Integro-Differentialgleichung - Integro-differential equation

Differentialgleichung
Navier-Stokes-Differentialgleichungen zur Simulation der Luftströmung um ein Hindernis
Umfang Naturwissenschaften Maschinenbau Astronomie Physik Chemie Biologie Geologie Angewandte Mathematik Kontinuumsmechanik Chaostheorie Dynamische Systeme Sozialwissenschaften Wirtschaft Populationsdynamik
Einstufung
Typen Normal Teilweise Differentialalgebraisch Integro-Differential Bruchteil Linear Nichtlinear Nach Variablentyp Abhängige und unabhängige Variablen Autonom Komplex Gekoppelt / Entkoppelt Genau Homogen  / Inhomogen Merkmale Befehl Operator Notation
Bezug zu Prozessen Differenz (diskretes Analog) Stochastisch Stochastisch partiell Verzögern
Lösung
Existenz und Einzigartigkeit Satz von Picard-Lindelöf Existenzsatz von Peano Existenzsatz von Carathéodory Cauchy-Kowalevski-Theorem
Generelle Themen Wronskian Phasenportrait Phasenraum Lyapunov  / Asymptotisch  / Exponentielle Stabilität Konvergenzrate Serie  / Integrale Lösungen Numerische Integration Dirac-Delta-Funktion
Lösungsmethoden Inspektion Methode der Merkmale Euler Exponentielle Antwortformel Endliche Differenz  ( Crank–Nicolson ) Finite Elemente Unendliches Element Endliches Volumen Galerkin Petrov–Galerkin Integrationsfaktor Integrale Transformationen Störungstheorie Runge–Kutta Trennung von Variablen Unbestimmte Koeffizienten Variation der Parameter
Menschen Isaac Newton Gottfried Leibniz Leonhard Euler mile Picard Józef Maria Hoene-Wroński Ernst Lindelöf Rudolf Lipschitz Augustin-Louis Cauchy John Kurbel Phyllis Nicolson Carl David Tolmé Runge Martin Kutta
v T e

In der Mathematik ist eine Integro-Differentialgleichung eine Gleichung , die sowohl Integrale als auch Ableitungen einer Funktion beinhaltet .

Allgemeine lineare Gleichungen erster Ordnung

Die allgemeine lineare (nur bezüglich des Termes mit Ableitung) Integro-Differentialgleichung erster Ordnung hat die Form

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}u(x)+\int _{x_{0}}^{x}f(t,u(t))\,dt=g(x,u( x)),\qquad u(x_{0})=u_{0},\qquad x_{0}\geq 0.}$

Wie es bei Differentialgleichungen typisch ist , kann es oft schwierig sein, eine geschlossene Lösung zu erhalten. In den relativ wenigen Fällen, in denen eine Lösung gefunden werden kann, ist es oft eine Art Integraltransformation, bei der das Problem zuerst in eine algebraische Umgebung transformiert wird. In solchen Situationen kann die Lösung des Problems durch Anwenden der inversen Transformation auf die Lösung dieser algebraischen Gleichung abgeleitet werden.

Beispiel

Betrachten Sie das folgende Problem zweiter Ordnung:

${\displaystyle u'(x)+2u(x)+5\int _{0}^{x}u(t)\,dt=\theta(x)\qquad {\text{with}}\qquad u (0)=0,}$

wo

${\displaystyle \theta(x)=\left\{{\begin{array}{ll}1,\qquad x\geq 0\\0,\qquad x<0\end{array}}\right.}$

ist die Heaviside-Stufenfunktion . Die Laplace-Transformation ist definiert durch

${\displaystyle U(s)={\mathcal{L}}\left\{u(x)\right\}=\int _{0}^{\infty}e^{-sx}u(x)\ ,dx.}$

Bei Term-für-Term-Laplace-Transformationen und unter Verwendung der Regeln für Ableitungen und Integrale wird die Integro-Differential-Gleichung in die folgende algebraische Gleichung umgewandelt:

${\displaystyle sU(s)-u(0)+2U(s)+{\frac {5}{s}}U(s)={\frac {1}{s}}.}$

Daher,

${\displaystyle U(s)={\frac {1}{s^{2}+2s+5}}}$.

Das Invertieren der Laplace-Transformation mit Konturintegralmethoden ergibt dann

${\displaystyle u(x)={\frac {1}{2}}e^{-x}\sin(2x)\theta (x)}$.

Alternativ kann man das Quadrat vervollständigen und eine Tabelle von Laplace-Transformationen ("exponentiell abklingende Sinuswelle") verwenden oder aus dem Gedächtnis abrufen, um fortzufahren:

${\displaystyle U(s)={\frac {1}{s^{2}+2s+5}}={\frac {1}{2}}{\frac {2}{(s+1)^ {2}+4}}\Rightarrow u(x)={\mathcal{L}}^{-1}\left\{U(s)\right\}={\frac {1}{2}}e ^{-x}\sin(2x)\theta(x)}$.

Anwendungen

Integro-Differentialgleichungen modellieren viele Situationen aus Wissenschaft und Technik , beispielsweise in der Schaltungsanalyse. Nach dem zweiten Kirchhoffschen Gesetz ist der Nettospannungsabfall über einer geschlossenen Schleife gleich der eingeprägten Spannung . (Es ist im Wesentlichen eine Anwendung der Energieerhaltung .) Eine RLC-Schaltung gehorcht daher ${\displaystyle E(t)}$

Wo ist der Strom als Funktion der Zeit, ist der Widerstand, die Induktivität und die Kapazität. ${\displaystyle I(t)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle L}$${\displaystyle C}$

Die Aktivität von interagierenden hemmenden und erregenden Neuronen kann durch ein System von Integro-Differential-Gleichungen beschrieben werden, siehe zum Beispiel das Wilson-Cowan-Modell .

Epidemiologie

Integro-Differentialgleichungen haben in der Epidemiologie , der mathematischen Modellierung von Epidemien , Anwendung gefunden , insbesondere wenn die Modelle Altersstruktur enthalten oder räumliche Epidemien beschreiben.

Siehe auch

• Verzögerungsdifferenzialgleichung
• Differentialgleichung
• Integralgleichung
• Integrodifferenzengleichung

Verweise

Weiterlesen

• Vangipuram Lakshmikantham, M. Rama Mohana Rao, „ Theory of Integro-Differential Equations “, CRC Press, 1995

Externe Links

• Interaktive Mathematik
• Numerische Lösung des Beispiels mit Chebfun