Dévissage - Dévissage

In der algebraischen Geometrie ist Dévissage eine von Alexander Grothendieck eingeführte Technik, um Aussagen über kohärente Garben auf Noether-Schemata zu beweisen . Dévissage ist eine Adaption einer bestimmten Art von Noether-Induktion . Es hat viele Anwendungen, einschließlich des Beweises der generischen Ebenheit und des Beweises, dass höhere direkte Bilder von kohärenten Garben unter geeigneten Morphismen kohärent sind.

Laurent Gruson und Michel Raynaud erweiterten dieses Konzept auf die relative Situation, dh auf die Situation, in der das betrachtete Schema nicht unbedingt noetherisch ist, sondern stattdessen einen endlich präsentierten Morphismus auf ein anderes Schema zulässt. Dazu definierten sie ein Objekt, das als relative Dévissage bezeichnet wird und für bestimmte Arten von induktiven Argumenten gut geeignet ist. Sie benutzten diese Technik ein neues Kriterium geben für ein Modul zu flach . Infolgedessen konnten sie die Ergebnisse von EGA IV 11 beim Abstieg der Ebenheit vereinfachen und verallgemeinern .

Das Wort dévissage ist französisch für Abschrauben .

Grothendiecks Dévissage-Theorem

Sei X ein Noether-Schema. Sei C eine Teilmenge der Objekte der Kategorie der kohärenten O X -Module, die die Nullgarbe enthält und die die Eigenschaft hat, dass für jede kurze exakte Folge von kohärenten Garben zwei von A , A 'und A ' ' sind in C , dann ist so der dritte. Lassen X 'ein abgeschlossener Teilraum des zugrundeliegenden sein topologischer Raum von X . Angenommen, für jede irreduzible geschlossene Teilmenge Y von X 'existiert eine kohärente Garbe G in C, deren Faser am generischen Punkt y von Y ein eindimensionaler Vektorraum über dem Restfeld k ( y ) ist. Dann ist jedes kohärente O X -Modul, dessen Träger in X 'enthalten ist, in C enthalten .

In dem speziellen Fall, dass X '= X ist , besagt der Satz, dass C die Kategorie der kohärenten O X -Module ist. Dies ist die Einstellung, in der der Satz am häufigsten angewendet wird, aber die obige Aussage ermöglicht es, den Satz durch noetherische Induktion zu beweisen.

Eine Variation des Theorems besteht darin, dass, wenn jeder direkte Faktor eines Objekts in C wieder in C ist , die Bedingung, dass die Faser von G bei x eindimensional ist, durch die Bedingung ersetzt werden kann, dass die Faser nicht Null ist.

Die relativen Dévissagen von Gruson und Raynaud

Angenommen, f: X → S ist ein endlich dargestellter Morphismus affiner Schemata, s ist ein Punkt von S und M ist ein endliches O X -Modul vom Typ . Wenn n eine natürliche Zahl ist, definieren Gruson und Raynaud eine S- Abweichung in der Dimension n , die besteht aus:

  1. Ein geschlossenes endlich dargestelltes Teilschema X 'von X , das das durch den Vernichter von M definierte geschlossene Teilschema enthält und so ist, dass die Dimension von X ' ∩ f −1 ( s ) kleiner oder gleich n ist .
  2. Ein Schema T und eine Faktorisierung X '→ T → S der Beschränkung von f auf X ', so dass X '→ T ein endlicher Morphismus ist und T → S ein glatter affiner Morphismus mit geometrisch integralen Fasern der Dimension n ist . Bezeichnen des generischen Punktes der T × S k ( s ) durch τ und die Pushforward von M auf T durch N .
  3. Ein freies endliches Typ O T- Modul L und ein Homomorphismus α: L → N, so dass α ⊗ k (τ) bijektiv ist.

Wenn n 1 , n 2 , ..., n r eine streng abnehmende Folge natürlicher Zahlen ist, dann wird eine S- Abweichung in den Dimensionen n 1 , n 2 , ..., n r rekursiv definiert als:

  1. Eine S- Abweichung in Dimension n 1 . Bezeichne den Kokernel von α mit P 1 .
  2. Eine S- Abweichung in den Dimensionen n 2 , ..., n r von P 1 .

Die Dévissage soll zwischen den Dimensionen n 1 und n r liegen . r heißt die Länge der Dévissage. Der letzte Schritt der Rekursion besteht aus einer Devissage in der Dimension n r, die einen Morphismus α r enthält  : L r → N r . Bezeichne den Kokernel dieses Morphismus mit P r . Die Dévissage heißt total, wenn P r Null ist.

Gruson und Raynaud beweisen allgemein, dass es vor Ort immer Dévissagen gibt. Insbesondere sei f  : ( X , x ) → ( S , s ) ein endlich dargestellter Morphismus spitzer Schemata und M ein O X -Modul endlichen Typs, dessen Faser bei x ungleich Null ist. Setze n gleich der Dimension von M ⊗ k ( s ) und r gleich der Codepth von M bei s , dh auf n - Tiefe ( M ⊗ k ( s )) . Dann existieren affine étale-Nachbarschaften X 'von x und S ' von s zusammen mit den Punkten x 'und s ', die x und s anheben , so dass die Restfelderweiterungen k ( x ) → k ( x ') und k ( s ) → k ( s ') sind trivial, die Abbildung X ' → S faktorisiert durch S ', diese Faktorisierung sendet x ' nach s 'und der Rückzug von M nach X ' lässt eine totale S '-Devissage bei x ' in Dimensionen zu zwischen n und n - r .

Verweise

Literaturverzeichnis