Symplektische Mannigfaltigkeit - Symplectic manifold
In der Differentialgeometrie , ein Gegenstand der Mathematik , ein symplektischer Verteiler a glatte Mannigfaltigkeit , ausgestattet mit einer geschlossenen nicht - entarteten differentiellen 2-Form , die so genannten symplektischer Form . Das Studium symplektischer Mannigfaltigkeiten wird symplektische Geometrie oder symplektische Topologie genannt . Symplektische Mannigfaltigkeiten entstehen natürlicherweise in abstrakten Formulierungen der klassischen Mechanik und der analytischen Mechanik als kotangentiale Bündel von Mannigfaltigkeiten. Zum Beispiel in der Hamilton-Formel der klassischen Mechanik, die eine der Hauptmotivationen für das Gebiet liefert, wird die Menge aller möglichen Konfigurationen eines Systems als Mannigfaltigkeit modelliert, und das Kotangensbündel dieser Mannigfaltigkeit beschreibt den Phasenraum des Systems.
Motivation
Symplektische Mannigfaltigkeiten entstehen aus der klassischen Mechanik ; insbesondere sind sie eine Verallgemeinerung des Phasenraums eines geschlossenen Systems. So wie die Hamilton-Gleichungen es erlauben, die zeitliche Entwicklung eines Systems aus einem Satz von Differentialgleichungen abzuleiten , sollte die symplektische Form es erlauben, ein Vektorfeld zu erhalten , das den Fluss des Systems aus dem Differential dH einer Hamilton-Funktion H . beschreibt . Wir benötigen also eine lineare Abbildung TM → T ∗ M von der tangentialen Mannigfaltigkeit TM zur kotangenten Mannigfaltigkeit T ∗ M oder äquivalent ein Element von T ∗ M ⊗ T ∗ M . Vermietung ω einen bezeichnen Abschnitt von T * M ⊗ T * M , die Anforderung , dass & ohgr seine nicht-degenerierte , sicherstellt , dass für jede Differenz dH ein einzigartiges entsprechendes Vektorfeld V H , so daß dH = ω ( V H , ·) . Da man den Hamilton - Operator als konstant entlang der Strömungslinien wünscht, sollte man haben dH ( V H ) = ω ( V H , V H ) = 0 , was bedeutet , dass ω ist abwechselnd und damit eine 2-Form. Schließlich stellt man die Forderung, dass sich ω unter Stromlinien nicht ändert, dh dass die Lie-Ableitung von ω entlang V H verschwindet. Bei Anwendung der Cartanschen Formel ergibt sich daraus (hier das Innenprodukt ):
Wenn wir dieses Argument für verschiedene glatte Funktionen wiederholen, so dass die entsprechenden den Tangentenraum an jedem Punkt, an dem das Argument angewendet wird, aufspannen, sehen wir, dass die Anforderung für die verschwindende Lie-Ableitung entlang von Flüssen von entsprechend beliebig glatt ist äquivalent zu der Anforderung dass ω sollte geschlossen .
Definition
Eine symplektische Form auf einer glatten Mannigfaltigkeit ist eine geschlossene nicht entartete Differential- 2-Form . Nicht entartet bedeutet hier, dass für jeden Punkt die schiefsymmetrische Paarung auf dem durch definierte Tangentenraum nicht entartet ist. Das heißt, wenn es ein solches für alle gibt , dann . Da schiefsymmetrische Matrizen in ungeraden Dimensionen immer singulär sind, impliziert die Forderung, nicht entartet zu sein, eine gerade Dimension. Die geschlossene Bedingung bedeutet, dass die äußere Ableitung von verschwindet. Eine symplektische Mannigfaltigkeit ist ein Paar, wobei eine glatte Mannigfaltigkeit und eine symplektische Form ist. Die Zuweisung einer symplektischen Form an wird als Angabe einer symplektischen Struktur bezeichnet .
Beispiele
Symplektische Vektorräume
Sei eine Basis für Wir definieren unsere symplektische Form ω auf dieser Basis wie folgt:
In diesem Fall reduziert sich die symplektische Form auf eine einfache quadratische Form . Wenn I n die n × n- Identitätsmatrix bezeichnet, dann ist die Matrix Ω dieser quadratischen Form durch die 2 n × 2 n- Blockmatrix gegeben :
Cotangens-Bündel
Sei eine glatte Mannigfaltigkeit der Dimension . Dann hat der Gesamtraum des Kotangensbündels eine natürliche symplektische Form, die Poincaré-Zweiform oder die kanonische symplektische Form genannt wird
Hier sind alle lokalen Koordinaten auf und sind faserweise Koordinaten in Bezug auf die Kotangensvektoren . Kotangensbündel sind die natürlichen Phasenräume der klassischen Mechanik. Die Unterscheidung zwischen oberen und unteren Indizes wird durch den Fall bestimmt, dass die Mannigfaltigkeit einen metrischen Tensor hat , wie dies bei den Riemannschen Mannigfaltigkeiten der Fall ist . Obere und untere Indizes transformieren kontra und kovariant bei einer Änderung der Koordinatensysteme. Der Ausdruck "faserweise Koordinaten in Bezug auf die Kotangensvektoren" soll vermitteln, dass die Impulse an die Geschwindigkeiten " gelötet " sind . Das Löten ist Ausdruck der Idee, dass Geschwindigkeit und Impuls kolinear sind, indem sich beide in die gleiche Richtung bewegen und sich um einen Skalierungsfaktor unterscheiden.
Kähler Verteiler
Eine Kähler-Mannigfaltigkeit ist eine symplektische Mannigfaltigkeit, die mit einer kompatiblen integrierbaren komplexen Struktur ausgestattet ist. Sie bilden eine besondere Klasse komplexer Mannigfaltigkeiten . Eine große Klasse von Beispielen stammt aus der komplexen algebraischen Geometrie . Jede glatte komplexe projektive Varietät hat eine symplektische Form, die die Beschränkung der Fubini-Studienform auf den projektiven Raum darstellt .
Fast komplexe Verteiler
Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit einer -kompatiblen fast komplexen Struktur werden als fast-komplexe Mannigfaltigkeiten bezeichnet . Sie verallgemeinern Kählermannigfaltigkeiten, da sie nicht integrierbar sein müssen . Das heißt, sie entstehen nicht notwendigerweise aus einer komplexen Struktur auf der Mannigfaltigkeit.
Lagrangesche und andere Untermannigfaltigkeiten
Es gibt mehrere natürliche geometrische Begriffe der Untermannigfaltigkeit einer symplektischen Mannigfaltigkeit :
- Symplektische Untermannigfaltigkeiten von (möglicherweise von jeder geraden Dimension) sind Untermannigfaltigkeiten , die eine symplektische Form auf sind .
- Isotrope Untermannigfaltigkeiten sind Untermannigfaltigkeiten, bei denen die symplektische Form auf Null beschränkt ist, dh jeder Tangentialraum ist ein isotroper Unterraum des Tangentialraums der umgebenden Mannigfaltigkeit. Wenn jeder tangentiale Unterraum an eine Untermannigfaltigkeit co-isotrop ist (das Dual eines isotropen Unterraums), wird die Untermannigfaltigkeit als co-isotrop bezeichnet .
- Lagrangesche Untermannigfaltigkeiten einer symplektischen Mannigfaltigkeit sind Untermannigfaltigkeiten, bei denen die Beschränkung der symplektischen Form auf verschwindet, dh und . Lagrangesche Untermannigfaltigkeiten sind die maximal isotropen Untermannigfaltigkeiten. In der Physik werden Lagrangesche Untermannigfaltigkeiten häufig als Branes bezeichnet .
