Doppelnummer - Dual number

In der Algebra sind die dualen Zahlen ein hyperkomplexes Zahlensystem, das erstmals im 19. Jahrhundert eingeführt wurde. Sie sind Ausdrücke der Form a + bε , wo ein und b sind reelle Zahlen und ε ist ein Symbol gerecht zu werden genommen . ${\displaystyle \varepsilon ^{2}=0}$

Dualzahlen können komponentenweise addiert und mit der Formel multipliziert werden

${\displaystyle (a+b\varepsilon)(c+d\varepsilon)=ac+(ad+bc)\varepsilon,}$

was aus der Eigenschaft ε ² = 0 und der Tatsache folgt , dass die Multiplikation eine bilineare Operation ist .

Die dualen Zahlen bilden eine kommutative Algebra der Dimension zwei über den reellen Zahlen und auch einen Artinschen lokalen Ring . Sie sind eines der einfachsten Beispiele für einen Ring mit nilpotenten Elementen ungleich Null .

Geschichte

Duale Zahlen wurden 1873 von William Clifford eingeführt und zu Beginn des zwanzigsten Jahrhunderts vom deutschen Mathematiker Eduard Study verwendet , der sie verwendet, um den dualen Winkel darzustellen, der die relative Position zweier schiefer Linien im Raum misst. Study definierte einen dualen Winkel als ϑ + dε , wobei ϑ der Winkel zwischen den Richtungen zweier Linien im dreidimensionalen Raum und d der Abstand zwischen ihnen ist. Die n- dimensionale Verallgemeinerung, die Grassmann-Zahl , wurde Ende des 19. Jahrhunderts von Hermann Grassmann eingeführt .

Definition in abstrakter Algebra

In der abstrakten Algebra wird die Algebra der dualen Zahlen oft als Quotient eines Polynomrings über die reellen Zahlen durch das vom Quadrat des Unbestimmten erzeugte Hauptideal definiert , d ${\displaystyle (\mathbb{R})}$

${\displaystyle\mathbb{R}[X]/\langle X^{2}\rangle.}$

Darstellung in Algebren

Die Dualzahl kann durch die Matrix dargestellt werden . Dies funktioniert, weil die Matrix zur Null- Matrix quadriert, ähnlich der Dualzahl . ${\displaystyle a+b\epsilon}$${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\0&a\end{pmatrix}}}$${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}}$${\displaystyle \epsilon}$

Es gibt andere Möglichkeiten, duale Zahlen als Matrizen darzustellen. Betrachten wir nur den Fall reeller Matrizen. Angenommen, die Dualzahl wird durch die Identitätsmatrix repräsentiert, dann kann sie durch jede beliebige Matrix der Form . repräsentiert werden ${\displaystyle 2\times 2}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \epsilon}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&-a\end{pmatrix}}}$

wo außer wann${\displaystyle a^{2}+bc=0,}$${\displaystyle a=b=c=0.}$

Unterscheidung

Eine Anwendung dualer Zahlen ist die automatische Differenzierung . Betrachten Sie die obigen reellen Dualzahlen. Bei einem gegebenen reellen Polynom P ( x ) = p ₀ + p ₁ x + p ₂ x ² + ... + p _n x ⁿ ist es einfach, den Bereich dieses Polynoms von den reellen auf die dualen Zahlen zu erweitern. Dann haben wir dieses Ergebnis:

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}P(a+b\varepsilon)={}&p_{0}+p_{1}(a+b\varepsilon)+\cdots +p_{n}(a+b\varepsilon )^{n}\\[5pt]={}&p_{0}+p_{1}a+p_{2}a^{2}+\cdots +p_{n}a^{n}+p_{1 }b\varepsilon +2p_{2}ab\varepsilon +\cdots +np_{n}a^{n-1}b\varepsilon \\[5pt]={}&P(a)+bP^{\prime}( a)\varepsilon,\end{ausgerichtet}}}$

wobei P ′ die Ableitung von P ist .

Allgemeiner können wir jede (analytische) reelle Funktion auf die dualen Zahlen erweitern, indem wir ihre Taylor-Reihe betrachten :

${\displaystyle f(a+b\varepsilon)=\sum_{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)b^{n}\varepsilon^{n} }{n!}}=f(a)+bf'(a)\varepsilon ,}$

da alle Terme der Einbeziehung von ε ² oder größer nach der Definition von ε trivialerweise 0 sind .

Indem wir die Zusammensetzungen dieser Funktionen über die dualen Zahlen berechnen und den Koeffizienten von ε im Ergebnis untersuchen, stellen wir fest, dass wir automatisch die Ableitung der Zusammensetzung berechnet haben.

Ein ähnliches Verfahren funktioniert für Polynome von n Variablen, wobei die äußere Algebra eines n- dimensionalen Vektorraums verwendet wird.

