Gleichschenkligen Dreiecks - Isosceles triangle
Gleichschenkligen Dreiecks | |
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Typ | Dreieck |
Kanten und Scheitelpunkte | 3 |
Schläfli-Symbol | ( ) ∨ { } |
Symmetriegruppe | Dih 2 , [ ], (*), Bestellung 2 |
Doppelpolygon | Selbst-dual |
Eigenschaften | konvex , zyklisch |
In der Geometrie ist ein gleichschenkliges Dreieck ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten. Manchmal wird es mit genau zwei gleich langen Seiten angegeben , manchmal mit mindestens zwei gleich langen Seiten, wobei letztere Version also das gleichseitige Dreieck als Sonderfall einschließt . Beispiele für gleichschenklige Dreiecke sind das gleichschenklige rechtwinklige Dreieck , das goldene Dreieck und die Flächen von Bipyramiden und bestimmten katalanischen Körpern .
Die mathematische Erforschung gleichschenkliger Dreiecke geht auf die altägyptische Mathematik und die babylonische Mathematik zurück . Gleichschenklige Dreiecke wurden schon in früheren Zeiten als Dekoration verwendet und tauchen häufig in Architektur und Design auf, beispielsweise in Giebeln und Giebeln von Gebäuden.
Die beiden gleichen Seiten werden als Beine bezeichnet und die dritte Seite wird als Basis des Dreiecks bezeichnet. Die anderen Abmessungen des Dreiecks, wie Höhe, Fläche und Umfang, lassen sich mit einfachen Formeln aus den Längen der Beine und der Basis berechnen. Jedes gleichschenklige Dreieck hat eine Symmetrieachse entlang der Mittelsenkrechten seiner Basis. Die beiden den Schenkeln gegenüberliegenden Winkel sind gleich und immer spitz , so dass die Klassifizierung des Dreiecks als spitz, recht oder stumpf nur vom Winkel zwischen seinen beiden Schenkeln abhängt.
Terminologie, Klassifikation und Beispiele
Euklid definierte ein gleichschenkliges Dreieck als Dreieck mit genau zwei gleichen Seiten, aber moderne Behandlungen ziehen es vor, gleichschenklige Dreiecke mit mindestens zwei gleichen Seiten zu definieren. Der Unterschied zwischen diesen beiden Definitionen besteht darin, dass die moderne Version gleichseitige Dreiecke (mit drei gleichen Seiten) zu einem Spezialfall von gleichschenkligen Dreiecken macht. Ein Dreieck, das nicht gleichschenklig ist (drei ungleiche Seiten hat) wird Skalenus genannt . „Isoceles“ setzt sich aus den griechischen Wurzeln „isos“ (gleich) und „skelos“ (Bein) zusammen. Dasselbe Wort wird zum Beispiel für gleichschenklige Trapeze , Trapeze mit zwei gleichen Seiten und für gleichschenklige Mengen , Mengen von Punkten verwendet, von denen alle drei ein gleichschenkliges Dreieck bilden.
In einem gleichschenkligen Dreieck mit genau zwei gleichen Seiten heißen die gleichen Seiten Schenkel und die dritte Seite Basis . Der Winkel , der durch die Beine enthalten ist der angerufene Scheitelwinkel und die Winkel, die die Basis als eine ihrer Seiten haben , sind die genannten Basiswinkel . Der der Basis gegenüberliegende Scheitelpunkt wird als Scheitelpunkt bezeichnet . Da im Fall eines gleichseitigen Dreiecks alle Seiten gleich sind, kann jede Seite als Basis bezeichnet werden.
