Diophantine Näherung - Diophantine approximation

Beste rationale Approximanten für π (grüner Kreis), e (blaue Raute), ϕ (rosa länglich), (√3)/2 (graues Sechseck), 1/√2 (rotes Achteck) und 1/√3 (oranges Dreieck) berechnet aus ihren Kettenbruchentwicklungen, aufgetragen als Steigungen y / x mit Fehlern von ihren wahren Werten (schwarze Striche)  

• v
• T
• e

In der Zahlentheorie beschäftigt sich das Studium der diophantischen Approximation mit der Approximation reeller Zahlen durch rationale Zahlen . Es ist nach Diophantus von Alexandria benannt .

Das erste Problem bestand darin, zu wissen, wie gut eine reelle Zahl durch rationale Zahlen approximiert werden kann. Für dieses Problem ist eine rationale Zahl a / b eine "gute" Näherung einer reellen Zahl α, wenn der Absolutwert der Differenz zwischen a / b und α nicht kleiner werden darf, wenn a / b durch eine andere rationale Zahl mit einem kleineren ersetzt wird Nenner. Dieses Problem wurde im 18. Jahrhundert durch gelöste Fraktionen fortgesetzt .

Wenn man die "besten" Näherungen einer gegebenen Zahl kennt, besteht das Hauptproblem des Feldes darin, scharfe obere und untere Grenzen der obigen Differenz zu finden, die als Funktion des Nenners ausgedrückt werden . Es scheint, dass diese Schranken von der Natur der zu approximierenden reellen Zahlen abhängen: Die untere Schranke für die Approximation einer rationalen Zahl durch eine andere rationale Zahl ist größer als die untere Schranke für algebraische Zahlen , die selbst größer ist als die untere Schranke für alles reelle Zahlen. Somit ist eine reelle Zahl, die besser angenähert werden kann als die Schranke für algebraische Zahlen, sicherlich eine transzendente Zahl .

Dieses Wissen ermöglichte Liouville im Jahr 1844, die erste explizite transzendente Zahl zu produzieren. Später wurden die Beweise, dass π und e transzendent sind, auf ähnliche Weise erhalten.

Diophantine Approximationen und die Theorie der transzendentalen Zahlen sind sehr enge Gebiete, die viele Theoreme und Methoden teilen. Diophantine Approximationen haben auch wichtige Anwendungen beim Studium diophantischer Gleichungen .

Beste diophantische Näherungen einer reellen Zahl

Bei einer reellen Zahl α gibt es zwei Möglichkeiten, eine beste diophantische Näherung von α zu definieren . Für die erste Definition ist die rationale Zahl p / q eine beste diophantische Näherung von α, wenn

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<\left|\alpha -{\frac {p'}{q'}}\right|,}$

für jede rationale Zahl p' / q', die sich von p / q unterscheidet, so dass 0 < q ′ ≤  q ist .

Für die zweite Definition wird die obige Ungleichung ersetzt durch

${\displaystyle \left|q\alpha -p\right|<\left|q^{\prime}\alpha -p^{\prime}\right|.}$

Eine beste Näherung für die zweite Definition ist auch eine beste Näherung für die erste Definition, aber das Gegenteil ist falsch.

Die Theorie der Kettenbrüche erlaubt es uns, die besten Näherungen einer reellen Zahl zu berechnen: Für die zweite Definition sind sie die Konvergenten ihres Ausdrucks als regulärer Kettenbruch. Für die erste Definition muss man auch die Semikonvergenten berücksichtigen .

