Hamiltonsche Feldtheorie - Hamiltonian field theory

In der theoretischen Physik ist die Hamiltonsche Feldtheorie das feldtheoretische Analogon zur klassischen Hamiltonschen Mechanik . Es ist ein Formalismus in der klassischen Feldtheorie neben der Lagrange-Feldtheorie . Es hat auch Anwendungen in der Quantenfeldtheorie .

Definition

Der Hamilton-Operator für ein System diskreter Teilchen ist eine Funktion ihrer verallgemeinerten Koordinaten und konjugierten Impulse und möglicherweise der Zeit. Für Kontinua und Felder ist die Hamilton-Mechanik ungeeignet, kann jedoch erweitert werden, indem eine große Anzahl von Punktmassen berücksichtigt und die kontinuierliche Grenze genommen wird, dh unendlich viele Teilchen, die ein Kontinuum oder Feld bilden. Da jede Punktmasse einen oder mehrere Freiheitsgrade hat , hat die Feldformulierung unendlich viele Freiheitsgrade.

Ein Skalarfeld

Die Hamilton-Dichte ist das kontinuierliche Analogon für Felder; es ist eine Funktion der Felder, der konjugierten "Impuls" -Felder und möglicherweise der Raum- und Zeitkoordinaten selbst. Für ein Skalarfeld $φ (x, t)$ wird die Hamiltonsche Dichte aus der Lagrange-Dichte durch definiert

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} (\ phi, \ pi, \ mathbf {x}, t) = {\ dot {\ phi}} \ pi - {\ mathcal {L}} (\ phi, \ nabla \ phi, \ partiell \ phi / \ partiell t, \ mathbf {x}, t) \ ,.}

mit $\nabla$ dem Operator "del" oder "nabla" ist $x$ der Positionsvektor eines Punktes im Raum und $t$ die Zeit . Die Lagrange-Dichte ist eine Funktion der Felder im System, ihrer Raum- und Zeitableitungen und möglicherweise der Raum- und Zeitkoordinaten selbst. Es ist das Feld analog zur Lagrange-Funktion für ein System diskreter Teilchen, das durch verallgemeinerte Koordinaten beschrieben wird.

Wie in der Hamiltonschen Mechanik, wo jede verallgemeinerte Koordinate einen entsprechenden verallgemeinerten Impuls hat, hat das Feld $φ (x, t)$ ein konjugiertes Impulsfeld $π (x, t)$ , definiert als die partielle Ableitung der Lagrange-Dichte in Bezug auf die zeitliche Ableitung von das Feld,

{\ displaystyle \ pi = {\ frac {\ partiell {\ mathcal {L}}} {\ partiell {\ dot {\ phi}}} \ ,, \ quad {\ dot {\ phi}} \ equiv {\ frac {\ partielle \ phi} {\ partielle t}} \ ,,}

bezeichnet , in dem die overdot eine Teilzeitableitung $\partial / \partial$ $t$ , nicht eine Gesamtzeitableitung $d$ $/$ $dt$ .

Viele Skalarfelder

Für viele Felder $φ i (x, t)$ und ihre Konjugate $π i (x, t) ist$ die Hamiltonsche Dichte eine Funktion von allen:

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} (\ phi _ {1}, \ phi _ {2}, \ ldots, \ pi _ {1}, \ pi _ {2}, \ ldots, \ mathbf {x} , t) = \ sum _ {i} {\ dot {\ phi _ {i}}} \ pi _ {i} - {\ mathcal {L}} (\ phi _ {1}, \ phi _ {2} , \ ldots \ nabla \ phi _ {1}, \ nabla \ phi _ {2}, \ ldots, \ partielle \ phi _ {1} / \ partielle t, \ partielle \ phi _ {2} / \ partielle t, \ ldots, \ mathbf {x}, t) \,.}

wobei jedes konjugierte Feld in Bezug auf sein Feld definiert ist,

{\ displaystyle \ pi _ {i} (\ mathbf {x}, t) = {\ frac {\ partielle {\ mathcal {L}}} {\ partielle {\ dot {\ phi}} _ {i}}} \,.}

Im Allgemeinen ergibt das Volumenintegral der Hamilton-Dichte für eine beliebige Anzahl von Feldern den Hamilton-Operator in drei räumlichen Dimensionen:

{\ displaystyle H = \ int {\ mathcal {H}} \ d ^ {3} x \,.}

Die Hamilton-Dichte ist die Hamilton-Dichte pro räumlichem Volumeneinheit. Die entsprechende Abmessung ist [Energie] [Länge] ⁻³ in SI-Einheiten Joule pro Kubikmeter, J m ⁻³ .

Tensor- und Spinorfelder

Die obigen Gleichungen und Definitionen können auf Vektorfelder und allgemeiner auf Tensorfelder und Spinorfelder erweitert werden . In der Physik beschreiben Tensorfelder Bosonen und Spinorfelder Fermionen .

Bewegungsgleichungen

Die Bewegungsgleichungen für die Felder ähneln den Hamiltonschen Gleichungen für diskrete Teilchen. Für eine beliebige Anzahl von Feldern:

Hamiltonsche Feldgleichungen

${\ displaystyle {\ dot {\ phi}} _ {i} = + {\ frac {\ delta {\ mathcal {H}}} {\ delta \ pi _ {i}}} \ ,, \ quad {\ dot {\ pi}} _ {i} = - {\ frac {\ delta {\ mathcal {H}}} {\ delta \ phi _ {i}}} \ ,,}$

wobei wiederum die Überpunkte Teilzeitableitungen sind, die Variationsableitung in Bezug auf die Felder

{\ displaystyle {\ frac {\ delta} {\ delta \ phi _ {i}}} = {\ frac {\ partiell} {\ partiell \ phi _ {i}}} - \ nabla \ cdot {\ frac {\ partiell} {\ partiell (\ nabla \ phi _ {i})}} - {\ frac {\ partiell} {\ partiell t}} {\ frac {\ partiell} {\ partiell (\ partiell \ phi _ {i} / \ partielle t)}} \ ,,}

mit · dem Punktprodukt muss anstelle von einfach partiellen Ableitungen verwendet werden . In der Tensorindexnotation (einschließlich der Summationskonvention ) ist dies

{\ displaystyle {\ frac {\ delta} {\ delta \ phi _ {i}}} = {\ frac {\ partiell} {\ partiell \ phi _ {i}}} - \ partiell _ {\ mu} {\ frac {\ partiell} {\ partiell (\ partiell _ {\ mu} \ phi _ {i})}}}

wobei $\partial μ$ der vier Gradient ist .

Phasenraum

Die Felder $φ i$ und Konjugate $π i$ bilden einen unendlich dimensionalen Phasenraum , weil Felder eine unendliche Anzahl von Freiheitsgraden haben.

Poisson-Halterung

Für zwei Funktionen, die von den Feldern $φ i$ und $π i$ , ihren räumlichen Ableitungen und den Raum- und Zeitkoordinaten abhängen ,

{\ displaystyle A = \ int d ^ {3} x {\ mathcal {A}} \ left (\ phi _ {1}, \ phi _ {2}, \ ldots, \ pi _ {1}, \ pi _ {2}, \ ldots, \ nabla \ phi _ {1}, \ nabla \ phi _ {2}, \ ldots, \ nabla \ pi _ {1}, \ nabla \ pi _ {2}, \ ldots, \ mathbf {x}, t \ right) \ ,,}

{\ displaystyle B = \ int d ^ {3} x {\ mathcal {B}} \ left (\ phi _ {1}, \ phi _ {2}, \ ldots, \ pi _ {1}, \ pi _ {2}, \ ldots, \ nabla \ phi _ {1}, \ nabla \ phi _ {2}, \ ldots, \ nabla \ pi _ {1}, \ nabla \ pi _ {2}, \ ldots, \ mathbf {x}, t \ right) \ ,,}

und die Felder sind an der Grenze des Volumens, in dem die Integrale übernommen werden, Null, die feldtheoretische Poisson-Klammer ist definiert als (nicht zu verwechseln mit dem Kommutator aus der Quantenmechanik).

{\ displaystyle [A, B] _ {\ phi, \ pi} = \ int d ^ {3} x \ sum _ {i} \ left ({\ frac {\ delta {\ mathcal {A}}} {\ Delta \ phi _ {i}}} {\ frac {\ delta {\ mathcal {B}}} {\ delta \ pi _ {i}}} - {\ frac {\ delta {\ mathcal {B}}} { \ delta \ phi _ {i}}} {\ frac {\ delta {\ mathcal {A}}} {\ delta \ pi _ {i}}} \ right) \ ,,}

wo ist die Variationsableitung ${\ displaystyle \ delta {\ mathcal {F}} / \ delta f}$

{\ displaystyle {\ frac {\ delta {\ mathcal {F}}} {\ delta f}} = {\ frac {\ partielle {\ mathcal {F}}} {\ partielle f}} - \ sum _ {i } \ nabla _ {i} {\ frac {\ teilweise {\ mathcal {F}}} {\ teilweise (\ nabla _ {i} f)}} \ ,.}

Unter den gleichen Bedingungen des Verschwindens von Feldern auf der Oberfläche gilt das folgende Ergebnis für die zeitliche Entwicklung von $A$ (ähnlich für $B$ ):

{\ displaystyle {\ frac {dA} {dt}} = [A, H] + {\ frac {\ partielle A} {\ partielle t}}}

Dies kann aus der Gesamtzeitableitung von $A$ , der Integration nach Teilen und unter Verwendung der obigen Poisson-Klammer ermittelt werden.