Der wichtigste Fall der isotropen Untermannigfaltigkeiten ist der der Lagrangeschen Untermannigfaltigkeiten . Eine Lagrangesche Untermannigfaltigkeit ist per Definition eine isotrope Untermannigfaltigkeit maximaler Dimension, nämlich der halben Dimension der umgebenden symplektischen Mannigfaltigkeit. Ein wichtiges Beispiel ist, dass der Graph eines Symlektomorphismus in der symplektischen Produktmannigfaltigkeit ( M × M , ω × − ω ) Lagrangesch ist. Ihre Schnittpunkte zeigen Steifigkeitseigenschaften, die glatte Mannigfaltigkeiten nicht besitzen; die Arnold-Vermutung gibt die Summe der Betti-Zahlen der Untermannigfaltigkeit als eine untere Schranke für die Anzahl der Selbstschnittpunkte einer glatten Lagrangeschen Untermannigfaltigkeit an und nicht die Euler-Charakteristik im glatten Fall.
Beispiele
Lassen Sie globale Koordinaten mit der Bezeichnung Dann haben, wir können uns mit der kanonischen symplektischen Form ausrüsten
Es gibt eine Standard-Lagrange-Untermannigfaltigkeit, die durch gegeben ist . Die Form verschwindet weiter, weil wir ein beliebiges Paar von Tangentenvektoren haben. Zur Erläuterung betrachten wir den Fall . Dann, und beachten Sie, dass, wenn wir dies erweitern
beide Terme haben wir per Definition einen Faktor, der 0 ist.
Beispiel: Cotangentenbündel
Das Kotangensbündel einer Mannigfaltigkeit wird auf einem Raum ähnlich dem ersten Beispiel lokal modelliert. Es kann gezeigt werden, dass wir diese affinen symplektischen Formen kleben können, daher bildet dieses Bündel eine symplektische Mannigfaltigkeit. Ein weniger triviales Beispiel für eine Lagrangesche Untermannigfaltigkeit ist der Nullschnitt des Kotangensbündels einer Mannigfaltigkeit. Lassen Sie zum Beispiel
Dann können wir präsentieren als
wobei wir die Symbole als Koordinaten von behandeln Wir können die Teilmenge mit den Koordinaten und betrachten , was uns den Nullabschnitt ergibt. Dieses Beispiel kann für jede Mannigfaltigkeit wiederholt werden, die durch den verschwindenden Ort glatter Funktionen und ihrer Differentiale definiert ist .
Beispiel: Parametrische Untermannigfaltigkeit
Betrachten Sie den kanonischen Raum mit Koordinaten . Eine parametrische Untermannigfaltigkeit von ist eine, die durch Koordinaten so parametrisiert ist, dass
Diese Mannigfaltigkeit ist eine Lagrangein-Untermannigfaltigkeit, wenn die Lagrange-Klammer für alle verschwindet Das heißt, sie ist Lagrangesch, wenn
für alle Dies kann durch Erweitern gesehen werden
in der Bedingung für eine Lagrangesche Untermannigfaltigkeit . Dies ist, dass die symplektische Form auf der tangentialen Mannigfaltigkeit verschwinden muss ; das heißt, er muss für alle Tangentenvektoren verschwinden:
für alle . Vereinfachen Sie das Ergebnis, indem Sie die kanonische symplektische Form auf verwenden :
und alle anderen verschwinden.
Da lokale Karten auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit die kanonische Form annehmen, legt dieses Beispiel nahe, dass Lagrangesche Untermannigfaltigkeiten relativ uneingeschränkt sind. Die Klassifizierung symplektischer Mannigfaltigkeiten erfolgt über die Floer-Homologie – dies ist eine Anwendung der Morse-Theorie auf das Wirkungsfunktional für Abbildungen zwischen Lagrange-Untermannigfaltigkeiten. In der Physik beschreibt die Aktion die zeitliche Entwicklung eines physikalischen Systems; hier kann es als Beschreibung der Dynamik von Branen verstanden werden.
Beispiel: Morsetheorie
Eine weitere nützliche Klasse von Lagrangeschen Untermannigfaltigkeiten kommt in der Morsetheorie vor . Gegeben eine Morsefunktion und für eine ausreichend kleine kann man eine Lagrangesche Untermannigfaltigkeit konstruieren, die durch den verschwindenden Ort gegeben ist . Für eine generische Morsefunktion haben wir einen Lagrangeschen Durchschnitt gegeben durch .
Spezielle Lagrangesche Untermannigfaltigkeiten
Im Fall von Kählermannigfaltigkeiten (oder Calabi-Yau Verteiler ) können wir eine Wahl treffen auf als holomorphe n-Form, wobei der Realteil und Imaginärteil. Eine Lagrangesche Untermannigfaltigkeit heißt speziell, wenn zusätzlich zu der obigen Lagrangeschen Bedingung die Einschränkung auf verschwindet. Mit anderen Worten, der Realteil beschränkt auf auf die Volumenform führt . Die folgenden Beispiele sind als spezielle Lagrangesche Untermannigfaltigkeiten bekannt,
- komplexe Lagrangesche Untermannigfaltigkeiten von HyperKahler Mannigfaltigkeiten ,
- Fixpunkte einer reellen Struktur von Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten.
Die SYZ-Vermutung wurde für spezielle Lagrangesche Untermannigfaltigkeiten bewiesen, aber im Allgemeinen ist sie offen und bringt viele Auswirkungen auf das Studium der Spiegelsymmetrie . siehe ( Hitchin 1999 )
Lagrangesche Fibration
Eine Lagrangesche Fibration einer symplektischen Mannigfaltigkeit M ist eine Fibration, bei der alle Fasern Lagrangesche Untermannigfaltigkeiten sind. Da M geradedimensional ist, können wir lokale Koordinaten nehmen ( p 1 ,…, p n , q 1 ,…, q n ), und nach dem Satz von Darboux kann die symplektische Form ω zumindest lokal geschrieben werden als ω = ∑ d p k ∧ d q k , wobei d die äußere Ableitung und ∧ das äußere Produkt bezeichnet . Diese Form wird Poincaré-Zwei-Form oder kanonische Zwei-Form genannt. Mit dieser Anordnung können wir uns lokal M als das Kotangensbündel und die Lagrangesche Faser als die triviale Faserung vorstellen. Dies ist das kanonische Bild.
Lagrangesche Kartierung
Sei L eine Lagrangesche Untermannigfaltigkeit einer symplektischen Mannigfaltigkeit ( K ,ω) gegeben durch eine Immersion i : L ↪ K ( i heißt Lagrangesche Immersion ). Sei π : K ↠ B eine Lagrangesche Fibration von K . Die Zusammensetzung ( π ∘ i ): L ↪ K ↠ B ist eine Lagrange-Abbildung . Der kritische Wert von & pgr; ∘ i ist ein genannt ätzend .
Zwei Lagrangian Karten ( π 1 ∘ i 1 ): L 1 ↪ K 1 ↠ B 1 und ( π 2 ∘ i 2 ): L 2 ↪ K 2 ↠ B 2 werden als Lagrangian äquivalent , wenn es vorhanden Diffeomorphismen & sgr; , τ und ν solchen dass beide Seiten des rechts angegebenen Diagramms kommutieren , und τ die symplektische Form beibehält. Symbolisch:
wobei τ ∗ ω 2 das Zurückziehen von ω 2 um τ bezeichnet .
Sonderfälle und Verallgemeinerungen
- Eine symplektischen Mannigfaltigkeit ist genau , wenn die symplektische Form ist genau . Zum Beispiel ist das Kotangensbündel einer glatten Mannigfaltigkeit eine exakte symplektische Mannigfaltigkeit. Die kanonische symplektische Form ist exakt.