Ob ein gleichschenkliges Dreieck spitz, gerade oder stumpf ist, hängt nur vom Winkel an seiner Spitze ab. In der euklidischen Geometrie können die Basiswinkel nicht stumpf (größer als 90°) oder rechts (gleich 90°) sein, da ihre Maße mindestens 180° ergeben würden, die Summe aller Winkel in jedem euklidischen Dreieck. Da ein Dreieck genau dann stumpf oder gerade ist, wenn einer seiner Winkel stumpf bzw. recht ist, ist ein gleichschenkliges Dreieck genau dann stumpf, recht oder spitz, wenn sein Scheitelwinkel jeweils stumpf, recht oder spitz ist. In Edwin Abbotts Buch Flatland wurde diese Klassifikation von Formen als Satire der sozialen Hierarchie verwendet : Gleichschenklige Dreiecke repräsentierten die Arbeiterklasse , wobei spitze gleichschenklige Dreiecke in der Hierarchie höher stehen als rechte oder stumpfe gleichschenklige Dreiecke.
Neben dem gleichschenkligen rechtwinkligen Dreieck wurden mehrere andere spezifische Formen von gleichschenkligen Dreiecken untersucht. Dazu gehören das Calabi-Dreieck (ein Dreieck mit drei kongruenten eingeschriebenen Quadraten), das goldene Dreieck und der goldene Gnomon (zwei gleichschenklige Dreiecke, deren Seiten und Basis im goldenen Schnitt liegen), das 80-80-20-Dreieck, das im Langley's Adventitious Angles Puzzle vorkommt und das 30-30-120-Dreieck der Triakis-Dreiecksfliesen . Fünf katalanische Körper , das Triakis-Tetraeder , Triakis-Oktaeder , Tetrakis-Hexaeder , Pentakis-Dodekaeder und Triakis-Ikosaeder , haben jeweils gleichschenklige Dreiecksflächen, ebenso wie unendlich viele Pyramiden und Bipyramiden .
Formeln
Höhe
Für jedes gleichschenklige Dreieck fallen die folgenden sechs Liniensegmente zusammen:
- die Höhe , ein Liniensegment von der Spitze senkrecht zur Basis,
- die Winkelhalbierende von der Spitze zur Basis,
- der Median von der Spitze bis zum Mittelpunkt der Basis,
- die Mittelsenkrechte der Basis innerhalb des Dreiecks,
- das Segment innerhalb des Dreiecks der eindeutigen Symmetrieachse des Dreiecks, und
- das Segment innerhalb des Dreiecks der Euler-Linie des Dreiecks, außer wenn das Dreieck gleichseitig ist .
Ihre gemeinsame Länge ist die Höhe des Dreiecks. Wenn das Dreieck gleiche Seitenlängen und Grundlängen hat , vereinfachen sich die allgemeinen Dreiecksformeln für die Längen dieser Segmente alle zu
Diese Formel kann auch aus dem Satz des Pythagoras abgeleitet werden, indem die Höhe die Basis halbiert und das gleichschenklige Dreieck in zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke teilt.
Die Euler-Linie jedes Dreiecks geht durch das Orthozentrum des Dreiecks (den Schnittpunkt seiner drei Höhen), seinen Schwerpunkt (den Schnittpunkt seiner drei Mediane) und seinen Umkreismittelpunkt (den Schnittpunkt der senkrechten Winkelhalbierenden seiner drei Seiten, der auch der Mittelpunkt des Umkreises, der durch die drei Scheitelpunkte verläuft). In einem gleichschenkligen Dreieck mit genau zwei gleichen Seiten sind diese drei Punkte verschieden und liegen (durch Symmetrie) alle auf der Symmetrieachse des Dreiecks, woraus folgt, dass die Eulerlinie mit der Symmetrieachse zusammenfällt. Der Mittelpunkt des Dreiecks liegt auch auf der Euler-Linie, was für andere Dreiecke nicht gilt. Wenn zwei beliebige Winkelhalbierende, Median oder Höhe in einem gegebenen Dreieck zusammenfallen, muss dieses Dreieck gleichschenklig sein.
Bereich
Die Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks lässt sich aus der Formel für seine Höhe und aus der allgemeinen Formel für die Fläche eines Dreiecks als halbes Produkt aus Grundfläche und Höhe ableiten:
Dieselbe Flächenformel lässt sich auch aus der Heronschen Formel für die Fläche eines Dreiecks von seinen drei Seiten herleiten . Die direkte Anwendung der Heron-Formel kann jedoch bei gleichschenkligen Dreiecken mit sehr spitzen Winkeln numerisch instabil sein , da in diesen Dreiecken der Halbumfang und die Seitenlänge nahezu aufgehoben sind .
