Leibniz harmonisches Dreieck - Leibniz harmonic triangle

Das harmonische Leibniz-Dreieck ist eine dreieckige Anordnung von Einheitsbrüchen, bei der die äußersten Diagonalen aus den Kehrwerten der Zeilennummern bestehen und jede innere Zelle die Zelle diagonal über und links minus der Zelle links ist. Algebraisch ausgedrückt ist L ( r , 1) = 1 / r (wobei r die Nummer der Zeile ist, beginnend mit 1, und c die Spaltennummer ist, niemals mehr als r ) und L ( r , c ) = L. ( r - 1, c - 1) - L ( r , c - 1).

Werte

Die ersten acht Zeilen sind:

${\ displaystyle {\ begin {array} {cccccccccccccccccc} &&&&&&&&&&&&&&&&&&\\&&&&&&&& {\ frac {1} {2}} && {\ frac {1} {2}} &&&&&&& } && {\ frac {1} {6}} && {\ frac {1} {3}} &&&&&& \\ &&&&&& {\ frac {1} {4}} && {\ frac {1} {12}} && { \ frac {1} {12}} && {\ frac {1} {4}} &&&&& \\ &&&&& {\ frac {1} {5}} && {\ frac {1} {20}} && {\ frac { 1} {30}} && {\ frac {1} {20}} && {\ frac {1} {5}} &&&& \\ &&&& {\ frac {1} {6}} && {\ frac {1} { 30}} && {\ frac {1} {60}} && {\ frac {1} {60}} && {\ frac {1} {30}} && {\ frac {1} {6}} &&& \\ &&& {\ frac {1} {7}} && {\ frac {1} {42}} && {\ frac {1} {105}} && {\ frac {1} {140}} && {\ frac {1 } {105}} && {\ frac {1} {42}} && {\ frac {1} {7}} && \\ && {\ frac {1} {8}} && {\ frac {1} {56 }} && {\ frac {1} {168}} && {\ frac {1} {280}} && {\ frac {1} {280}} && {\ frac {1} {168}} && {\ frac {1} {56}} && {\ frac {1} {8}} & \\ &&&&& \ vdots &&&& \ vdots &&&& \ vdots &&&& \\\ end {array}}}$

Die Nenner sind in (Sequenz A003506 im OEIS ) aufgeführt, während die Zähler alle 1s sind.

Bedingungen

Die Bedingungen sind durch die Wiederholungen gegeben

${\ displaystyle a_ {n, 1} = {1 \ wähle n}}$

${\ displaystyle a_ {n, k} = \ left ({\ frac {1} {n {\ binom {n-1} {k-1}}} \ right),}$

und ausdrücklich von

${\ displaystyle a_ {n, k} = {\ frac {1} {{\ binom {n} {k}} k}}}$

wo ist ein Binomialkoeffizient . ${\ displaystyle {\ binom {n} {k}}}$

Beziehung zu Pascals Dreieck

Während jeder Eintrag im Pascalschen Dreieck die Summe der beiden Einträge in der obigen Zeile ist, ist jeder Eintrag im Leibniz-Dreieck die Summe der beiden Einträge in der Zeile darunter . In der 5. Zeile ist der Eintrag (1/30) beispielsweise die Summe der beiden (1/60) s in der 6. Zeile.

So wie Pascals Dreieck unter Verwendung von Binomialkoeffizienten berechnet werden kann, kann auch Leibniz ': . Darüber hinaus können die Einträge dieses Dreiecks aus Pascals berechnet werden : "Die Terme in jeder Zeile sind der ursprüngliche Term geteilt durch die entsprechenden Pascal-Dreieckseinträge." Tatsächlich bezieht sich jede Diagonale auf entsprechende Pascal-Dreieck-Diagonalen: Die erste Leibniz-Diagonale besteht aus 1 / (1x natürlichen Zahlen ), die zweite aus 1 / (2x dreieckigen Zahlen ), die dritte aus 1 / (3x tetraedrischen Zahlen ) und so weiter . ${\ displaystyle L (r, c) = {\ frac {1} {r {r-1 \ wähle c-1}}}$

Eigenschaften

Wenn man die Nenner der n- ten Zeile nimmt und addiert, ist das Ergebnis gleich . Zum Beispiel haben wir für die 3. Reihe 3 + 6 + 3 = 12 = 3 × 2 ² . ${\ displaystyle n2 ^ {n-1}}$

Wir haben ${\ displaystyle L (r, c) = \ int _ {0} ^ {1} \! x ^ {c-1} (1-x) ^ {rc} \, dx.}$

Verweise