- Eine symplektische Mannigfaltigkeit, die mit einer Metrik ausgestattet ist, die mit der symplektischen Form kompatibel ist, ist eine fast Kählersche Mannigfaltigkeit in dem Sinne, dass das Tangentenbündel eine fast komplexe Struktur hat , die aber nicht integrierbar sein muss .
- Symplektische Mannigfaltigkeiten sind Spezialfälle einer Poisson-Mannigfaltigkeit . Die Definition einer symplektischen Mannigfaltigkeit erfordert, dass die symplektische Form überall nicht entartet ist, aber wenn diese Bedingung verletzt wird, kann die Mannigfaltigkeit immer noch eine Poisson-Mannigfaltigkeit sein.
- Eine multisymplektische Mannigfaltigkeit vom Grad k ist eine Mannigfaltigkeit, die mit einer geschlossenen nicht-entarteten k- Form ausgestattet ist .
- Eine polysymplektische Mannigfaltigkeit ist ein Legendre-Bündel, das mit einer polysymplektischen tangential bewerteten -Form versehen ist; es wird in der Hamiltonschen Feldtheorie verwendet .
Siehe auch
- Fast symplektische Mannigfaltigkeit
- Kontaktmannigfaltigkeit − ein ungeraddimensionales Gegenstück zur symplektischen Mannigfaltigkeit.
- Fedosov-Verteiler
- Poisson-Klammer – Operation in der Hamiltonschen Mechanik
- Symplektische Gruppe – Mathematische Gruppe
- Symplektische Matrix
- Symplektische Topologie
- Symplektischer Vektorraum
- Symplektomorphismus
- Tautologische Einform
- Wirtinger-Ungleichung (2-Formen)
- Kovariante Hamiltonsche Feldtheorie
Anmerkungen
Verweise
- McDuff, Dusa ; Salamon, D. (1998). Einführung in die symplektische Topologie . Oxford Mathematische Monographien. ISBN 0-19-850451-9.
- Auroux, Denis . "Seminar über Spiegelsymmetrie" .
- Meinrenken, Eckhard . "Symplektische Geometrie" (PDF) .
- Abraham, Ralph ; Marsden, Jerrold E. (1978). Grundlagen der Mechanik . London: Benjamin Cummings. Siehe Abschnitt 3.2. ISBN 0-8053-0102-X.
- de Gosson, Maurice A. (2006). Symplektische Geometrie und Quantenmechanik . Basel: Birkhäuser Verlag. ISBN 3-7643-7574-4.
- Alan Weinstein (1971). „Symplektische Mannigfaltigkeiten und ihre lagrangeschen Untermannigfaltigkeiten“ . Fortschritte in der Mathematik . 6 (3): 329–46. doi : 10.1016/0001-8708(71)90020-X .
- Arnold, VI (1990). "Ch.1, Symplektische Geometrie". Singularitäten von Kaustiken und Wellenfronten . Mathematik und ihre Anwendungen. 62 . Dordrecht: Springer Niederlande. doi : 10.1007/978-94-011-3330-2 . ISBN 978-1-4020-0333-2. OCLC 22509804 .
Externe Links
- „Wie man Lagrangesche Untermannigfaltigkeiten findet“ . Stapelaustausch . 17. Dezember 2014.
- Lumist, Ü. (2001) [1994], "Symplectic Structure" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
- Sardanashvily, G. (2009). „Faserbündel, Strahlverteiler und Lagrangesche Theorie“. Vorlesungen für Theoretiker . arXiv : 0908.1886 .
- McDuff, D. (November 1998). „Symplektische Strukturen – Ein neuer Ansatz für die Geometrie“ (PDF) . Hinweise des AMS .
- Hitchin, Nigel (1999). „Vorträge über spezielle Lagrangesche Submannigfaltigkeiten“. arXiv : mathe/9907034 .