Scheitelpunkt (Geometrie) - Vertex (geometry)
In der Geometrie ist ein Scheitelpunkt (im Plural: Scheitelpunkte oder Scheitelpunkte ), oft mit Buchstaben wie , , , , bezeichnet, ein Punkt, an dem sich zwei oder mehr Kurven , Linien oder Kanten treffen. Als Folge dieser Definition sind der Punkt, an dem sich zwei Geraden zu einem Winkel treffen, und die Ecken von Polygonen und Polyedern Scheitelpunkte.
Definition
Von einem Winkel
Der Scheitelpunkt eines Winkels ist der Punkt, an dem zwei Strahlen beginnen oder sich treffen, wo sich zwei Liniensegmente treffen oder treffen, wo sich zwei Linien schneiden (kreuzen) oder jede geeignete Kombination von Strahlen, Segmenten und Linien, die zu zwei geraden "Seiten" führen an einem Ort.
Von einem Polytop
Ein Scheitelpunkt ist ein Eckpunkt eines Polygons , Polyeders oder eines anderen höherdimensionalen Polytops , der durch den Schnittpunkt von Kanten , Flächen oder Facetten des Objekts gebildet wird.
In einem Polygon heißt ein Scheitel „ konvex “, wenn der Innenwinkel des Polygons (dh der Winkel , den die beiden Kanten am Scheitel mit dem Polygon innerhalb des Winkels bilden) kleiner als π Radiant ist (180°, zwei rechte Winkel ); andernfalls wird es "konkav" oder "reflex" genannt. Allgemeiner gesagt ist ein Scheitelpunkt eines Polyeders oder Polytops konvex, wenn der Schnittpunkt des Polyeders oder Polytops mit einer ausreichend kleinen Kugel, die am Scheitelpunkt zentriert ist, konvex ist und ansonsten konkav ist.
Polytop-Scheitelpunkte sind mit Scheitelpunkten von Graphen insofern verwandt , als das 1-Skelett eines Polytops ein Graph ist, dessen Scheitel den Scheitelpunkten des Polytops entsprechen, und dass ein Graph als eindimensionaler simplizialer Komplex betrachtet werden kann deren Ecken die Ecken des Graphen sind.
In der Graphentheorie können Scheitelpunkte jedoch weniger als zwei einfallende Kanten haben, was für geometrische Scheitelpunkte normalerweise nicht zulässig ist. Es gibt auch eine Verbindung zwischen geometrischen Scheitelpunkten und den Scheitelpunkten einer Kurve , ihren extremen Krümmungspunkten: In gewisser Weise sind die Scheitelpunkte eines Polygons Punkte unendlicher Krümmung, und wenn ein Polygon durch eine glatte Kurve angenähert wird, gibt es a Punkt extremer Krümmung nahe jedem Polygonscheitelpunkt. Eine glatte Kurvenannäherung an ein Polygon weist jedoch auch zusätzliche Scheitelpunkte an den Punkten auf, an denen seine Krümmung minimal ist.
Von einer Flugzeugfliese
Ein Scheitelpunkt einer ebenen Kachelung oder Tesselation ist ein Punkt, an dem sich drei oder mehr Kacheln treffen; im Allgemeinen, aber nicht immer, sind die Kacheln einer Tesselation Polygone und die Ecken der Tesselation sind auch Ecken ihrer Kacheln. Allgemeiner kann eine Tessellation als eine Art topologischer Zellkomplex angesehen werden , ebenso wie die Flächen eines Polyeders oder Polytops; die Scheitelpunkte anderer Arten von Komplexen, wie zum Beispiel simplizialen Komplexen, sind ihre nulldimensionalen Flächen.
Hauptscheitelpunkt
Ein Polygonscheitel x i eines einfachen Polygons P ist ein Hauptpolygonscheitel, wenn die Diagonale [ x (i − 1) , x (i + 1) ] den Rand von P nur bei x (i − 1) und x (i + 1) . Es gibt zwei Arten von Hauptscheitelpunkten: Ohren und Münder .
Ohren
Ein Hauptscheitel x i eines einfachen Polygons P heißt Ohr, wenn die Diagonale [ x (i − 1) , x (i + 1) ] , die x i überbrückt, ganz in P liegt . (siehe auch konvexes Polygon ) Nach dem Zweiohrensatz hat jedes einfache Polygon mindestens zwei Ohren.
Münder
Ein Hauptscheitel x i eines einfachen Polygons P heißt Mund, wenn die Diagonale [ x (i − 1) , x (i + 1) ] außerhalb des Randes von P liegt .
Anzahl der Ecken eines Polyeders
Die Oberfläche jedes konvexen Polyeders hat Euler-Charakteristik
wobei V die Anzahl der Scheitelpunkte, E die Anzahl der Kanten und F die Anzahl der Flächen ist . Diese Gleichung ist als Eulersche Polyederformel bekannt . Somit ist die Anzahl der Eckpunkte um 2 höher als der Überschuss der Anzahl der Kanten über die Anzahl der Flächen. Da ein Würfel beispielsweise 12 Kanten und 6 Flächen hat, impliziert die Formel, dass er 8 Scheitelpunkte hat.
Vertices in Computergrafik
In der Computergrafik werden Objekte oft als triangulierte Polyeder dargestellt, bei denen die Objektscheitelpunkte nicht nur mit drei räumlichen Koordinaten verbunden sind, sondern auch mit anderen grafischen Informationen, die zum korrekten Rendern des Objekts erforderlich sind, wie Farben, Reflexionseigenschaften , Texturen und Oberflächennormale ; Diese Eigenschaften werden beim Rendern von einem Vertex-Shader verwendet , der Teil der Vertex-Pipeline ist .