Lemoine Sechseck - Lemoine hexagon

Das Lemoine-Sechseck, dargestellt mit sich selbst schneidender Konnektivität, umschrieben vom ersten Lemoine-Kreis

In der Geometrie ist das Lemoine-Sechseck ein zyklisches Sechseck mit Scheitelpunkten, die durch die sechs Schnittpunkte der Kanten eines Dreiecks und die drei Linien, die parallel zu den Kanten sind, die durch seinen Symmedianpunkt verlaufen, gegeben sind . Es gibt zwei Definitionen des Sechsecks, die sich in der Reihenfolge unterscheiden, in der die Scheitelpunkte verbunden sind.

Fläche und Umfang

Das Lemoine-Sechseck kann auf zwei Arten definiert gezeichnet werden, zunächst als einfaches Sechseck mit Scheitelpunkten an den Schnittpunkten wie zuvor definiert. Das zweite ist ein sich selbst schneidendes Sechseck, bei dem die Linien durch den Symmedianpunkt gehen, wenn drei der Kanten und die anderen drei Kanten Paare benachbarter Scheitelpunkte verbinden.

Für das einfache Sechseck in einem Dreieck mit Seitenlänge und Fläche ist der Umfang gegeben durch ${\displaystyle a,b,c}$${\displaystyle \Delta}$

${\displaystyle p={\frac {a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$

und die Gegend von

${\displaystyle K={\frac {a^{4}+b^{4}+c^{4}+a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c ^{2}a^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{2}}}\Delta }$

Für das sich selbst schneidende Sechseck ist der Umfang gegeben durch

${\displaystyle p={\frac {\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{a^{2}+b^{2}+c^{2} }}}$

und die Gegend von

${\displaystyle K={\frac {a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}{\left(a^{2 }+b^{2}+c^{2}\right)^{2}}}\Delta}$

Umkreis

In der Geometrie bestimmen fünf Punkte einen Kegelschnitt , also liegen beliebige Sätze von sechs Punkten im Allgemeinen nicht auf einem Kegelschnitt, geschweige denn auf einem Kreis. Trotzdem ist das Lemoine-Sechseck (mit jeder Verbindungsreihenfolge) ein zyklisches Polygon , was bedeutet, dass seine Scheitel alle auf einem gemeinsamen Kreis liegen. Der Umkreis des Lemoine-Sechsecks wird als erster Lemoine-Kreis bezeichnet .

Verweise

• Casey, John (1888), "Lemoine's, Tucker's, and Taylor's Circles" , Eine Fortsetzung der ersten sechs Bücher der Elemente von Euklid, die eine einfache Einführung in die moderne Geometrie mit zahlreichen Beispielen enthält (5. Aufl.), Dublin: Hodges, Figgis & Co., S. 179ff.
• Lemoine, . (1874), "Sur quelques propriétés d'un point remarquable d'un Triangle", Association francaise pour l'avancement des sciences, Congrès (002; 1873; Lyon) (auf Französisch), S. 90–95.
• Mackay, JS (1895), "Symmediane eines Dreiecks und ihre begleitenden Kreise", Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society , 14 : 37–103, doi : 10.1017/S0013091500031758003.

Externe Links

• Weisstein, Eric W. "Lemoine Hexagon" . MathWorld .