Wenn der Spitzenwinkel und die Schenkellängen eines gleichschenkligen Dreiecks bekannt sind, dann ist die Fläche dieses Dreiecks:
Dies ist ein Spezialfall der allgemeinen Formel für die Fläche eines Dreiecks als halbes Produkt zweier Seiten mal Sinus des eingeschlossenen Winkels.
Umfang
Der Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks mit gleichen Seiten und gleicher Grundfläche beträgt nur
Wie in jedem Dreieck hängen Fläche und Umfang durch die isoperimetrische Ungleichung zusammen
Dies ist eine strikte Ungleichung für gleichschenklige Dreiecke mit Seiten ungleich der Basis und wird zu einer Gleichheit für das gleichseitige Dreieck. Fläche, Umfang und Grundfläche können auch durch die Gleichung
Sind Basis und Umfang fest, dann bestimmt diese Formel die Fläche des resultierenden gleichschenkligen Dreiecks, die unter allen Dreiecken mit gleicher Basis und Umfang maximal möglich ist. Auf der anderen Seite, wenn Fläche und Umfang fest sind, kann diese Formel verwendet werden, um die Basislänge zu ermitteln, aber nicht eindeutig: Es gibt im Allgemeinen zwei verschiedene gleichschenklige Dreiecke mit gegebener Fläche und Umfang . Wenn die isoperimetrische Ungleichung zu einer Gleichheit wird, gibt es nur ein solches Dreieck, das gleichseitig ist.
Winkelhalbierende Länge
Wenn die beiden gleichen Seiten die Länge haben und die andere Seite die Länge hat , dann erfüllt die innere Winkelhalbierende von einem der beiden gleichwinkligen Eckpunkte
ebenso gut wie
und umgekehrt, wenn die letztere Bedingung zutrifft, existiert ein gleichschenkliges Dreieck, das durch und parametrisiert ist.
Der Satz von Steiner-Lehmus besagt, dass jedes Dreieck mit zwei gleich langen Winkelhalbierenden gleichschenklig ist. Es wurde 1840 von CL Lehmus formuliert . Sein anderer Namensgeber, Jakob Steiner , war einer der ersten, der eine Lösung lieferte. Obwohl es ursprünglich nur für innere Winkelhalbierende formuliert wurde, funktioniert es für viele (aber nicht alle) Fälle, in denen stattdessen zwei äußere Winkelhalbierende gleich sind. Das gleichschenklige Dreieck 30-30-120 bildet einen Grenzfall für diese Variation des Satzes, da es vier Winkelhalbierende mit gleichem Winkel hat (zwei interne, zwei externe).
Radien
Die Formeln für Innenradius und Umkreisradius für ein gleichschenkliges Dreieck können aus ihren Formeln für beliebige Dreiecke abgeleitet werden. Der Radius des einbeschriebenen Kreises eines gleichschenkligen Dreiecks mit Seitenlänge , Basis und Höhe beträgt:
Der Kreismittelpunkt liegt auf der Symmetrieachse des Dreiecks, dieser Abstand über der Basis. Ein gleichschenkliges Dreieck hat den größtmöglichen eingeschriebenen Kreis unter den Dreiecken mit der gleichen Basis und dem gleichen Scheitelwinkel sowie die größte Fläche und den größten Umfang unter der gleichen Klasse von Dreiecken.
Der Radius des umschriebenen Kreises ist:
Der Kreismittelpunkt liegt auf der Symmetrieachse des Dreiecks, dieser Abstand unterhalb der Spitze.
