor F in Bezug auf die Lorentzsche Metrik η = η ab durch Definition und Untersuchung der sogenannten "Hauptnullrichtungen". Lassen Sie uns das erklären.
Der Bivektor F ab ergibt einen schrägsymmetrischen linearen Operator F a b = F ac η cb , der durch Absenken eines Index mit der Metrik definiert wird. Es wirkt auf den Tangentenraum bei p durch r a → F a b r b . Wir werden das Symbol F verwenden , um je nach Kontext entweder den Bivektor oder den Operator zu bezeichnen.
Wir erwähnen eine Dichotomie aus der äußeren Algebra. Ein Bivektor, der als F = v ∧ w geschrieben werden kann , wobei v , w linear unabhängig sind, wird einfach genannt . Jeder Bivektor ungleich Null über einem 4-dimensionalen Vektorraum ist entweder einfach oder kann als F = v ≤ w + x ≤ y geschrieben werden , wobei v , w , x und y linear unabhängig sind; Die beiden Fälle schließen sich gegenseitig aus. So ausgedrückt bezieht sich die Dichotomie nicht auf die Metrik η , sondern nur auf die äußere Algebra. Es ist jedoch leicht zu erkennen, dass der zugehörige schrägsymmetrische lineare Operator F a b im ersteren Fall Rang 2 und im letzteren Fall Rang 4 hat.
Um den Klassifikationssatz zu formulieren, betrachten wir das Eigenwertproblem für F , dh das Problem, Eigenwerte λ und Eigenvektoren r zu finden , die die Eigenwertgleichung erfüllen
Die Schrägsymmetrie von F impliziert Folgendes:
- entweder ist der Eigenvektor r ein Nullvektor (dh η ( r , r ) = 0 ) oder der Eigenwert λ ist Null oder beides .
Ein eindimensionaler Unterraum, der von einem Null-Eigenvektor erzeugt wird, wird als Haupt-Nullrichtung des Bivektors bezeichnet.
Der Klassifikationssatz charakterisiert die möglichen Hauptnullrichtungen eines Bivektors. Es heißt, dass eine der folgenden Bedingungen für jeden Bivektor ungleich Null gelten muss:
- der Bivektor hat eine "wiederholte" Hauptnullrichtung; in diesem Fall heißt der Bivektor selbst null ,
- Der Bivektor hat zwei unterschiedliche Hauptnullrichtungen. In diesem Fall wird der Bivektor als Nicht-Null bezeichnet .
Darüber hinaus haben für jeden Nicht-Null-Bivektor die beiden Eigenwerte, die den beiden unterschiedlichen Haupt-Nullrichtungen zugeordnet sind, die gleiche Größe, aber das entgegengesetzte Vorzeichen λ = ± ν , sodass wir drei Unterklassen von Nicht-Null-Bivektoren haben:
- raumartig : ν = 0
- zeitlich : ν ≠ 0 und Rang F = 2
- nicht einfach : ν ≠ 0 und Rang F = 4 ,
wobei sich der Rang auf den Rang des linearen Operators F bezieht .
Körperliche Interpretation
Die oben angegebene algebraische Klassifikation von Bivektoren hat eine wichtige Anwendung in der relativistischen Physik : Das elektromagnetische Feld wird durch ein schrägsymmetrisches Tensorfeld zweiten Ranges (der Tensor für elektromagnetische Felder) dargestellt, sodass wir sofort eine algebraische Klassifikation elektromagnetischer Felder erhalten.
In einem kartesischen Diagramm zur Minkowski-Raumzeit hat der Tensor des elektromagnetischen Feldes Komponenten
wobei und bezeichnen jeweils die Komponenten des elektrischen und magnetischen Feldes, gemessen von einem Trägheitsbeobachter (in Ruhe in unseren Koordinaten). Wie in der relativistischen Physik üblich, wird es zweckmäßig sein, mit geometrisierten Einheiten zu arbeiten , in denen . Im Formalismus " Indexgymnastik " der speziellen Relativitätstheorie wird die Minkowski-Metrik verwendet, um Indizes zu erhöhen und zu senken.
Invarianten
Die fundamentalen Invarianten des elektromagnetischen Feldes sind:
- .
(Grundlegend bedeutet, dass jede andere Invariante in Form dieser beiden ausgedrückt werden kann.)
Ein elektromagnetisches Nullfeld ist gekennzeichnet durch . In diesem Fall zeigen die Invarianten, dass die elektrischen und magnetischen Felder senkrecht sind und dass sie gleich groß sind (in geometrisierten Einheiten). Ein Beispiel für ein Nullfeld ist eine ebene elektromagnetische Welle im Minkowski-Raum .
Ein Nicht-Null-Feld ist gekennzeichnet durch . Wenn vorhanden , existiert ein Trägheitsreferenzrahmen, für den entweder das elektrische oder das magnetische Feld verschwindet. (Diese entsprechen jeweils magnetostatischen und elektrostatischen Feldern.) Wenn vorhanden , existiert ein Trägheitsrahmen, in dem elektrische und magnetische Felder proportional sind.
Gebogene Lorentzsche Mannigfaltigkeiten
Bisher haben wir nur die Minkowski-Raumzeit besprochen . Nach dem (starken) Äquivalenzprinzip funktioniert bei gekrümmten Verteilern alles genauso , wenn wir oben einfach den "Trägheitsrahmen" durch ein Rahmenfeld ersetzen .
Siehe auch
Anmerkungen
Verweise
- Landau, Lev D.; Lifshitz, EM (1973). Die klassische Feldtheorie . New York: Pergamon. ISBN 0-08-025072-6.Siehe Abschnitt 25 .