Zum Beispiel hat die Konstante e = 2.718281828459045235... die (normale) Kettenbruchdarstellung

${\displaystyle [2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,\ldots\;].}$

Seine besten Näherungen für die zweite Definition sind

${\displaystyle 3,{\tfrac {8}{3}},{\tfrac {11}{4}},{\tfrac {19}{7}},{\tfrac {87}{32}},\ lPunkte \,,}$

während sie für die erste Definition sind

${\displaystyle 3,{\tfrac {5}{2}},{\tfrac {8}{3}},{\tfrac {11}{4}},{\tfrac {19}{7}},{ \tfrac {49}{18}},{\tfrac {68}{25}},{\tfrac {87}{32}},{\tfrac {106}{39}},\ldots \,.}$

Maß für die Genauigkeit von Näherungen

Das offensichtliche Maß für die Genauigkeit einer diophantischen Approximation einer reellen Zahl α durch eine rationale Zahl p / q ist Diese Größe kann jedoch immer beliebig klein gemacht werden, indem die Absolutwerte von p und q erhöht werden ; daher wird die Genauigkeit der Näherung normalerweise durch Vergleichen dieser Größe mit einer Funktion φ des Nenners q geschätzt , typischerweise einer negativen Potenz davon. ${\textstyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|.}$

Für einen solchen Vergleich kann man Obergrenzen oder Untergrenzen der Genauigkeit wünschen. Eine untere Schranke wird typischerweise durch einen Satz wie "für jedes Element α einer Teilmenge der reellen Zahlen und jede rationale Zahl p / q haben wir " beschrieben. In einigen Fällen kann "jede rationale Zahl" durch "alle rationalen Zahlen außer einer endlichen Anzahl von ihnen" ersetzt werden, was einer Multiplikation von φ mit einer von α abhängigen Konstanten entspricht . ${\textstyle \left|\alpha -{\frac{p}{q}}\right|>\phi(q)}$

Für obere Schranken muss berücksichtigt werden, dass nicht alle "besten" diophantischen Näherungen, die von den Konvergenten bereitgestellt werden, die gewünschte Genauigkeit aufweisen können. Daher nehmen die Theoreme die Form „für jedes Element α irgendeiner Teilmenge der reellen Zahlen, gibt es unendlich viele rationale Zahlen p / q , so dass “. ${\textstyle \left|\alpha -{\frac{p}{q}}\right|<\phi(q)}$

Schlecht approximierbare Zahlen

Eine schlecht approximierbare Zahl ist ein x, für das es eine positive Konstante c gibt, so dass für alle rationalen p / q gilt:

${\displaystyle \left|{x-{\frac {p}{q}}}\right|>{\frac {c}{q^{2}}}\ .}$

Die schlecht approximierbaren Zahlen sind genau solche mit beschränkten Partialquotienten .

Äquivalent ist eine Zahl genau dann schlecht approximierbar, wenn ihre Markov-Konstante beschränkt ist.

Untere Schranken für diophantische Näherungen

Approximation eines Rationalen durch andere Rationale

Eine rationale Zahl kann für jede positive ganze Zahl i offensichtlich und perfekt approximiert werden . ${\textstyle \alpha ={\frac {a}{b}}}$${\textstyle {\frac {p_{i}}{q_{i}}}={\frac {i\,a}{i\,b}}}$

Wenn wir haben ${\textstyle {\frac {p}{q}}\not =\alpha ={\frac {a}{b}}\,,}$

${\displaystyle \left|{\frac {a}{b}}-{\frac {p}{q}}\right|=\left|{\frac {aq-bp}{bq}}\right|\ geq {\frac {1}{bq}},}$

weil eine positive ganze Zahl und somit nicht kleiner als 1 ist. Somit ist die Genauigkeit der Näherung relativ zu irrationalen Zahlen schlecht (siehe nächste Abschnitte). ${\displaystyle |aq-bp|}$

Es sei angemerkt, dass der obige Beweis eine Variante des Schubladenprinzips verwendet : Eine nicht negative ganze Zahl, die nicht 0 ist, ist nicht kleiner als 1. Diese scheinbar triviale Bemerkung wird in fast jedem Beweis der unteren Schranken für diophantische Näherungen verwendet, sogar die anspruchsvollsten.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass eine rationale Zahl für sich selbst perfekt angenähert wird, aber von jeder anderen rationalen Zahl schlecht angenähert wird.

Approximation algebraischer Zahlen, Ergebnis von Liouville

In den 1840er Jahren erhielt Joseph Liouville die erste untere Schranke für die Approximation algebraischer Zahlen : Wenn x eine irrationale algebraische Zahl vom Grad n über den rationalen Zahlen ist, dann existiert eine Konstante c ( x ) > 0 so dass

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c(x)}{q^{n}}}}$

gilt für alle ganzen Zahlen p und q mit q > 0 .