Beschriftetes Quadrat
Für jedes gleichschenklige Dreieck gibt es ein einzigartiges Quadrat, dessen eine Seite kollinear mit der Basis des Dreiecks ist und die beiden gegenüberliegenden Ecken an seinen Seiten. Das Calabi-Dreieck ist ein spezielles gleichschenkliges Dreieck mit der Eigenschaft, dass die beiden anderen eingeschriebenen Quadrate, deren Seiten kollinear mit den Seiten des Dreiecks sind, die gleiche Größe wie das Basisquadrat haben. Ein viel älterer Satz, der in den Werken des Heros von Alexandria erhalten ist , besagt, dass für ein gleichschenkliges Dreieck mit Basis und Höhe die Seitenlänge des eingeschriebenen Quadrats auf der Basis des Dreiecks ist
Gleichschenklige Unterteilung anderer Formen
Für jede ganze Zahl kann jedes Dreieck in gleichschenklige Dreiecke unterteilt werden. In einem rechtwinkligen Dreieck teilt der Median von der Hypotenuse (d. h. das Liniensegment vom Mittelpunkt der Hypotenuse zum rechtwinkligen Scheitelpunkt) das rechtwinklige Dreieck in zwei gleichschenklige Dreiecke. Dies liegt daran, dass der Mittelpunkt der Hypotenuse der Mittelpunkt des Umkreises des rechtwinkligen Dreiecks ist und jedes der beiden durch die Teilung erzeugten Dreiecke zwei gleiche Radien als zwei seiner Seiten hat. Ähnlich kann ein spitzwinkliges Dreieck kann aus seiner circumcenter in drei gleichschenkligen Dreiecken durch Segmente partitioniert werden, aber dieses Verfahren funktioniert nicht für stumpfe Dreiecken, da die circumcenter liegen außerhalb des Dreiecks.
Die Zerlegung eines spitzen Dreiecks verallgemeinernd, kann jedes zyklische Polygon , das den Mittelpunkt seines umschriebenen Kreises enthält, durch die Radien dieses Kreises durch seine Scheitel in gleichschenklige Dreiecke unterteilt werden. Die Tatsache, dass alle Radien eines Kreises gleich lang sind, impliziert, dass alle diese Dreiecke gleichschenklig sind. Diese Partition kann verwendet werden, um eine Formel für die Fläche des Polygons in Abhängigkeit von seiner Seitenlänge abzuleiten, auch für zyklische Polygone, die ihre Umkreismittelpunkte nicht enthalten. Diese Formel verallgemeinert die Formel von Heron für Dreiecke und die Formel von Brahmagupta für zyklische Vierecke .
Jede Diagonale einer Raute teilt sie in zwei kongruente gleichschenklige Dreiecke. In ähnlicher Weise teilt eine der beiden Diagonalen eines Drachens ihn in zwei gleichschenklige Dreiecke, die nicht deckungsgleich sind, außer wenn der Drachen eine Raute ist.
Anwendungen
In Architektur und Design
Gleichschenklige Dreiecke treten in der Architektur häufig als Giebel- und Giebelformen auf . In der antiken griechischen Architektur und ihren späteren Imitationen wurde das stumpfe gleichschenklige Dreieck verwendet; in der gotischen Architektur wurde dies durch das spitze gleichschenklige Dreieck ersetzt.
In der Architektur des Mittelalters wurde eine andere gleichschenklige Dreiecksform populär: das ägyptische gleichschenklige Dreieck. Dies ist ein gleichschenkliges Dreieck, das spitz ist, aber weniger als das gleichseitige Dreieck; seine Höhe ist proportional zu 5/8 seiner Basis. Das ägyptische gleichschenklige Dreieck wurde vom niederländischen Architekten Hendrik Petrus Berlage wieder in der modernen Architektur verwendet .
