Geodätische Konvexität - Geodesic convexity

In der Mathematik - insbesondere in der Riemannschen Geometrie - ist die geodätische Konvexität eine natürliche Verallgemeinerung der Konvexität für Mengen und Funktionen auf Riemannsche Mannigfaltigkeiten . Es ist üblich, das Präfix "geodätisch" zu löschen und sich einfach auf "Konvexität" einer Menge oder Funktion zu beziehen.

Definitionen

Sei ( M ,  g ) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit.

• Eine Teilmenge C von M soll eine sein geodätisch konvexe Menge , wenn zwei beliebige Punkte in gegebenen C , gibt es eine einzigartige Minimierungs geodätischen darin enthaltenen C , die diese zwei Punkte verbindet.
• Lassen Sie C eine geodätisch konvexe Teilmenge von seinem M . Eine Funktion wird als ( streng ) geodätisch konvexe Funktion bezeichnet, wenn die Zusammensetzung${\ displaystyle f: C \ to \ mathbf {R}}$

${\ displaystyle f \ circ \ gamma: [0, T] \ to \ mathbf {R}}$

ist eine Lichtbogen geodätischen (streng) konvexe Funktion im üblichen Sinne für jede Einheit Geschwindigkeit γ  : [0,  T ] →  M innerhalb enthaltene C .

Eigenschaften

• Eine geodätisch konvexe (Teilmenge einer) Riemannschen Mannigfaltigkeit ist auch ein konvexer metrischer Raum in Bezug auf die geodätische Entfernung.

Beispiele

• Eine Untergruppe von n - dimensionalen euklidischen Raum E ⁿ mit seinen üblichen flachen Metrik wird geodätisch konvex , wenn und nur wenn sie konvex im üblichen Sinne ist, und in ähnlicher Weise für Funktionen.
• Die "nördliche Hemisphäre" der zweidimensionalen Kugel S ² mit ihrer üblichen Metrik ist geodätisch konvex. Allerdings ist die Teilmenge A von S ² , bestehend aus den Punkten , mit Breitengrad ist weiter nördlich als 45 ° nach Süden nicht geodätisch konvex, da die Minimierung der geodätischen ( Großkreis ) arc zwei verschiedene Punkte auf der südlichen Grenze des Verbindens A verlässt A (zB in der Bei zwei Längenpunkten mit einem Längengrad von 180 ° verläuft der geodätische Bogen über den Südpol.

Verweise

• Rapcsák, Tamás (1997). Reibungslose nichtlineare Optimierung in R ⁿ . Nicht konvexe Optimierung und ihre Anwendungen. 19 . Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-4680-7. MR  1480415 .

• Udriste, Constantin (1994). Konvexe Funktionen und Optimierungsmethoden an Riemannschen Mannigfaltigkeiten . Mathematik und ihre Anwendungen. 297 . Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-3002-1.