Dieses Ergebnis ermöglichte es ihm, das erste nachgewiesene Beispiel einer transzendenten Zahl, die Liouville-Konstante, zu erzeugen

${\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty}10^{-j!}=0.1100010000000000000000001000\ldots \,,}$

die den Satz von Liouville nicht erfüllt, egal welcher Grad n gewählt wird.

Diese Verbindung zwischen diophantischen Näherungen und der transzendentalen Zahlentheorie hält bis heute an. Viele der Beweistechniken werden von den beiden Bereichen gemeinsam genutzt.

Approximation algebraischer Zahlen, Satz von Thue-Siegel-Roth

Über mehr als ein Jahrhundert hinweg gab es viele Bemühungen, den Satz von Liouville zu verbessern: Jede Verbesserung der Schranke ermöglicht es uns zu beweisen, dass mehr Zahlen transzendent sind. Die wesentlichen Verbesserungen gehen auf Axel Thue  ( 1909 ), Siegel  ( 1921 ), Freeman Dyson  ( 1947 ) und Klaus Roth  ( 1955 ) zurück, die schließlich zum Satz von Thue-Siegel-Roth führen: Wenn x eine irrationale algebraische Zahl ist und ε eine (kleine) positive reelle Zahl, dann existiert eine positive Konstante c ( x , ε ) mit

${\displaystyle \left|x-{\frac{p}{q}}\right|>{\frac {c(x,\varepsilon)}{q^{2+\varepsilon}}}}$

gilt für jede ganze Zahl p und q , so dass q > 0 .

In gewisser Weise ist dieses Ergebnis optimal, da der Satz mit ε = 0 falsch wäre . Dies ist eine unmittelbare Folge der unten beschriebenen oberen Schranken.

Simultane Approximationen algebraischer Zahlen

Anschließend verallgemeinerte Wolfgang M. Schmidt dies auf den Fall simultaner Approximationen und bewies: Wenn x ₁ , ..., x _n algebraische Zahlen sind, so dass 1, x ₁ , ..., x _n über dem rationalen . linear unabhängig sind Zahlen und ε eine beliebige positive reelle Zahl ist, dann gibt es nur endlich viele rationale n- Tupel ( p ₁ / q , ..., p _n / q ) mit

${\displaystyle \left|x_{i}-{\frac {p_{i}}{q}}\right|<q^{-(1+1/n+\varepsilon)},\quad i=1,\ ldots ,n.}$

Auch dieses Ergebnis ist insofern optimal, als ε nicht aus dem Exponenten entfernt werden darf .

Effektive Grenzen

Alle vorhergehenden unteren Schranken sind nicht effektiv , in dem Sinne, dass die Beweise keine Möglichkeit bieten, die in den Aussagen implizierte Konstante zu berechnen. Dies bedeutet, dass man die Ergebnisse oder deren Beweise nicht verwenden kann, um Grenzen für die Größe von Lösungen verwandter diophantischer Gleichungen zu erhalten. Diese Techniken und Ergebnisse können jedoch häufig verwendet werden, um die Anzahl der Lösungen solcher Gleichungen zu begrenzen.

Dennoch liefert eine Verfeinerung des Satzes von Baker von Feldman eine effektive Schranke: Wenn x eine algebraische Zahl vom Grad n über den rationalen Zahlen ist, dann existieren effektiv berechenbare Konstanten c ( x ) > 0 und 0 <  d ( x ) <  n such das

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c(x)}{|q|^{d(x)}}}}$

gilt für alle rationalen ganzen Zahlen.

Wie bei jeder effektiven Version des Satzes von Baker sind jedoch die Konstanten d und 1/ c so groß, dass dieses effektive Ergebnis in der Praxis nicht verwendet werden kann.

Obergrenzen für diophantische Näherungen

Allgemeine Obergrenze

Das erste wichtige Ergebnis über obere Schranken für diophantische Approximationen ist der Approximationssatz von Dirichlet , der impliziert, dass es für jede irrationale Zahl α unendlich viele Brüche gibt, so dass ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}\;}$

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}}\,.}$

Dies impliziert sofort, dass man das ε in der Aussage des Satzes von Thue-Siegel-Roth nicht unterdrücken kann .

Im Laufe der Jahre wurde dieser Satz bis zum folgenden Satz von Émile Borel (1903) verbessert . Für jede irrationale Zahl α gibt es unendlich viele Brüche mit ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}\;}$

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}q^{2}}}\,.}$

Daher ist eine obere Schranke für die diophantischen Näherungen einer irrationalen Zahl. Die Konstante in diesem Ergebnis kann nicht weiter verbessert werden, ohne einige irrationale Zahlen auszuschließen (siehe unten). ${\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt {5}}\,q^{2}}}}$

Äquivalente reelle Zahlen

Definition : Zwei reelle Zahlen heißen äquivalent, wenn es ganze Zahlen gibt mit so dass: ${\displaystyle x,y}$${\displaystyle a,b,c,d\;}$${\displaystyle ad-bc=\pm 1\;}$

${\displaystyle y={\frac {ax+b}{cx+d}}\,.}$

Äquivalenz wird also durch eine ganzzahlige Möbius-Transformation auf den reellen Zahlen oder durch ein Mitglied der Modular-Gruppe , der Menge der invertierbaren 2 × 2-Matrizen über den ganzen Zahlen, definiert. Jede rationale Zahl entspricht 0; somit sind die rationalen Zahlen eine Äquivalenzklasse für diese Relation. ${\displaystyle {\text{SL}}_{2}^{\pm}(\mathbb{Z})}$

Die Äquivalenz kann an der regulären Kettenbruchdarstellung abgelesen werden, wie durch den folgenden Satz von Serret gezeigt :

Satz : Zwei irrationale Zahlen x und y sind äquivalent, wenn und nur es zwei positive ganze Zahlen h und k gibt, so dass die regulären Kettenbruchdarstellungen von x und y

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=[u_{0};u_{1},u_{2},\ldots ]\,,\\y&=[v_{0};v_{1},v_{ 2},\ldots ]\,,\end{ausgerichtet}}}$

verifizieren

${\displaystyle u_{h+i}=v_{k+i}}$

für jede nicht negative ganze Zahl i .

Mit Ausnahme einer endlichen Anfangsfolge haben also äquivalente Zahlen die gleiche Kettenbruchdarstellung.

Äquivalente Zahlen sind in gleichem Maße approximierbar, in dem Sinne, dass sie die gleiche Markov-Konstante haben .

Lagrange-Spektrum

Wie oben gesagt, kann die Konstante in Borels Satz nicht verbessert werden, wie Adolf Hurwitz 1891 gezeigt hat . Sei der Goldene Schnitt . Dann gibt es für jede reelle Konstante c mit nur endlich viele rationale Zahlen p / q mit ${\displaystyle \phi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$${\displaystyle c>{\sqrt {5}}\;}$

${\displaystyle \left|\phi -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{c\,q^{2}}}.}$

Daher kann eine Verbesserung nur erreicht werden, wenn die äquivalenten Zahlen ausgeschlossen werden. Genauer gesagt: Für jede irrationale Zahl , die nicht äquivalent ist , gibt es unendlich viele Brüche mit ${\displaystyle \phi}$${\displaystyle\alpha}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}\;}$

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {8}}q^{2}}}.}$

Durch sukzessive Ausschlüsse – als nächstes muss man die Äquivalenzzahlen ausschließen – von immer mehr Äquivalenzklassen kann die untere Schranke weiter vergrößert werden. Die auf diese Weise erzeugbaren Werte sind Lagrange-Zahlen , die zum Lagrange-Spektrum gehören . Sie konvergieren gegen die Zahl 3 und beziehen sich auf die Markov-Zahlen . ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Satz von Khinchin über metrische diophantische Näherung und Erweiterungen

