Napoleon Punkte - Napoleon points

In der Geometrie sind Napoleon-Punkte ein Paar spezieller Punkte, die einem ebenen Dreieck zugeordnet sind . Es wird allgemein angenommen, dass die Existenz dieser Punkte von Napoleon Bonaparte , dem Kaiser der Franzosen von 1804 bis 1815, entdeckt wurde, aber viele haben diesen Glauben in Frage gestellt. Der Napoleon Punkte sind Dreieck Zentren , und sie sind als die Punkte X (17) und X (18) in aufgelistet Clark Kimberling ‚s Encyclopedia of Triangle Center .

Der Name "Napoleon-Punkte" wurde auch auf ein anderes Paar von Dreieckszentren angewendet, besser bekannt als die isodynamischen Punkte .

Definition der Punkte

Erster Napoleon-Punkt

Sei ABC ein beliebiges ebenes Dreieck . Konstruieren Sie auf den Seiten BC , CA , AB des Dreiecks nach außen gezeichnete gleichseitige Dreiecke DBC , ECA bzw. FAB . Lassen Sie die Zentroide dieser Dreiecke sein , X , Y und Z jeweils. Dann werden die Linien AX , BY und CZ sind gleichzeitig . Der Übereinstimmungspunkt N1 ist der erste Napoleon-Punkt oder der äußere Napoleon-Punkt des Dreiecks ABC .

Das Dreieck XYZ wird das äußere Napoleon-Dreieck des Dreiecks ABC genannt . Napoleons Satz besagt , dass dieses Dreieck ein gleichseitiges Dreieck ist .

In Clark Kimberling ‚s Encyclopedia of Triangle Center wird der erste Napoleon Punkt X (17) bezeichnet.

Die trilinearen Koordinaten von N1:

{\ displaystyle {\ begin {align} & \ left (\ csc \ left (A + {\ frac {\ pi} {6}} \ right), \ csc \ left (B + {\ frac {\ pi} {6}) } \ rechts), \ csc \ links (C + {\ frac {\ pi} {6}} \ rechts) \ rechts) \\ & = \ links (\ sec \ links (A - {\ frac {\ pi} { 3}} \ rechts), \ sec \ links (B - {\ frac {\ pi} {3}} \ rechts), \ sec \ links (C - {\ frac {\ pi} {3}} \ rechts) \ right) \ end {align}}}

Die Schwerpunktkoordinaten von N1:

{\ displaystyle \ left (a \ csc \ left (A + {\ frac {\ pi} {6}} \ right), b \ csc \ left (B + {\ frac {\ pi} {6}} \ right), c \ csc \ left (C + {\ frac {\ pi} {6}} \ right) \ right)}

Zweiter Napoleon-Punkt

Sei ABC ein beliebiges ebenes Dreieck . Konstruieren Sie auf den Seiten BC , CA , AB des Dreiecks nach innen gezeichnete gleichseitige Dreiecke DBC , ECA bzw. FAB . Lassen Sie die Zentroide dieser Dreiecke sein , X , Y und Z jeweils. Dann sind die Zeilen AX , BY und CZ gleichzeitig. Der Übereinstimmungspunkt N2 ist der zweite Napoleon-Punkt oder der innere Napoleon-Punkt des Dreiecks ABC .

Das Dreieck XYZ wird das innere Napoleon-Dreieck des Dreiecks ABC genannt . Napoleons Satz besagt , dass dieses Dreieck ein gleichseitiges Dreieck ist.

In Clark Kimberlings Encyclopedia of Triangle Centers wird der zweite Napoleon-Punkt mit X (18) bezeichnet.