Explizite Zeitunabhängigkeit

Die folgenden Ergebnisse sind zutreffend, wenn die Lagrange- und Hamilton-Dichte explizit zeitunabhängig sind (sie können immer noch eine implizite Zeitabhängigkeit über die Felder und ihre Ableitungen aufweisen).

Kinetische und potentielle Energiedichten

Die Hamiltonsche Dichte ist die Gesamtenergiedichte, die Summe der kinetischen Energiedichte ( ) und der potentiellen Energiedichte ( ), ${\ displaystyle {\ mathcal {T}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {V}}}$

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} = {\ mathcal {T}} + {\ mathcal {V}} \ ,.}

Kontinuitätsgleichung

Unter Verwendung der Teilzeitableitung der obigen Definition der Hamiltonschen Dichte und Verwendung der Kettenregel zur impliziten Differenzierung und der Definition des konjugierten Impulsfeldes ergibt sich die Kontinuitätsgleichung :

{\ displaystyle {\ frac {\ partielle {\ mathcal {H}}} {\ partielle t}} + \ nabla \ cdot \ mathbf {S} = 0}

in dem die Hamiltonsche Dichte als Energiedichte interpretiert werden kann, und

{\ displaystyle \ mathbf {S} = {\ frac {\ partiell {\ mathcal {L}}} {\ partiell (\ nabla \ phi)}} {\ frac {\ partiell \ phi} {\ partiell t}}}

der Energiefluss oder Energiefluss pro Zeiteinheit pro Oberflächeneinheit.

Relativistische Feldtheorie

Die kovariante Hamiltonsche Feldtheorie ist die relativistische Formulierung der Hamiltonschen Feldtheorie.

Hamiltonsche Feldtheorie bedeutet normalerweise den symplektischen Hamiltonschen Formalismus, wenn er auf die klassische Feldtheorie angewendet wird, der die Form des augenblicklichen Hamiltonschen Formalismus in einem unendlichdimensionalen Phasenraum annimmt und in dem kanonische Koordinaten zu einem bestimmten Zeitpunkt Feldfunktionen sind. Dieser Hamilton - Operator - Formalismus wird angewandt Quantisierung von Feldern , beispielsweise in der Quanteneichtheorie . In der kovarianten Hamiltonschen Feldtheorie entspricht der kanonische Impuls p ^μ_i Ableitungen von Feldern in Bezug auf alle Weltkoordinaten x ^μ . Kovariante Hamilton-Gleichungen entsprechen den Euler-Lagrange-Gleichungen bei hyperregelmäßigen Lagrange -Gleichungen . Die kovariante Hamiltonsche Feldtheorie wird in den Varianten Hamilton-De-Donder, Polysymplektik, Multisymplektik und K- Symplektik entwickelt. Ein Phasenraum der kovarianten Hamiltonschen Feldtheorie ist eine endlich dimensionale polysymplektische oder multisymplektische Mannigfaltigkeit.

Die nichtautonome Hamilton-Mechanik wird als kovariante Hamilton-Feldtheorie für Faserbündel über der Zeitachse, dh der realen Linie, formuliert.

Siehe auch

Anmerkungen

Zitate

Verweise

Badin, G.; Crisciani, F. (2018). Variationsformulierung der fluiden und geophysikalischen Fluiddynamik - Mechanik, Symmetrien und Erhaltungssätze - . Springer. p. 218. doi : 10.1007 / 978-3-319-59695-2 . ISBN 978-3-319-59694-5.
Goldstein, Herbert (1980). "Kapitel 12: Kontinuierliche Systeme und Felder". Klassische Mechanik (2. Aufl.). San Francisco, Kalifornien: Addison Wesley. S. 562–565. ISBN 0201029189.
Greiner, W . ; Reinhardt, J. (1996), Field Quantization , Springer, ISBN 3-540-59179-6
Fetter, AL; Walecka, JD (1980). Theoretische Mechanik von Teilchen und Kontinua . Dover. S. 258–259. ISBN 978-0-486-43261-8.

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