Hilberts fünftes Problem - Hilbert's fifth problem

Hilberts fünftes Problem ist das fünfte mathematische Problem aus der 1900 vom Mathematiker David Hilbert veröffentlichten Problemliste und betrifft die Charakterisierung von Lie-Gruppen .

Die Theorie der Lie-Gruppen beschreibt kontinuierliche Symmetrie in der Mathematik; seine Bedeutung dort und in der theoretischen Physik (zB Quarktheorie ) wuchs im 20. Jahrhundert stetig. Grob gesagt ist die Lie-Gruppentheorie die gemeinsame Grundlage der Gruppentheorie und der Theorie der topologischen Mannigfaltigkeiten . Die Frage, die Hilbert stellte, war eine akute, um dies zu präzisieren: Gibt es einen Unterschied, wenn eine Beschränkung auf glatte Mannigfaltigkeiten auferlegt wird?

Die erwartete Antwort war negativ (die klassischen Gruppen , die zentralsten Beispiele in der Lie-Gruppentheorie, sind glatte Mannigfaltigkeiten). Dies wurde schließlich in den frühen 1950er Jahren bestätigt. Da Hilbert der genaue Begriff der "Mannigfaltigkeit" nicht zur Verfügung stand, gibt es Raum für einige Debatten über die Formulierung des Problems in der zeitgenössischen mathematischen Sprache.

Klassische Formulierung

Eine lange Zeit akzeptierte Formulierung war, dass es darum ging, Lie-Gruppen als topologische Gruppen zu charakterisieren , die auch topologische Mannigfaltigkeiten sind . Näher an denen, die Hilbert verwendet hätte, gibt es in der Nähe des Identitätselements e der fraglichen Gruppe G eine offene Menge U im euklidischen Raum, die e enthält , und auf einer offenen Teilmenge V von U gibt es eine stetige Abbildung

F  : V × V → U

das erfüllt die Gruppenaxiome, wo diese definiert sind. Dies ist ein Fragment einer typischen lokal euklidischen topologischen Gruppe . Das Problem besteht dann darin, zu zeigen, dass F eine glatte Funktion in der Nähe von e ist (da topologische Gruppen homogene Räume sind , sehen sie überall gleich aus wie in der Nähe von e ).

Anders ausgedrückt: Die mögliche Differenzierbarkeitsklasse von F spielt keine Rolle: Die Gruppenaxiome kollabieren den gesamten C  k -Gamut.

Lösung

Das erste große Ergebnis war das von John von Neumann 1933 für kompakte Gruppen . Der lokalkompakte abelsche Gruppenfall wurde 1934 von Lev Pontryagin gelöst . Die endgültige Auflösung, zumindest in dieser Interpretation dessen, was Hilbert meinte, kam in den 1950er Jahren mit den Arbeiten von Andrew Gleason , Deane Montgomery und Leo Zippin .

1953 erhielt Hidehiko Yamabe die endgültige Antwort auf Hilberts Fünftes Problem:

Wenn eine zusammenhängende lokal kompakte Gruppe G ein projektiver Grenzwert einer Folge von Lie-Gruppen ist und G "keine kleinen Untergruppen hat" (eine unten definierte Bedingung), dann ist G eine Lie-Gruppe.

Die Frage wird jedoch immer noch diskutiert, da es in der Literatur andere solche Behauptungen gab, die größtenteils auf unterschiedlichen Interpretationen von Hilberts Problemstellung durch verschiedene Forscher basieren.

Allgemeiner gesagt ist jede lokal kompakte, fast zusammenhängende Gruppe der projektive Grenzwert einer Lie-Gruppe. Betrachten wir eine allgemeine lokal kompakte Gruppe G und die Zusammenhangskomponente der Identität G 0 , so haben wir eine Gruppenerweiterung

G 0 → G → G / G 0 .

Als völlig unzusammenhängende Gruppe hat G / G 0 eine offene kompakte Untergruppe, und der Rückzug G′ einer solchen offenen kompakten Untergruppe ist eine offene, fast zusammenhängende Untergruppe von G . Auf diese Weise haben wir eine glatte Struktur auf G , da sie homöomorph zu ( G′ × G′  )/ G 0 ist , wobei G′ / G 0 eine diskrete Menge ist.

Alternative Formulierung

Eine andere Ansicht ist, dass G eher als eine Transformationsgruppe als abstrakt behandelt werden sollte. Dies führt zur Formulierung der Hilbert-Smith-Vermutung , die 2013 bewiesen wurde.

Keine kleinen Untergruppen

Eine wichtige Bedingung in der Theorie sind keine kleinen Untergruppen . Eine topologische Gruppe G , oder ein Teilstück einer Gruppe wie oben F , heißt, dass es keine kleinen Untergruppen gibt, wenn es eine Umgebung N von e gibt, die keine Untergruppe größer als { e } enthält. Zum Beispiel erfüllt die Kreisgruppe die Bedingung, während die p- adischen ganzen Zahlen Z p als additive Gruppe dies nicht tun , weil N die Untergruppen enthält: p k  Z p , für alle großen ganzen Zahlen k . Dies gibt eine Vorstellung davon, wie die Schwierigkeit in dem Problem ist. Im Fall der Hilbert-Smith-Vermutung handelt es sich um eine bekannte Reduktion darauf, ob Z p getreu auf einer geschlossenen Mannigfaltigkeit wirken kann . Gleason, Montgomery und Zippin charakterisierten Lie-Gruppen unter lokal kompakten Gruppen als solche ohne kleine Untergruppen.

Unendliche Dimensionen

Forscher haben auch Hilberts fünftes Problem betrachtet, ohne endliche Dimensionalität anzunehmen . Das letzte Kapitel von Benyamini und Lindenstrauss diskutieren die These von Per Enflo über Hilberts fünftes Problem ohne Kompaktheit .

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise