Grundlegendes Gruppenschema - Fundamental group scheme

In der Mathematik ist das grundlegende Gruppenschema ein Gruppenschema, das kanonisch an ein Schema über ein Dedekind-Schema gebunden ist (z. B. das Spektrum eines Feldes oder das Spektrum eines diskreten Bewertungsrings ). Es ist eine Verallgemeinerung der étale-Grundgruppe . Obwohl seine Existenz von Alexander Grothendieck vermutet wurde , ist der erste Bau Madhav Nori zu verdanken, der nur an Feldplänen arbeitete. Eine Verallgemeinerung von Schemata gegenüber Dedekind-Schemata ist Marco Antei, Michel Emsalem und Carlo Gasbarri zu verdanken.

Erste Definition

Sei ein perfektes Feld und ein treu flacher und korrekter Morphismus von Schemata mit einem reduzierten und verbundenen Schema. Nehmen wir die Existenz eines Abschnitts an , dann ist das grundlegende Gruppenschema von in definiert als das affine Gruppenschema, das natürlich mit der neutralen tannakischen Kategorie (über ) von im Wesentlichen endlichen Vektorbündeln über assoziiert ist . ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle X \ bis {\ text {Spec}} (k)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x: {\ text {Spec}} (k) \ to X}$${\ displaystyle \ pi _ {1} (X, x)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle X}$

Zweite Definition

Sei ein Dedekind-Schema, jedes verbundene Schema reduziert und ein getreu flacher Morphismus endlichen Typs (nicht unbedingt richtig). Nehmen Sie die Existenz eines Abschnitts an . Sobald wir , dass die beweisen Kategorie von Isomorphieklassen torsors über (spitz über ) unter der Wirkung der endlichen und flach - Gruppenschemata ist cofiltered dann definieren wir die universelle torsor (zeigte über ) als projektive Grenze aller torsors dieser Kategorie. Das darauf einwirkende Gruppenschema wird als grundlegendes Gruppenschema bezeichnet und mit bezeichnet (wenn das Spektrum eines perfekten Feldes ist, stimmen die beiden Definitionen überein, so dass keine Verwirrung entstehen kann). Die Definition wurde weiter auf einige nicht reduzierte Systeme verallgemeinert. ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X \ to S}$${\ displaystyle x: S \ to X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ pi _ {1} (X, x)}$${\ displaystyle S}$

Siehe auch

• Étale Grundgruppe
• Grundgruppe

Anmerkungen