Die trilinearen Koordinaten von N2:

{\ displaystyle {\ begin {align} & \ left (\ csc \ left (A - {\ frac {\ pi} {6}} \ right), \ csc \ left (B - {\ frac {\ pi} { 6}} \ rechts), \ csc \ links (C - {\ frac {\ pi} {6}} \ rechts) \ rechts) \\ & = \ links (\ sec \ links (A + {\ frac {\ pi } {3}} \ rechts), \ sec \ links (B + {\ frac {\ pi} {3}} \ rechts), \ sec \ links (C + {\ frac {\ pi} {3}} \ rechts) \ right) \ end {align}}}

Die Schwerpunktkoordinaten von N2:

{\ displaystyle \ left (a \ csc \ left (A - {\ frac {\ pi} {6}} \ right), b \ csc \ left (B - {\ frac {\ pi} {6}} \ right ), c \ csc \ left (C - {\ frac {\ pi} {6}} \ right) \ right)}

Zwei Punkte, die eng mit den Napoleon-Punkten verwandt sind, sind die Fermat-Torricelli-Punkte (ETCs X13 und X14). Wenn anstelle von Linien, die die Schwerpunkte der gleichseitigen Dreiecke mit den jeweiligen Eckpunkten verbinden, jetzt Linien konstruiert werden, die die Spitzen der gleichseitigen Dreiecke mit den jeweiligen Eckpunkten des Dreiecks verbinden, sind die drei so konstruierten Linien wieder gleichzeitig. Die Übereinstimmungspunkte werden als Fermat-Torricelli-Punkte bezeichnet, die manchmal als F1 und F2 bezeichnet werden. Der Schnittpunkt der Fermat-Linie (dh der Linie, die die beiden Fermat-Torricelli-Punkte verbindet) und der Napoleon-Linie (dh der Linie, die die beiden Napoleon-Punkte verbindet) ist der Symmedianpunkt des Dreiecks (ETCs X6).

Verallgemeinerungen

Die Ergebnisse bezüglich der Existenz der Napoleon-Punkte können auf verschiedene Arten verallgemeinert werden. Bei der Definition der Napoleon-Punkte beginnen wir mit gleichseitigen Dreiecken, die an den Seiten des Dreiecks ABC gezeichnet sind, und betrachten dann die Zentren X , Y und Z dieser Dreiecke. Diese Zentren können als Eckpunkte von gleichschenkligen Dreiecken betrachtet werden, die an den Seiten des Dreiecks ABC mit den Basiswinkeln von $π$ / 6 (30 Grad) errichtet wurden. Die Verallgemeinerungen versuchen, andere Dreiecke zu bestimmen, die, wenn sie über den Seiten des Dreiecks ABC errichtet werden , gleichzeitige Linien aufweisen, die ihre äußeren Eckpunkte und die Eckpunkte des Dreiecks ABC verbinden .

Gleichschenklige Dreiecke

Ein Punkt auf der Kiepert-Hyperbel.

Kiepert Hyperbel des Dreiecks ABC . Die Hyperbel verläuft durch die Eckpunkte ( A , B , C ), das Orthozentrum ( O ) und den Schwerpunkt ( G ) des Dreiecks.

Diese Verallgemeinerung behauptet Folgendes:

Wenn die drei Dreiecke XBC, YCA und ZAB, die an den Seiten des gegebenen Dreiecks ABC als Basen konstruiert sind, ähnlich , gleichschenklig und ähnlich angeordnet sind, stimmen die Linien AX, BY, CZ an einem Punkt N überein.

Wenn der gemeinsame Basiswinkel ist , haben die Eckpunkte der drei Dreiecke die folgenden trilinearen Koordinaten. ${\ displaystyle \ theta}$

${\ displaystyle X (- \ sin \ theta, \ sin (C + \ theta), \ sin (B + \ theta))}$
${\ Anzeigestil Y (\ sin (C + \ Theta), - \ sin \ Theta, \ sin (A + \ Theta))}$
${\ Anzeigestil Z (\ sin (B + \ Theta), \ sin (A + \ Theta), - \ sin \ Theta)}$

Die trilinearen Koordinaten von N sind

{\ displaystyle (\ csc (A + \ theta), \ csc (B + \ theta), \ csc (C + \ theta)).}

Einige Sonderfälle sind interessant.