Geometrie

Der "Einheitskreis" der dualen Zahlen besteht aus solchen mit a = ±1, da diese zz * = 1 mit z * = a − bε erfüllen . Beachten Sie jedoch, dass

${\displaystyle e^{b\varepsilon}=\left(\sum_{n=0}^{\infty }{\frac {\left(b\varepsilon\right)^{n}}{n!}} \right)=1+b\varepsilon ,}$

die auf die ε- Achse angewendete exponentielle Abbildung deckt also nur den halben "Kreis" ab.

Sei z = a + bε . Wenn a ≠ 0 und m = b/ein, dann ist z = a (1 + mε ) die polare Zerlegung der Dualzahl z und die Steigung m ihr Winkelanteil. Das Konzept einer Drehung im dualen Zahlenebene entspricht eine vertikale Scherung , da (1 + pε ) (1 + qε ) = 1 + ( p + q ) ε .

In absoluten Raum und Zeit die Galileische Transformation

${\displaystyle \left(t',x'\right)=(t,x){\begin{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}\,,}$

das ist

${\displaystyle t'=t,\quad x'=vt+x,}$

bezieht das Ruhekoordinatensystem auf ein sich bewegendes Bezugssystem der Geschwindigkeit v . Mit dualen Zahlen t + xε, die Ereignisse entlang einer Raumdimension und Zeit darstellen, wird dieselbe Transformation durch Multiplikation mit 1 + vε bewirkt .

Fahrräder

Bei zwei dualen Zahlen p und q bestimmen sie die Menge von z so, dass die Steigungsdifferenz ("Galiläischer Winkel") zwischen den Geraden von z nach p und q konstant ist. Diese Menge ist ein Zyklus in der dualen Zahlenebene; da die Gleichung, die die Steigungsdifferenz der Geraden auf eine Konstante setzt, eine quadratische Gleichung im Realteil von z ist , ist ein Kreis eine Parabel . Die "zyklische Drehung" der dualen Zahlenebene erfolgt als Bewegung ihrer projektiven Linie . Nach Isaak Yaglom ist der Zyklus Z = { z  : y = αx ² } invariant unter der Zusammensetzung der Scherung

${\displaystyle x_{1}=x,\quad y_{1}=vx+y}$

mit der übersetzung

${\displaystyle x'=x_{1}={\frac {v}{2a}},\quad y'=y_{1}+{\frac {v^{2}}{4a}}.}$

Einteilung

Die Division von Dualzahlen ist definiert, wenn der Realteil des Nenners ungleich Null ist. Der Divisionsprozess ist insofern analog zur komplexen Division , als der Nenner mit seinem Konjugierten multipliziert wird, um die nicht-reellen Teile auszulöschen.

Um also eine Gleichung der Form . zu teilen

${\displaystyle {\frac {a+b\varepsilon }{c+d\varepsilon}}}$

wir multiplizieren oben und unten mit der Konjugierten des Nenners:

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}{\frac {a+b\varepsilon }{c+d\varepsilon}}&={\frac {(a+b\varepsilon)(cd\varepsilon)}{(c+ d\varepsilon )(cd\varepsilon )}}\\[5pt]&={\frac {ac-ad\varepsilon +bc\varepsilon -bd\varepsilon ^{2}}{c^{2}+cd\varepsilon -cd\varepsilon -d^{2}\varepsilon ^{2}}}\\[5pt]&={\frac {ac-ad\varepsilon +bc\varepsilon -0}{c^{2}-0} }\\[5pt]&={\frac {ac+\varepsilon (bc-ad)}{c^{2}}}\\[5pt]&={\frac {a}{c}}+{\frac {bc-ad}{c^{2}}}\varepsilon \end{aligned}}}$

was definiert ist, wenn c nicht null ist .

Wenn andererseits c null ist, während d es nicht ist, dann ist die Gleichung

${\displaystyle {a+b\varepsilon =(x+y\varepsilon)d\varepsilon}={xd\varepsilon +0}}$

1. hat keine Lösung, wenn a ungleich Null ist
2. wird ansonsten durch eine beliebige Dualzahl der Form . gelöst b/d+ ja .

Dies bedeutet, dass der nicht-reelle Teil des "Quotienten" willkürlich ist und die Division daher für rein nicht-reelle Dualzahlen nicht definiert ist. Tatsächlich sind sie (trivialerweise) Nullteiler und bilden eindeutig ein Ideal der assoziativen Algebra (und damit des Rings ) der Dualzahlen.

Anwendungen in der Mechanik

Dualzahlen finden Anwendung in der Mechanik , insbesondere für die kinematische Synthese. Die dualen Zahlen ermöglichen es beispielsweise, die Eingangs-Ausgangs-Gleichungen eines viergliedrigen Kugelgelenks, das nur Rotoidgelenke enthält, in einen viergliedrigen Raummechanismus (Rotoid, Rotoid, Rotoid, Zylinder) umzuwandeln. Die dualisierten Winkel bestehen aus einem primitiven Teil, den Winkeln, und einem dualen Teil, das Längeneinheiten hat. Siehe Schraubentheorie für mehr.

