Lügenderivat - Lie derivative

In der Differentialgeometrie , der Lie - Derivat / l í / nach dem Namen Lie von Władysław Ślebodziński wertet die Änderung eines Tensorfeld (einschließlich skalaren Funktionen, Vektorfelder und ein Formen ), entlang des Strömungs durch eine anderes Vektorfeld definiert. Diese Änderung ist koordinateninvariant und daher wird die Lie-Ableitung auf jeder differenzierbaren Mannigfaltigkeit definiert .

Funktionen, Tensorfelder und Formen können in Bezug auf ein Vektorfeld unterschieden werden. Wenn T ein Tensorfeld und X ein Vektorfeld ist, wird die Lie-Ableitung von T in Bezug auf X bezeichnet . Der Differentialoperator ist eine Ableitung der Algebra der Tensorfelder der zugrunde liegenden Mannigfaltigkeit. ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} (T)}$ ${\ displaystyle T \ mapsto {\ mathcal {L}} _ {X} (T)}$

Die Lie-Ableitung pendelt mit Kontraktion und die äußere Ableitung auf Differentialformen .

Obwohl es viele Konzepte gibt, eine Ableitung in der Differentialgeometrie zu nehmen, stimmen sie alle überein, wenn der zu differenzierende Ausdruck eine Funktion oder ein Skalarfeld ist . In diesem Fall wird also das Wort "Lüge" fallen gelassen, und man spricht einfach von der Ableitung einer Funktion.

Die Lie-Ableitung eines Vektorfeldes Y in Bezug auf ein anderes Vektorfeld X ist als " Lie-Klammer " von X und Y bekannt und wird häufig mit [ X , Y ] anstelle von bezeichnet . Der Raum der Vektorfelder bildet in Bezug auf diese Lie-Klammer eine Lie-Algebra . Die Lie-Ableitung stellt aufgrund der Identität eine unendlich dimensionale Lie-Algebra-Darstellung dieser Lie-Algebra dar ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} (Y)}$

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {[X, Y]} T = {\ mathcal {L}} _ {X} {\ mathcal {L}} _ {Y} T - {\ mathcal {L} } _ {Y} {\ mathcal {L}} _ {X} T,}$

gültig für alle Vektorfelder X und Y und jeder Tensorfeld T .

Unter Berücksichtigung von Vektorfeldern als infinitesimale Generatoren von Strömungen (dh eindimensionale Gruppen von Diffeomorphismen ) auf M ist die Lie-Ableitung das Differential der Darstellung der Diffeomorphismusgruppe auf Tensorfeldern, analog zu Lie-Algebra-Darstellungen als infinitesimale Darstellungen, die der Gruppendarstellung in zugeordnet sind Lügengruppentheorie .

Es gibt Verallgemeinerungen für Spinorfelder , Faserbündel mit Verbindung und vektorwertige Differentialformen .

Motivation

Ein "naiver" Versuch, die Ableitung eines Tensorfeldes in Bezug auf ein Vektorfeld zu definieren, würde darin bestehen, die Komponenten des Tensorfeldes und die Richtungsableitung jeder Komponente in Bezug auf das Vektorfeld zu nehmen. Diese Definition ist jedoch unerwünscht, da sie bei Änderungen des Koordinatensystems nicht invariant ist , z. B. unterscheidet sich die in polaren oder sphärischen Koordinaten ausgedrückte naive Ableitung von der naiven Ableitung der Komponenten in kartesischen Koordinaten . Auf einer abstrakten Mannigfaltigkeit ist eine solche Definition bedeutungslos und schlecht definiert. In der Differentialgeometrie gibt es drei koordinatenunabhängige Hauptbegriffe der Differenzierung von Tensorfeldern: Lie-Ableitungen, Ableitungen in Bezug auf Verbindungen und die äußere Ableitung von vollständig antisymmetrischen (kovarianten) Tensoren oder Differentialformen . Der Hauptunterschied zwischen der Lie-Ableitung und einer Ableitung in Bezug auf eine Verbindung besteht darin, dass die letztere Ableitung eines Tensorfelds in Bezug auf einen Tangentenvektor gut definiert ist, selbst wenn nicht spezifiziert ist, wie dieser Tangentenvektor auf ein Vektorfeld ausgedehnt werden soll . Eine Verbindung erfordert jedoch die Wahl einer zusätzlichen geometrischen Struktur (z. B. einer Riemannschen Metrik oder nur einer abstrakten Verbindung ) auf dem Verteiler. Im Gegensatz dazu ist bei der Verwendung einer Lie-Ableitung keine zusätzliche Struktur auf dem Verteiler erforderlich, aber es ist unmöglich, über die Lie-Ableitung eines Tensorfelds in Bezug auf einen einzelnen Tangentenvektor zu sprechen, da der Wert der Lie-Ableitung eines Tensors Das Feld in Bezug auf ein Vektorfeld X an einem Punkt p hängt vom Wert von X in einer Nachbarschaft von p ab , nicht nur bei p selbst. Schließlich erfordert die äußere Ableitung von Differentialformen keine zusätzlichen Auswahlmöglichkeiten, sondern ist nur eine genau definierte Ableitung von Differentialformen (einschließlich Funktionen).

