Lambert-Viereck - Lambert quadrilateral

In der Geometrie ist ein Lambert-Viereck , benannt nach Johann Heinrich Lambert , ein Viereck, bei dem drei seiner Winkel rechte Winkel sind. Historisch gesehen war der vierte Winkel eines Lambert-Vierecks von erheblichem Interesse, denn wenn er als rechter Winkel gezeigt werden könnte, dann könnte das euklidische Parallelpostulat als Satz bewiesen werden. Es ist nun bekannt, dass die Art des vierten Winkels von der Geometrie abhängt, in der das Viereck existiert. In der hyperbolischen Geometrie ist der vierte Winkel spitz , in der euklidischen Geometrie ein rechter Winkel und in der elliptischen Geometrie ein stumpfer Winkel .

Ein Lambert-Viereck kann aus einem Saccheri-Viereck konstruiert werden, indem die Mittelpunkte der Basis und des Gipfels des Saccheri-Vierecks verbunden werden. Dieses Liniensegment ist sowohl zur Basis als auch zum Gipfel senkrecht, und so ist jede Hälfte des Saccheri-Vierecks ein Lambert-Viereck.

Lambert-Viereck in hyperbolischer Geometrie

In hyperbolischen Geometrie ein Lambert Vierecks AOBF wo die Winkel sind rechts und F gegenüber O , ist ein spitzer Winkel und die Krümmung = -1 gelten die folgenden Beziehungen: ${\displaystyle\angle FAO,\angle AOB,\angle OBF}$${\displaystyle \angle AFB}$

${\displaystyle \sinh AF=\sinh OB\cosh BF}$

${\displaystyle \tanh AF=\cosh OA\tanh OB}$

${\displaystyle \sinh BF=\sinh OA\cosh AF}$

${\displaystyle \tanh BF=\cosh OB\tanh OA}$

${\displaystyle \cosh OF=\cosh OA\cosh AF}$

${\displaystyle \cosh OF=\cosh OB\cosh BF}$

${\displaystyle \sin\angle AFB={\frac {\cosh OB}{\cosh AF}}={\frac {\cosh OA}{\cosh BF}}}$

${\displaystyle \cos\angle AFB=\sinh OA\sinh OB=\tanh AF\tanh BF}$

${\displaystyle \cot\angle AFB=\tanh OA\sinh AF=\tanh OB\sinh BF}$

${\displaystyle \sin\angle AOF={\frac {\sinh AF}{\sinh OF}}}$

${\displaystyle \cos\angle AOF={\frac {\tanh OA}{\tanh OF}}}$

${\displaystyle \tan\angle AOF={\frac {\tanh AF}{\sinh OA}}}$

Wo sind hyperbolische Funktionen?${\displaystyle\tanh,\cosh,\sinh}$

Beispiele

Lambert-vierseitige Fundamentaldomäne im Orbifold *p222

* 3222-Symmetrie mit 60-Grad-Winkel an einer seiner Ecken.

* 4222-Symmetrie mit 45-Grad-Winkel an einer seiner Ecken.

Das begrenzende Lambert-Viereck hat 3 rechte Winkel und einen 0-Grad-Winkel mit einem idealen Scheitelpunkt im Unendlichen, der Orbifold * ∞222- Symmetrie definiert.

Siehe auch

• Nichteuklidische Geometrie

Anmerkungen

Verweise

• George E. Martin, The Foundations of Geometry and the Non-Euclidean Plane , Springer-Verlag, 1975
• MJ Greenberg, Euklidische und nicht-euklidische Geometrien: Entwicklung und Geschichte , 4. Auflage, WH Freeman, 2008.