Warren-Fachwerkstrukturen wie Brücken werden üblicherweise in gleichschenkligen Dreiecken angeordnet, obwohl manchmal auch vertikale Balken für zusätzliche Festigkeit enthalten sind. Durch stumpfe gleichschenklige Dreiecke tessellierte Oberflächen können verwendet werden, um entfaltbare Strukturen zu bilden , die zwei stabile Zustände aufweisen: einen ungefalteten Zustand, in dem sich die Oberfläche zu einer zylindrischen Säule ausdehnt, und einen gefalteten Zustand, in dem sie sich zu einer kompakteren Prismenform faltet, die mehr sein kann leicht transportiert. Das gleiche Tessellationsmuster bildet die Grundlage für das Yoshimura-Beulen , ein Muster, das sich bildet, wenn zylindrische Oberflächen axial komprimiert werden, und für die Schwarz-Laterne , ein Beispiel, das in der Mathematik verwendet wird, um zu zeigen, dass die Fläche einer glatten Oberfläche nicht immer genau durch Polyeder angenähert werden kann, die gegen . konvergieren die Oberfläche.
Im Grafikdesign und in der dekorativen Kunst waren gleichschenklige Dreiecke ein häufiges Gestaltungselement in Kulturen auf der ganzen Welt, zumindest vom frühen Neolithikum bis zur Neuzeit. Sie sind ein gängiges Gestaltungselement in Flaggen und Heraldiken und treten prominent mit vertikaler Basis, beispielsweise in der Flagge von Guyana , oder mit horizontaler Basis in der Flagge von St. Lucia auf , wo sie ein stilisiertes Bild einer Berginsel bilden.
Sie wurden auch in Designs mit religiöser oder mystischer Bedeutung verwendet, zum Beispiel im Sri Yantra der hinduistischen Meditationspraxis .
In anderen Bereichen der Mathematik
Wenn eine kubische Gleichung mit reellen Koeffizienten drei Wurzeln hat, die nicht alle reelle Zahlen sind , dann bilden diese Wurzeln, wenn sie in der komplexen Ebene als Argand-Diagramm aufgetragen werden , Eckpunkte eines gleichschenkligen Dreiecks, dessen Symmetrieachse mit der horizontalen (reellen) Achse zusammenfällt . Dies liegt daran, dass die komplexen Wurzeln konjugiert komplex und daher symmetrisch um die reelle Achse sind.
In der Himmelsmechanik wurde das Drei-Körper-Problem in dem Spezialfall untersucht, dass die drei Körper ein gleichschenkliges Dreieck bilden, denn unter der Annahme einer solchen Anordnung der Körper reduziert sich die Zahl der Freiheitsgrade des Systems, ohne sie auf die gelöster Lagrange-Punktfall , wenn die Körper ein gleichseitiges Dreieck bilden. Die ersten Instanzen des Dreikörperproblems mit unbeschränkten Schwingungen waren das gleichschenklige Dreikörperproblem.
Geschichte und Irrtümer
Lange bevor gleichschenklige Dreiecke von den antiken griechischen Mathematikern untersucht wurden , wussten die Praktiker der altägyptischen Mathematik und der babylonischen Mathematik , wie man ihre Fläche berechnet. Probleme dieser Art sind im Moskauer Mathematischen Papyrus und im Rhind Mathematischen Papyrus enthalten .
Der Satz, dass die Basiswinkel eines gleichschenkligen Dreiecks gleich sind, erscheint als Satz I.5 in Euklid. Dieses Ergebnis wurde als Pons asinorum (die Brücke der Esel) oder als Satz über gleichschenklige Dreiecke bezeichnet. Rivalisierende Erklärungen für diesen Namen beinhalten die Theorie, dass es daran liegt, dass das von Euklid in seiner Demonstration des Ergebnisses verwendete Diagramm einer Brücke ähnelt oder weil dies das erste schwierige Ergebnis bei Euklid ist und diejenigen, die Euklids Geometrie verstehen können, von denen trennt wer kann das nicht.
Ein bekannter Trugschluss ist der falsche Beweis der Behauptung, dass alle Dreiecke gleichschenklig sind . Robin Wilson schreibt dieses Argument Lewis Carroll zu , der es 1899 veröffentlichte, aber WW Rouse Ball veröffentlichte es 1892 und schrieb später, dass Carroll das Argument von ihm erhalten habe. Der Trugschluss wurzelt in Euklids mangelnder Anerkennung des Konzepts der Zwischenheit und der daraus resultierenden Mehrdeutigkeit von Innen und Außen von Figuren.
Anmerkungen
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