Komplexe Raumzeit - Complex spacetime

In der Mathematik und der mathematischen Physik , komplexe Raum - Zeit erweitert die traditionelle Vorstellung von Raum - Zeit durch beschrieben reellwertige Raum und Zeit Koordinaten zu komplexwertigen Raum und Zeit - Koordinaten. Der Begriff ist vollständig mathematisch ohne implizierte Physik, sollte aber als Werkzeug gesehen werden, wie zum Beispiel die Wick-Rotation .

Reale und komplexe Räume

Mathematik

Die Komplexifizierung eines reellen Vektorraums führt zu einem komplexen Vektorraum (über dem komplexen Zahlenkörper ). Einen Raum zu "komplexieren" bedeutet, die gewöhnliche Skalarmultiplikation von Vektoren mit reellen Zahlen auf eine Skalarmultiplikation mit komplexen Zahlen auszudehnen . Für komplexierte innere Produkträume ersetzt das komplexe innere Produkt auf Vektoren das gewöhnliche reellwertige innere Produkt , ein Beispiel für letzteres ist das Punktprodukt .

Wenn wir in der mathematischen Physik einen reellen Koordinatenraum n komplexieren , erzeugen wir einen komplexen Koordinatenraum ℂ n , der in der Differentialgeometrie als „ komplexe Mannigfaltigkeit “ bezeichnet wird . Der Raum ℂ n lässt sich auf ℝ 2 n beziehen , da jede komplexe Zahl zwei reelle Zahlen bildet.

Eine komplexe Raumzeit - Geometrie bezieht sich auf die Metriktensor Komplex ist, nicht selbst Raum - Zeit.

Physik

Der Minkowski-Raum der Speziellen Relativitätstheorie (SR) und Allgemeinen Relativitätstheorie (GR) ist ein 4-dimensionaler " pseudoeuklidischer Raum "-Vektorraum. Die Raumzeit , die Albert Einsteins Feldgleichungen zugrunde liegt , die die Gravitation mathematisch beschreiben , ist eine reale 4-dimensionale „ Pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeit “.

In der Quantenmechanik sind Wellenfunktionen, die Teilchen beschreiben, komplexwertige Funktionen von realen Raum- und Zeitvariablen. Die Menge aller Wellenfunktionen für ein gegebenes System ist ein unendlichdimensionaler komplexer Hilbertraum .

Geschichte

Die Vorstellung, dass Raumzeit mehr als vier Dimensionen hat, ist in ihrer eigenen mathematischen Hinsicht von Interesse. Sein Auftreten in der Physik kann auf Versuche zurückgeführt werden, die fundamentalen Wechselwirkungen , ursprünglich Gravitation und Elektromagnetismus, zu vereinen . Diese Ideen herrschen in der Stringtheorie und darüber hinaus vor. Die Idee der komplexen Raumzeit hat wesentlich weniger Beachtung gefunden, wurde aber im Zusammenhang mit der Lorentz-Dirac-Gleichung und den Maxwell-Gleichungen betrachtet. Andere Ideen beinhalten die Abbildung der realen Raumzeit in einen komplexen Darstellungsraum von SU(2, 2) , siehe Twistor-Theorie .

Im Jahr 1919 veröffentlichte Theodor Kaluza seine 5-dimensionale Erweiterung der Allgemeinen Relativitätstheorie an Albert Einstein , der beeindruckt war, wie die Gleichungen des Elektromagnetismus aus Kaluzas Theorie hervorgegangen sind. 1926 schlug Oskar Klein vor, dass Kaluzas zusätzliche Dimension zu einem extrem kleinen Kreis „ zusammengerollt “ werden könnte , als ob in jedem Punkt im Raum eine kreisförmige Topologie verborgen wäre. Anstatt eine weitere räumliche Dimension zu sein, könnte man sich die zusätzliche Dimension als einen Winkel vorstellen, der eine Hyper-Dimension erzeugt, während sie sich um 360° dreht. Diese 5d-Theorie wird Kaluza-Klein-Theorie genannt .

1932 veröffentlichte Hsin P. Soh vom MIT , beraten von Arthur Eddington , eine Theorie, die versucht, Gravitation und Elektromagnetismus innerhalb einer komplexen 4-dimensionalen Riemannschen Geometrie zu vereinen . Das Linienelement ds 2 ist komplexwertig, so dass der Realteil Masse und Gravitation entspricht, während der Imaginärteil Ladung und Elektromagnetismus entspricht. Die üblichen x- , y- , z- und Zeit- t- Koordinaten selbst sind reell und die Raumzeit ist nicht komplex, aber tangentiale Räume dürfen es sein.

Nach der Veröffentlichung seiner Allgemeinen Relativitätstheorie im Jahr 1915 versuchte Albert Einstein mehrere Jahrzehnte lang , die Schwerkraft mit dem Elektromagnetismus zu vereinen , um eine einheitliche Feldtheorie zu schaffen , die beide Wechselwirkungen erklärt. In den letzten Jahren des Zweiten Weltkriegs begann Albert Einstein, komplexe Raumzeitgeometrien verschiedener Art zu betrachten.

1953 verallgemeinerte Wolfgang Pauli die Kaluza-Klein-Theorie auf einen sechsdimensionalen Raum und leitete (mittels Dimensionsreduktion ) die Grundlagen einer SU(2) -Eichtheorie (angewandt in der Quantenmechanik auf die elektroschwache Wechselwirkung ) ab, als ob Kleins " zusammengerollter" Kreis zur Oberfläche einer infinitesimalen Hypersphäre geworden .

1975 veröffentlichte Jerzy Plebanski "Einige Lösungen komplexer Albert-Einstein-Gleichungen".

Es gab Versuche, die Dirac-Gleichung in der komplexen Raumzeit durch analytische Fortsetzung zu formulieren .

Siehe auch

Verweise

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