Sei eine positive reellwertige Funktion auf positiven ganzen Zahlen (dh eine positive Folge), die nicht ansteigend ist. Eine reelle Zahl x (nicht unbedingt algebraisch) heißt - approximierbar, wenn es unendlich viele rationale Zahlen p / q gibt, so dass ${\displaystyle \psi}$${\displaystyle q\psi (q)}$${\displaystyle \psi}$

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {\psi(q)}{|q|}}.}$

Aleksandr Khinchin bewies 1926, dass, wenn die Reihe divergiert, fast jede reelle Zahl (im Sinne des Lebesgue-Maß ) -näherungsfähig ist, und wenn die Reihe konvergiert, dann ist fast jede reelle Zahl nicht -näherungsfähig. Der Ideenkreis, der diesen Satz und seine Verwandten umgibt, ist als metrische diophantische Approximation oder metrische Theorie der diophantischen Approximation (nicht zu verwechseln mit Höhenmetriken in der diophantischen Geometrie ) oder metrische Zahlentheorie bekannt . ${\textstyle \sum_{q}\psi(q)}$${\displaystyle \psi}$${\displaystyle \psi}$

Duffin & Schaeffer (1941) bewiesen eine Verallgemeinerung von Khinchins Ergebnis und stellten die heute als Duffin-Schaeffer-Vermutung bekannte Vermutung über das Analogon von Khinchins Dichotomie für allgemeine, nicht notwendigerweise abnehmende Sequenzen . Beresnevich & Velani (2006) bewiesen, dass ein Hausdorff- Maßanalogon der Duffin-Schaeffer-Vermutung äquivalent zur ursprünglichen Duffin-Schaeffer-Vermutung ist, die a priori schwächer ist. Im Juli 2019 gaben Dimitris Koukoulopoulos und James Maynard einen Beweis für die Vermutung bekannt. ${\displaystyle \psi}$

Hausdorff-Dimension außergewöhnlicher Sets

Ein wichtiges Beispiel für eine Funktion, auf die der Satz von Khinchin angewendet werden kann, ist die Funktion , wobei c  > 1 eine reelle Zahl ist. Für diese Funktion konvergiert die relevante Reihe und so sagt uns der Satz von Khinchin, dass fast jeder Punkt nicht approximierbar ist. Somit bildet die Menge der Zahlen, die -näherungsfähig sind, eine Teilmenge der reellen Linie des Lebesgue-Maß Null. Der Satz von Jarník-Besicovitch von V. Jarník und AS Besicovitch besagt, dass die Hausdorff-Dimension dieser Menge gleich ist . Insbesondere hat die Menge der Zahlen, die für einige -approximierbar sind (bekannt als die Menge der sehr gut approximierbaren Zahlen ), die Hausdorff-Dimension eins, während die Menge der Zahlen, die für alle -approximierbar sind (bekannt als die Menge der Liouville-Zahlen ) hat Hausdorff-Dimension Null. ${\displaystyle \psi}$${\displaystyle \psi_{c}(q)=q^{-c}}$${\displaystyle \psi_{c}}$${\displaystyle \psi_{c}}$${\displaystyle 1/c}$${\displaystyle \psi_{c}}$${\displaystyle c>1}$${\displaystyle \psi_{c}}$${\displaystyle c>1}$

Ein weiteres wichtiges Beispiel ist die Funktion , wobei eine reelle Zahl ist. Für diese Funktion divergiert die relevante Reihe, und so sagt uns der Satz von Khinchin, dass fast jede Zahl -approximierbar ist. Dies ist dasselbe wie zu sagen, dass jede solche Zahl gut approximierbar ist , wobei eine Zahl als gut approximierbar bezeichnet wird, wenn sie nicht schlecht approximierbar ist. Ein geeignetes Analogon des Satzes von Jarník-Besicovitch sollte also die Hausdorff-Dimension der Menge schlecht approximierbarer Zahlen betreffen. Und tatsächlich hat V. Jarník bewiesen, dass die Hausdorff-Dimension dieser Menge gleich eins ist. Dieses Ergebnis wird durch verbesserte sich WM Schmidt , die zeigten , dass der Satz von schlecht approximierbar Zahlen ist nicht komprimierbar , was bedeutet , dass , wenn eine Folge von ist bi-Lipschitz abbildet, dann die Menge der Zahlen x , für die alle sind schlecht approximierbar Hausdorff - Dimension hat einen . Schmidt verallgemeinerte auch den Satz von Jarník auf höhere Dimensionen, eine bedeutende Leistung, da Jarníks Argumentation im Wesentlichen eindimensional ist, abhängig vom Apparat der Kettenbrüche. ${\displaystyle \psi_{\epsilon}(q)=\epsilonq^{-1}}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle \psi_{\epsilon}}$${\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots}$${\displaystyle f_{1}(x),f_{2}(x),\ldots}$