Verallgemeinerungen

Diese Konstruktion lässt sich allgemeiner ausführen: Für einen kommutativen Ring R kann man die dualen Zahlen über R als Quotienten des Polynomrings R [ X ] durch das Ideal ( X ² ) definieren : das Bild von X hat dann Quadrat gleich Null und entspricht dem Element ε von oben.

Beliebiger Modul von Elementen des Nullquadrats

Es gibt eine allgemeinere Konstruktion der dualen Zahlen. Bei einem kommutativen Ring und einem Modul gibt es einen Ring namens Ring der dualen Zahlen mit folgenden Strukturen: ${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$${\displaystyle R[M]}$

Es ist der -Modul mit der Multiplikation definiert durch für und${\displaystyle R}$${\displaystyle R\oplus M}$${\displaystyle (r,i)\cdot (r',i')=(rr',ri'+r'i)}$${\displaystyle r,r'\in R}$${\displaystyle i,i'\in I.}$

Die Algebra der dualen Zahlen ist der Spezialfall, in dem und${\displaystyle M=R}$${\displaystyle\varepsilon =(0,1).}$

Superraum

Duale Zahlen finden Anwendung in der Physik , wo sie eines der einfachsten nicht-trivialen Beispiele für einen Superraum darstellen . Äquivalent sind sie Superzahlen mit nur einem Generator; Superzahlen verallgemeinern das Konzept auf n verschiedene Generatoren ε , von denen jeder anti-kommutierend ist und n möglicherweise ins Unendliche bringt. Superspace verallgemeinert Superzahlen leicht, indem er mehrere kommutierende Dimensionen zulässt.

Die Motivation für die Einführung dualer Zahlen in die Physik folgt aus dem Pauli-Ausschlussprinzip für Fermionen. Die Richtung entlang ε wird als "fermionische" Richtung bezeichnet, und die reelle Komponente wird als "bosonische" Richtung bezeichnet. Die fermionische Richtung verdankt diesen Namen der Tatsache, dass Fermionen dem Pauli-Ausschlussprinzip gehorchen: Beim Austausch von Koordinaten ändert die quantenmechanische Wellenfunktion ihr Vorzeichen und verschwindet somit, wenn zwei Koordinaten zusammengebracht werden; diese physikalische Idee wird durch die algebraische Beziehung ε ² = 0 erfasst  .

Projektive Linie

Die Idee einer projektiven Linie über dualen Zahlen wurde von Grünwald und Corrado Segre entwickelt .

So wie die Riemannsche Kugel einen Nordpolpunkt im Unendlichen braucht , um die komplexe projektive Gerade zu verschließen , so gelingt es einer Geraden im Unendlichen , die duale Zahlenebene zu einem Zylinder zu verschließen .

Angenommen, D ist der Ring der dualen Zahlen x + yε und U ist die Teilmenge mit x ≠ 0 . Dann ist U die Einheitengruppe von D . Sei B = {( a , b ) D × D  : a U oder b ∈ U} . Ein Bezug auf B wie folgt definiert: ( eine , b ) ~ ( c , d ) wenn es eine U in U , so dass ua = c und ub = d . Diese Relation ist tatsächlich eine Äquivalenzrelation . Die Punkte der projektiven Geraden über D sind Äquivalenzklassen in B unter dieser Beziehung: P ( D ) = B /~ . Sie werden mit projektiven Koordinaten [ a , b ] dargestellt .

Betrachten Sie die Einbettung D → P ( D ) durch z → [ z , 1] . Dann liegen die Punkte [1, n ] für n ² = 0 in P ( D ) , sind aber nicht das Bild irgendeines Punktes unter der Einbettung. P ( D ) wird durch Projektion auf einen Zylinder abgebildet : Man nehme einen Zylinder tangential zur Doppelzahlebene auf der Geraden { yε  : y , } , ε ² = 0 . Nun nimmt die gegenüberliegende Linie auf dem Zylinder für die Achse eines Bleistifts von Ebenen. Die Ebenen, die die Doppelzahlebene und den Zylinder schneiden, liefern eine Übereinstimmung von Punkten zwischen diesen Oberflächen. Die Ebene parallel zur Dualzahlenebene entspricht den Punkten [1, n ] , n ² = 0 in der projektiven Geraden über Dualzahlen.

Siehe auch

• Glatte infinitesimale Analyse
• Störungstheorie
• Unendlich
• Schraubentheorie
• Dualkomplexe Zahl
• Laguerre-Transformationen
• Grassmann-Nummer

Verweise

Weiterlesen