Definition

Das Lie-Derivat kann auf verschiedene äquivalente Arten definiert werden. Um die Dinge einfach zu halten, definieren wir zunächst die Lie-Ableitung, die auf Skalarfunktionen und Vektorfelder wirkt, bevor wir mit der Definition für allgemeine Tensoren fortfahren.

Die (Lie) Ableitung einer Funktion

Das Definieren der Ableitung einer Funktion auf einem Verteiler ist problematisch, da der Differenzquotient nicht bestimmt werden kann, während die Verschiebung undefiniert ist. ${\ displaystyle f: M \ to {\ mathbb {R}}}$ ${\ displaystyle \ textstyle (f (x + h) -f (x)) / h}$${\ displaystyle x + h}$

Die Lie-Ableitung einer Funktion in Bezug auf ein Vektorfeld an einem Punkt ist die Funktion ${\ displaystyle f: M \ to {\ mathbb {R}}}$ ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle p \ in M}$

${\ displaystyle ({\ mathcal {L}} _ {X} f) (p) = \ lim _ {t \ bis 0} {\ frac {f (P (t, p)) - f (p)} { t}}: M \ bis {\ mathbb {R}},}$

Wo ist der Punkt, auf den der durch das Vektorfeld definierte Fluss den Zeitpunkt abbildet ? In der Nähe von befindet sich die eindeutige Lösung des Systems ${\ displaystyle P (t, p)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle t.}$${\ displaystyle t = 0,}$ ${\ displaystyle P (t, p)}$

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} P (t, p) = X (P (t, p))}$

von autonomen (dh zeitunabhängigen) Differentialgleichungen erster Ordnung im Tangentenraum mit ${\ displaystyle T_ {P (t, p)} M}$${\ displaystyle P (0, p) = p.}$

Für ein Koordinatendiagramm auf dem Verteiler und sei die tangentiale lineare Karte. Das obige System von Differentialgleichungen ist expliziter als ein System geschrieben ${\ displaystyle (U, \ varphi)}$${\ displaystyle M,}$${\ displaystyle x \ in U,}$${\ displaystyle d \ varphi _ {x}: T_ {x} U \ bis T _ {\ varphi (x)} {\ mathbb {R}} ^ {n} \ cong {\ mathbb {R}} ^ {n} }}$

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ varphi (P (t, p)) = d \ varphi _ {P (t, p)} X (P (t, p))}$

in mit der Anfangsbedingung ist , ist leicht überprüfbar, daß die Lösung von der Wahl des Koordinatentabelle unabhängig ist. ${\ displaystyle {\ mathbb {R}} ^ {n},}$${\ displaystyle \ varphi (P (0, p)) = \ varphi (p).}$${\ displaystyle P (t, p)}$

Die Einstellung identifiziert die Lie-Ableitung einer Funktion mit der Richtungsableitung . ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} f = \ nabla _ {X} f}$

Die Lie-Ableitung eines Vektorfeldes

Wenn X und Y beide Vektorfelder sind, wird die Lie-Ableitung von Y in Bezug auf X auch als Lie-Klammer von X und Y bezeichnet und manchmal bezeichnet . Es gibt verschiedene Ansätze zur Definition der Lie-Klammer, die alle gleichwertig sind. Wir listen hier zwei Definitionen auf, die den beiden oben angegebenen Definitionen eines Vektorfeldes entsprechen: ${\ displaystyle [X, Y]}$

Die Lie-Ableitung eines Tensorfeldes

Definition in Bezug auf Flüsse

Die Lie-Ableitung ist die Geschwindigkeit, mit der sich das Tensorfeld unter der durch die Strömung verursachten Raumverformung ändert.

Formal eine differenzierbare (zeitunabhängig) Vektorfeld gegeben auf einer glatten Mannigfaltigkeit lassen Sie sein die entsprechenden lokalen Fluss und die Identität Karte. Da ist ein lokaler Diffeomorphismus, für jede und die Umkehrung ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle M,}$${\ displaystyle \ Gamma _ {X} ^ {t}: M \ bis M}$${\ displaystyle \ Gamma _ {X} ^ {0}}$${\ displaystyle \ Gamma _ {X} ^ {t}}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle p \ in M,}$

${\ displaystyle \ left (d_ {p} \ Gamma _ {X} ^ {t} \ right) ^ {- 1}: T _ {\ Gamma _ {X} ^ {t} (p)} M \ bis T_ { p} M}$

des Differentials erstreckt sich eindeutig auf den Homomorphismus${\ displaystyle \ left (d_ {p} \ Gamma _ {X} ^ {t} \ right)}$