Gleichmäßige Verteilung

Ein weiteres Thema, das eine gründliche Entwicklung erfahren hat, ist die Theorie der Gleichverteilung mod 1 . Nehmen Sie eine Folge a ₁ , a ₂ , ... von reellen Zahlen und betrachten Sie ihre Bruchteile . Betrachten Sie also abstrakter die Folge in R/Z , die ein Kreis ist. Für jedes Intervall I auf dem Kreis betrachten wir den Anteil der darin liegenden Elemente der Folge bis zu einer ganzen Zahl N und vergleichen ihn mit dem Anteil des von I eingenommenen Umfangs . Gleichmäßige Verteilung bedeutet, dass im Grenzbereich mit wachsendem N der Anteil der Treffer im Intervall dem 'erwarteten' Wert zustrebt. Hermann Weyl hat ein grundlegendes Ergebnis bewiesen , das zeigt, dass dies äquivalent zu Schranken für Exponentialsummen ist, die aus der Folge gebildet werden. Dies zeigte, dass die Ergebnisse der diophantischen Approximation eng mit dem allgemeinen Problem der Aufhebung in Exponentialsummen verwandt waren, das in der gesamten analytischen Zahlentheorie bei der Begrenzung von Fehlertermen auftritt .

Mit der Gleichverteilung verbunden ist das Thema der Verteilungsunregelmäßigkeiten , das kombinatorischer Natur ist.

Ungelöste Probleme

Bei der diophantischen Approximation gibt es noch einfach formulierte ungelöste Probleme, zum Beispiel die Littlewood-Vermutung und die Lonely-Runner-Vermutung . Es ist auch unbekannt, ob es algebraische Zahlen mit unbeschränkten Koeffizienten in ihrer Kettenbruchentwicklung gibt.

Kürzliche Entwicklungen

In seiner Plenarrede auf dem Internationalen Mathematischen Kongress in Kyoto (1990) skizzierte Grigory Margulis ein breites Programm, das in der ergodischen Theorie verwurzelt ist und es erlaubt, zahlentheoretische Ergebnisse anhand der dynamischen und ergodischen Eigenschaften von Handlungen von Untergruppen von halbeinfachen Lie-Gruppen zu beweisen . Die Arbeit von D. Kleinbock, G. Margulis und ihren Mitarbeitern demonstrierte die Leistungsfähigkeit dieses neuartigen Ansatzes für klassische Probleme in diophantischer Näherung. Zu seinen bemerkenswerten Erfolgen zählen der Beweis der jahrzehntealten Oppenheim-Vermutung von Margulis, mit späteren Erweiterungen durch Dani und Margulis und Eskin-Margulis-Mozes, und der Beweis der Baker- und Sprindzhuk-Vermutungen in den diophantischen Näherungen an Mannigfaltigkeiten von Kleinbock und Margulis. In diesem Rahmen wurden auch verschiedene Verallgemeinerungen der obigen Ergebnisse von Aleksandr Khinchin in metrischer diophantischer Näherung erhalten.

Siehe auch

• Satz von Davenport-Schmidt
• Duffin-Schaeffer-Vermutung
• Heilbronn-Set
• Sequenz mit geringer Diskrepanz

Anmerkungen

Verweise

Externe Links

• Diophantine Approximation: historische Übersicht . Aus Einführung in die diophantischen Methoden Kurs von Michel Waldschmidt .
• "Diophantine Approximationen" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]