Funktionale Differentialgleichung - Functional differential equation

Eine funktionale Differentialgleichung ist eine Differentialgleichung mit abweichender Argumentation. Das heißt, eine funktionale Differentialgleichung ist eine Gleichung, die eine Funktion und einige ihrer Ableitungen zu verschiedenen Argumentwerten enthält.

Funktionale Differentialgleichungen finden Verwendung in mathematischen Modellen, die davon ausgehen, dass ein bestimmtes Verhalten oder Phänomen sowohl vom gegenwärtigen als auch vom vergangenen Zustand eines Systems abhängt. Mit anderen Worten, vergangene Ereignisse beeinflussen explizit zukünftige Ergebnisse. Aus diesem Grund sind funktionale Differentialgleichungen besser anwendbar als gewöhnliche Differentialgleichungen (ODE) , bei denen zukünftiges Verhalten nur implizit von der Vergangenheit abhängt.

Definition

Im Gegensatz zu gewöhnlichen Differentialgleichungen, die eine Funktion einer Variablen und ihre mit derselben Eingabe bewerteten Ableitungen enthalten, enthalten funktionale Differentialgleichungen eine Funktion und ihre Ableitungen, die mit unterschiedlichen Eingabewerten bewertet werden.

Ein Beispiel für eine gewöhnliche Differentialgleichung wäre $f'(x)=2f(x)+1$
Im Vergleich dazu wäre eine funktionale Differentialgleichung $f'(x)=2f(x+3)-[f(x-1)]^{2}$

Die einfachste Art einer funktionalen Differentialgleichung, die als verzögerte funktionale Differentialgleichung oder verzögerte Differentialgleichung bezeichnet wird , hat die Form

x'(t)=f{\biggl(}t,x(t),x(tr){\biggr)}

Beispiele

Die einfachste grundlegende funktionale Differentialgleichung ist die lineare Verzögerungsdifferentialgleichung erster Ordnung, die gegeben ist durch

x'(t)=\alpha_{1}(t)x(t)+\alpha_{2}x(t-\tau)+f(t),t\geq 0

wobei sind Konstanten, eine stetige Funktion und ein Skalar. Unten ist eine Tabelle mit einem Vergleich mehrerer gewöhnlicher und funktionaler Differentialgleichungen. $\alpha_{1},\alpha_{2},\tau$ $f(t)$ $x$

	Gewöhnliche Differentialgleichung	Funktionale Differentialgleichung
Beispiele	$f'(x)=x^{2}-3$	$f'(x)=3x-f(x-4)$
	$f'(x)=f(x)-8$	$x'(t)=3x(2t)-{\biggl[}x(t-1){\biggr]}^{2}$
	$F{\biggl(}t,x(t),x'(t),x''(t){\biggr)}=0$	$2x(3t+1)-5x(4t)=1$
	$f'(x)=4f(x)-3x$

Arten von funktionalen Differentialgleichungen

"Funktionale Differentialgleichung" ist die allgemeine Bezeichnung für eine Reihe spezifischerer Arten von Differentialgleichungen, die in zahlreichen Anwendungen verwendet werden. Es gibt Verzögerungs-Differentialgleichungen, Integro-Differentialgleichungen und so weiter.

Differenzialdifferenzengleichung

Differenzialdifferenzengleichungen sind funktionale Differenzialgleichungen, bei denen die Argumentwerte diskret sind. Die allgemeine Form für funktionale Differentialgleichungen endlich vieler diskreter abweichender Argumente ist

x^{(n)}(t)=f{\Biggl(}t,x^{(n_{1})}{\biggl(}t-\tau_{1}(t){\ biggr )},x^{(n_{2})}{\biggl (}t-\tau_{2}(t){\biggr )},\ldots ,x^{(n_{k})}{ \biggl(}t-\tau_{k}(t){\biggr)}{\Biggr)}

wo und $x(t)\in\mathbb{R}^{m},\,n_{1},n_{2},\ldots ,n_{i}\geq 0,$ $\tau_{1}(t),\tau_{2}(t),\ldots ,\tau_{i}(t)\geq 0$

Differentialgleichungen werden auch als retardierte , neutrale , fortgeschrittene und gemischtfunktionale Differentialgleichungen bezeichnet. Diese Klassifizierung hängt davon ab, ob die Änderungsrate des aktuellen Zustands des Systems von vergangenen Werten, zukünftigen Werten oder beidem abhängt.

