G ₂ Verteiler - G₂ manifold

In der Differentialgeometrie ist ein G ₂ -Verteiler ein siebendimensionaler Riemannscher Verteiler mit einer in G ₂ enthaltenen Holonomiegruppe . Die Gruppe ist eine der fünf außergewöhnlich einfachen Lie-Gruppen . Es kann als Automorphismusgruppe der Oktonionen oder äquivalent als geeignete Untergruppe der speziellen orthogonalen Gruppe SO (7) beschrieben werden, die einen Spinor in der achtdimensionalen Spinordarstellung bewahrt, oder schließlich als Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe GL ( 7) die die nicht entartete 3-Form , die assoziative Form, bewahrt . Die Hodge dual , ist dann eine parallele 4-Form, die coassociative Form. Diese Formen sind Kalibrierungen im Sinne von Reese Harvey und H. Blaine Lawson und definieren daher spezielle Klassen von 3- und 4-dimensionalen Untervielfalt. ${\ displaystyle G_ {2}}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ psi = * \ phi}$

Eigenschaften

Alle Verteiler sind 7-dimensionale, Ricci-flache , orientierbare Drehverteiler . Darüber hinaus hat jede kompakte Mannigfaltigkeit mit einer Holonomie gleich eine endliche Grundgruppe , eine erste Pontryagin-Klasse ungleich Null und eine dritte und vierte Betti-Zahl ungleich Null . ${\ displaystyle G_ {2}}$ ${\ displaystyle G_ {2}}$

Geschichte

Die Tatsache, dass es sich möglicherweise um die Holonomiegruppe bestimmter Riemannscher 7-Mannigfaltigkeiten handelt, wurde erstmals durch den Klassifikationssatz von Marcel Berger aus dem Jahr 1955 nahegelegt , und dies blieb im Einklang mit dem vereinfachten Beweis, den Jim Simons 1962 später erbrachte Da eine Mannigfaltigkeit noch entdeckt worden war, leistete Edmond Bonan dennoch einen nützlichen Beitrag, indem er zeigte, dass eine solche Mannigfaltigkeit, wenn sie tatsächlich existieren würde, sowohl eine parallele 3-Form als auch eine parallele 4-Form tragen würde und dass es notwendigerweise Ricci sein würde -eben. ${\ displaystyle G_ {2}}$

Die ersten lokalen Beispiele für 7-Mannigfaltigkeiten mit Holonomie wurden schließlich um 1984 von Robert Bryant konstruiert , und sein vollständiger Beweis ihrer Existenz erschien 1987 in den Annalen. Als nächstes wurden vollständige (aber immer noch nicht kompakte) 7-Mannigfaltigkeiten mit Holonomie von Bryant konstruiert und Simon Salamon im Jahr 1989. Die ersten kompakten 7-Mannigfaltigkeiten mit Holonomie wurden 1994 von Dominic Joyce konstruiert . Kompakte Mannigfaltigkeiten werden daher manchmal als "Joyce-Mannigfaltigkeiten" bezeichnet, insbesondere in der Physikliteratur. Im Jahr 2013 wurde von M. Firat Arikan, Hyunjoo Cho und Sema Salur gezeigt, dass jede Mannigfaltigkeit mit einer Spinstruktur und damit einer Struktur eine kompatible fast kontaktmetrische Struktur zulässt und eine explizit kompatible fast kontaktstruktur konstruiert für Verteiler mit Struktur. In derselben Arbeit wurde gezeigt, dass bestimmte Klassen von Mannigfaltigkeiten eine Kontaktstruktur zulassen. ${\ displaystyle G_ {2}}$${\ displaystyle G_ {2}}$${\ displaystyle G_ {2}}$${\ displaystyle G_ {2}}$${\ displaystyle G_ {2}}$${\ displaystyle G_ {2}}$${\ displaystyle G_ {2}}$

Im Jahr 2015 kombinierte eine neue Konstruktion kompakter Verteiler aufgrund von Alessio Corti , Mark Haskins, Johannes Nordstrőm und Tommaso Pacini eine von Simon Donaldson vorgeschlagene Klebeidee mit neuen algebrogeometrischen und analytischen Techniken zur Konstruktion von Calabi-Yau-Verteilern mit zylindrischen Enden , was zu Zehntausenden von Diffeomorphismus-Typen neuer Beispiele führt. ${\ displaystyle G_ {2}}$

Verbindungen zur Physik

Diese Mannigfaltigkeiten sind in der Stringtheorie wichtig . Sie brechen die ursprüngliche Supersymmetrie auf 1/8 der ursprünglichen Menge. Zum Beispiel führt die auf einer Mannigfaltigkeit verdichtete M-Theorie zu einer realistischen vierdimensionalen (11-7 = 4) Theorie mit N = 1 Supersymmetrie. Die resultierende energiearme effektive Supergravitation enthält ein einzelnes Supergravitations- Supermultiplett , eine Anzahl von chiralen Supermultiplets , die der dritten Betti-Zahl der Mannigfaltigkeit entsprechen, und eine Anzahl von U (1) -Vektor-Supermultiplets , die der zweiten Betti-Zahl entsprechen. Kürzlich wurde gezeigt, dass fast Kontaktstrukturen (konstruiert von Sema Salur et al.) Eine wichtige Rolle in der Geometrie spielen ". ${\ displaystyle G_ {2}}$${\ displaystyle G_ {2}}$${\ displaystyle G_ {2}}$

Siehe auch

• Spin (7) -Verteiler
• Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit

Verweise

Weiterführende Literatur

• Becker, Katrin; Becker, Melanie; Schwarz, John H. (2007), "Manifolds with G ₂ and Spin (7) holonomy", Stringtheorie und M-Theorie: Eine moderne Einführung , Cambridge University Press, S. 433–455, ISBN   978-0-521-86069-7 .
• Fernandez, M.; Gray, A. (1982), "Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit Strukturgruppe G ₂ ", Ann. Matte. Pura Appl. , 32 : 19–845, doi : 10.1007 / BF01760975 .
• Karigiannis, Spiro (2011), "Was ist ... ein G ₂ -Manifold?" (PDF) , AMS Notices , 58 (04): 580–581 .