Wert von θ;	Der Punkt N.
0	G , der Schwerpunkt des Dreiecks ABC
$π$ / 2 (oder - $π$ / 2)	O , das Orthozentrum des Dreiecks ABC
$π$ / 4 (oder - $π$ / 4)	Die Vecten-Punkte
$π$ / 6	N1, der erste Napoleon-Punkt (X17)
- $π$ / 6	N2, der zweite Napoleon-Punkt (X18)
$π$ / 3	F1, der erste Fermat-Torricelli-Punkt (X13)
- $π$ / 3	F2, der zweite Fermat-Torricelli-Punkt (X14)
- A (wenn A < $π$ / 2) $π$ - A (wenn A > $π$ / 2)	Der Scheitelpunkt A.
- B (wenn B < $π$ / 2) $π$ - B (wenn B > $π$ / 2)	Der Scheitelpunkt B.
- C (wenn C < $π$ / 2) $π$ - C (wenn C > $π$ / 2)	Der Scheitelpunkt C.

Darüber hinaus variiert der Ort von N als Basiswinkel zwischen - $π$ / 2 und $π$ / 2 ist der Kegel ${\ displaystyle \ theta}$

{\ displaystyle {\ frac {\ sin (BC)} {x}} + {\ frac {\ sin (CA)} {y}} + {\ frac {\ sin (AB)} {z}} = 0. }}

Dieser Kegel ist eine rechteckige Hyperbel und wird zu Ehren von Ludwig Kiepert (1846–1934), dem Mathematiker, der dieses Ergebnis entdeckte, Kiepert-Hyperbel genannt . Diese Hyperbel ist der einzigartige Kegel, der durch die fünf Punkte A, B, C, G und O verläuft.

Beliebige Dreiecke

Die Übereinstimmung der Linien AX , BY und CZ gilt auch unter sehr entspannten Bedingungen. Das folgende Ergebnis gibt eine der allgemeinsten Bedingungen für die gleichzeitige Leitung der Linien AX , BY , CZ an.

Wenn die Dreiecke XBC, YCA, ZAB an den Seiten eines Dreiecks ABC nach außen so konstruiert sind, dass

∠CBX = ∠ABZ, ∠ACY = ∠BCX, ∠BAZ = ∠CAY,

dann sind die Zeilen AX, BY und CZ gleichzeitig.

Der Punkt der Parallelität ist als Jacobi-Punkt bekannt .

Eine Verallgemeinerung des Napoleon-Punktes

Geschichte

Coxeter und Greitzer stellen den Napoleon-Satz folgendermaßen dar: Wenn gleichseitige Dreiecke außen an den Seiten eines Dreiecks errichtet werden, bilden ihre Zentren ein gleichseitiges Dreieck . Sie stellen fest, dass Napoleon Bonaparte ein Mathematiker mit großem Interesse an Geometrie war. Sie bezweifeln jedoch, dass Napoleon genug Geometrie kannte, um den ihm zugeschriebenen Satz zu entdecken.

Das früheste aufgezeichnete Auftreten des in Napoleons Theorem verkörperten Ergebnisses findet sich in einem Artikel in The Ladies 'Diary, der 1825 erschien. The Ladies' Diary war eine jährliche Zeitschrift, die von 1704 bis 1841 in London im Umlauf war. Das Ergebnis erschien als Teil eines Frage von W. Rutherford, Woodburn.

VII. Quest. (1439); von Mr. W. Rutherford, Woodburn. " Beschreiben Sie gleichseitige Dreiecke (wobei die Eckpunkte entweder alle nach außen oder alle nach innen gerichtet sind) auf den drei Seiten eines Dreiecks ABC: Dann bilden die Linien, die die Schwerpunkte dieser drei gleichseitigen Dreiecke verbinden, ein gleichseitiges Dreieck. Demonstration erforderlich. "

Es gibt jedoch keinen Hinweis auf die Existenz der sogenannten Napoleon-Punkte in dieser Frage. Christoph J. Scriba , ein deutscher Mathematikhistoriker , hat das Problem der Zuordnung der Napoleon-Punkte zu Napoleon in einem Artikel in der Historia Mathematica untersucht .

Siehe auch

Verweise

Weiterführende Literatur

Stachel, Hellmuth (2002). "Napoleons Satz und Verallgemeinerungen durch lineare Karten" (PDF) . Beiträge zur Algebra und Geometrie . 43 (2): 433–444 . Abgerufen am 25. April 2012 .
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Wetzel, John E. (April 1992). "Converses of Napoleons Theorem" (PDF) . Archiviert vom Original (PDF) am 29. April 2014 . Abgerufen am 24. April 2012 .

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