Klassifikationen von Differenzialdifferenzengleichungen
Verzögert	$x'(t)=f{\biggl(}t,x(t),x(t-\tau){\biggr)}$
Neutral	$x'(t)=f{\biggl(}t,x(t),x(t-\tau),x'(t-\tau){\biggr)}$
Fortschrittlich	$x'(t-\tau)=f{\biggl(}t,x(t),x(t-\tau){\biggr)}$

Verzögerungsdifferenzialgleichung

Funktionale Differentialgleichungen vom verzögerten Typ treten für die oben angegebene Gleichung auf. Mit anderen Worten, diese Klasse von funktionalen Differentialgleichungen hängt mit Verzögerungen von den vergangenen und gegenwärtigen Werten der Funktion ab. $\max\{n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k}\ \}<n$

Ein einfaches Beispiel für eine verzögerte funktionale Differentialgleichung ist

x'(t)=-x(t-\tau)

wohingegen eine allgemeinere Form für diskrete abweichende Argumente geschrieben werden kann als

x'(t)=f{\Biggl (}t,x{\biggl (}t-\tau _{1}(t){\biggr )},x{\biggl (}t-\tau _{2}(t){\biggr)},\ldots,x{\biggl(}t-\tau_{k}(t){\biggr)}{\Biggr)}.

Neutrale Differentialgleichungen

Funktionale Differentialgleichungen vom neutralen Typ oder neutrale Differentialgleichungen treten auf, wenn

\max\{n_{1},n_{2},\ldots,n_{k}\}=n.

Neutrale Differentialgleichungen hängen von vergangenen und gegenwärtigen Werten der Funktion ab, ähnlich wie verzögerte Differentialgleichungen, außer dass sie auch von Ableitungen mit Verzögerungen abhängen. Mit anderen Worten, verzögerte Differentialgleichungen beinhalten die Ableitung der gegebenen Funktion nicht mit Verzögerungen, während neutrale Differentialgleichungen dies tun.

Integro-Differentialgleichung

Integro-Differentialgleichungen vom Typ Volterra sind funktionale Differentialgleichungen mit stetigen Argumentwerten. Integro-Differentialgleichungen beinhalten sowohl die Integrale als auch die Ableitungen einer Funktion in Bezug auf ihr Argument.

Die kontinuierliche Integro-Differentialgleichung für retardierte funktionale Differentialgleichungen, , kann geschrieben werden als $x'(t)=f{\biggl(}t,x(t-\tau_{1}(t)),x(t-\tau_{2}(t)),\ldots , x(t-\tau_{k}(t)){\biggr)}$

x'(t)=f{\Biggl(}t,\int_{t-\tau(t)}^{t}K(t,\theta,x(\theta))\,\mathrm {d}\theta{\Biggr}},\quad\tau(t)\geq 0

Anwendung

Funktionale Differentialgleichungen wurden in Modellen verwendet, die das zukünftige Verhalten eines bestimmten Phänomens bestimmen, das von der Gegenwart und der Vergangenheit bestimmt wird. Zukünftiges Verhalten von Phänomenen, beschrieben durch die Lösungen von ODEs, setzt voraus, dass das Verhalten von der Vergangenheit unabhängig ist. Es kann jedoch viele Situationen geben, die von früherem Verhalten abhängen.

FDEs sind für Modelle in mehreren Bereichen wie Medizin, Mechanik, Biologie und Wirtschaft anwendbar. FDEs wurden in der Forschung für Wärmeübertragung, Signalverarbeitung, Evolution einer Spezies, Verkehrsfluss und Untersuchung von Epidemien verwendet.

Bevölkerungswachstum mit Zeitverzögerung

Eine logistische Gleichung für das Bevölkerungswachstum ist gegeben durch

${\textrm{d} x\over\textrm{d}t}=\rho\,x(t)\left(1-{\frac{x(t)}{k}}\right),$

wobei ρ die Reproduktionsrate und k die Tragfähigkeit ist . stellt die Populationsgröße zum Zeitpunkt t dar und ist die dichteabhängige Reproduktionsrate.

x(t)

\rho {\Biggl (}1-{\frac {x(t)}{k}}{\Biggr)}

Wenn wir dies jetzt auf eine frühere Zeit anwenden , erhalten wir

t-\tau

${\mathrm{d} x\over\mathrm{d}t}=\rho\,x(t)\left(1-{\frac {x(t-\tau)}{k}}\ rechts)$

Mischmodell

Bei Anwendung gewöhnlicher Differentialgleichungen stoßen viele auf das Mischungsmodell einer chemischen Lösung.

Angenommen, es gibt einen Behälter mit Litern Salzwasser. Salzwasser fließt mit der gleichen Geschwindigkeit von Litern pro Sekunde in den Behälter ein und aus . Mit anderen Worten, die Rate des einströmenden Wassers ist gleich der Rate der ausfließenden Salzwasserlösung. Seien Sie die Menge in Litern Salzwasser im Behälter und die gleichmäßige Konzentration in Gramm pro Liter Salzwasser zu einem Zeitpunkt . Dann haben wir die Differentialgleichung

r

V

x(t)

t

$x'(t)=-{\frac {r}{V}}x(t),{\frac {r}{V}}>0$

Das Problem bei dieser Gleichung besteht darin, dass sie davon ausgeht, dass jeder Wassertropfen, der in den Behälter gelangt, sofort in die Lösung eingemischt wird. Dies kann durch die Verwendung einer FDE anstelle einer ODE beseitigt werden.

Seien Sie die durchschnittliche Konzentration zu einem Zeitpunkt und nicht gleichförmig. Nehmen wir dann an, dass die Lösung, die den Behälter zu diesem Zeitpunkt verlässt, gleich der durchschnittlichen Konzentration zu einem früheren Zeitpunkt ist. Dann ist die Gleichung eine Verzögerungs-Differentialgleichung der Form

x(t)

t

t

x(t-\tau),\tau >0

$x'(t)=-{\frac {r}{V}}x(t-\tau)$

Das Raubtier-Beute-Modell von Volterra

Das Lotka-Volterra-Räuber-Beute-Modell wurde ursprünglich entwickelt, um die Population von Haien und Fischen in der Adria zu beobachten; dieses Modell wurde jedoch in vielen anderen Bereichen für verschiedene Zwecke verwendet, beispielsweise zur Beschreibung chemischer Reaktionen. Die Modellierung der räuberischen Beutepopulation wurde schon immer umfassend erforscht, und als Ergebnis gab es viele verschiedene Formen der ursprünglichen Gleichung.

Ein von Xu, Wu (2013) gezeigtes Beispiel des Lotka-Volterra-Modells mit Zeitverzögerung ist unten angegeben:

$p'(t)=p(t){\Biggl[}r_{1}(t)-a_{11}(t)p{\biggl(}t-\tau_{11}(t) {\biggr )}-a_{12}(t)P_{1}{\biggl(}t-\tau_{12}(t){\biggr)}-a_{13}(t)P_{2} {\biggl(}t-\tau_{13}(t){\biggr)}{\Biggr]}$

$P_{1}'(t)=P_{1}(t){\Biggl[}-r_{2}(t)+a_{21}(t)p{\biggl(}t-\tau _{21}(t){\biggr)}-a_{22}(t)P_{1}{\biggl(}t-\tau_{22}(t){\biggr)}-a_{23} (t)P_{2}{\biggl(}t-\tau_{23}(t){\biggr)}{\biggr]}$

$P_{2}'(t)=P_{2}(t){\Biggl[}-r_{2}(t)+a_{31}(t)p{\biggl(}t-\tau _{31}(t){\biggr)}-a_{32}(t)P_{1}{\biggl(}t-\tau_{32}(t){\biggr)}-a_{33} (t)P_{2}{\biggl(}t-\tau_{33}(t){\biggr)}{\biggr]}$

wobei die Dichte der Beutepopulation zum Zeitpunkt t und die Dichte der Räuberpopulation zum Zeitpunkt t bezeichnet und

p(t)

P_{1}(t)

P_{2}(t)

t,r_{i},a_{ij}\in C(\mathbb{R},[0,\infty))

\tau_{ij}\in C(\mathbb{R},\mathbb{R})

Beachten Sie, dass dieses Modell lineare partielle Differentialgleichungen verwendet .

Andere Modelle mit FDEs

Beispiele für andere Modelle, die FDEs verwendet haben, nämlich RFDEs, sind unten aufgeführt:

Kontrollierte Bewegung eines starren Körpers
Periodische Bewegungen
Flip-Flop-Schaltung als NDE
Modell der HIV-Epidemie
Mathemodelle der Zuckermenge im Blut
Evolutionsgleichungen einzelner Spezies
Ausbreitung einer Infektion zwischen zwei Arten
Klassische Elektrodynamik

Siehe auch

Verweise

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Weiterlesen

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Da Silva, Carmen, Escalante, René (2011). „Segmentierte Tau-Approximation für vorwärts-rückwärts funktionale Differentialgleichung“. Computer und Mathematik mit Anwendungen. 62 (12): 4582–4591
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[:0-1] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g Kolmanovskii, V.; Myshkis, A. (1992). Angewandte Theorie funktionaler Differentialgleichungen . Niederlande: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-2013-1.

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[7] Barnes, B.; Fulford, GR (2015). Mathematische Modellierung mit Fallstudien . Taylor & Francis Group LLC. S. 75–77. ISBN 978-1-4822-4772-5.

[:2-8] Schmitt, Klaus, Hrsg. (1972). Verzögerungs- und funktionale Differentialgleichungen und ihre Anwendungen . Vereinigte Staaten: Akademische Presse.

[9] Xu, Changjin; Wu, Yusen (2013). „Dynamik in einem Lotka-Volterra-Predator-Beute-Modell mit zeitvariablen Verzögerungen“ . Abstrakte und angewandte Analyse . 2013 : 1–9. doi : 10.1155/2013/956703 .

[10] García López, Álvaro (1. September 2020). „Über einen elektrodynamischen Ursprung von Quantenfluktuationen“. Nichtlineare Dynamik . 102 (1): 621–634. arXiv : 2001.07392 . doi : 10.1007/s11071-020-05928-5 .

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