${\ displaystyle h_ {p} ^ {t}: T \ left (T _ {\ Gamma _ {X} ^ {t} (p)} M \ right) \ to T (T_ {p} M)}$

zwischen den Tensoralgebren der Tangentenräume und der Pullback-Map ${\ displaystyle T _ {\ Gamma _ {X} ^ {t} (p)} M}$${\ displaystyle T_ {p} M.}$

${\ displaystyle \ left (\ Gamma _ {X} ^ {t} \ right) _ {p} ^ {*}: T _ {\ Gamma _ {X} ^ {t} (p)} ^ {*} M \ zu T_ {p} ^ {*} M}$

hebt sich zu einem einzigartigen Tensoralgebra-Homomorphismus auf

${\ displaystyle h_ {p} ^ {t}: T \ left (T _ {\ Gamma _ {X} ^ {t} (p)} ^ {*} M \ right) \ to T (T_ {p} ^ { *} M).}$

Für jeden gibt es folglich ein Tensorfeld mit der gleichen Wertigkeit wie 's. ${\ displaystyle t,}$${\ displaystyle h_ {p} ^ {t} Y}$${\ displaystyle Y}$

Wenn ein - oder -Typs Tensorfeld, dann ist der Lie - Derivat des entlang eines Vektorfeldes wird am Punkt definiert zu sein , ${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle (r, 0)}$${\ displaystyle (0, s)}$${\ displaystyle {\ cal {L}} _ {X} Y}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle p \ in M}$

${\ displaystyle {\ cal {L}} _ {X} Y (p) = {\ frac {d} {dt}} {\ Biggl |} _ {t = 0} \ left (h_ {p} ^ {t } \ left [Y \ left (\ Gamma _ {X} ^ {t} (p) \ right) \ right] \ right) = \ lim _ {t \ bis 0} {\ frac {h_ {p} ^ { t} \ left [Y \ left (\ Gamma _ {X} ^ {t} (p) \ right) \ right] -Y (p)} {t}}.}$

Das resultierende Tensorfeld hat die gleiche Wertigkeit wie 's. ${\ displaystyle {\ cal {L}} _ {X} Y}$${\ displaystyle Y}$

Algebraische Definition

Wir geben nun eine algebraische Definition. Die algebraische Definition für die Lie-Ableitung eines Tensorfeldes folgt aus den folgenden vier Axiomen:

Axiom 1. Die Lie-Ableitung einer Funktion ist gleich der Richtungsableitung der Funktion. Diese Tatsache wird oft durch die Formel ausgedrückt

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {Y} f = Y (f)}$

Axiom 2. Die Lie-Ableitung folgt der folgenden Version der Leibniz-Regel: Für alle Tensorfelder S und T haben wir

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {Y} (S \ otimes T) = ({\ mathcal {L}} _ {Y} S) \ otimes T + S \ otimes ({\ mathcal {L}} _ {Y} T).}$

Axiom 3. Das Lie-Derivat folgt der Leibniz-Regel in Bezug auf die Kontraktion :

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} (T ​​(Y_ {1}, \ ldots, Y_ {n})) = ({\ mathcal {L}} _ {X} T) (Y_ {1 }, \ ldots, Y_ {n}) + T (({\ mathcal {L}} _ {X} Y_ {1}), \ ldots, Y_ {n}) + \ cdots + T (Y_ {1}, \ ldots, ({\ mathcal {L}} _ {X} Y_ {n})}$

Axiom 4. Die Lie-Ableitung pendelt mit der äußeren Ableitung auf Funktionen:

${\ displaystyle [{\ mathcal {L}} _ {X}, d] = 0}$

Wenn diese Axiome gelten, zeigt die Anwendung der Lie-Ableitung auf die Beziehung dies ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X}}$${\ displaystyle df (Y) = Y (f)}$

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} Y (f) = X (Y (f)) - Y (X (f)),}$

Dies ist eine der Standarddefinitionen für die Lie-Klammer .

Das auf eine Differentialform einwirkende Lie-Derivat ist der Antikommutator des inneren Produkts mit dem äußeren Derivat. Wenn also α eine Differentialform ist,

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {Y} \ alpha = i_ {Y} d \ alpha + di_ {Y} \ alpha.}$

Dies folgt leicht, indem überprüft wird, ob der Ausdruck mit der äußeren Ableitung pendelt, eine Ableitung ist (ein Antikommutator für abgestufte Ableitungen) und das Richtige für Funktionen tut.

Explizit sei T ein Tensorfeld vom Typ ( p , q ) . Man betrachte T als eine differenzierbare mehrlineare Karte der glatten Abschnitte α ¹ , α ² , ..., α ^p des Kotangensbündels T ^∗ M und der Abschnitte X ₁ , X ₂ , ..., X _q des Tangentenbündels TM geschrieben T ( α ¹ , & agr; ² , ..., X ₁ , X ₂ , ...) in R . Definieren Sie die Lie-Ableitung von T entlang Y durch die Formel

${\ displaystyle ({\ mathcal {L}} _ {Y} T) (\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ ldots, X_ {1}, X_ {2}, \ ldots) = Y. (T (\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ ldots, X_ {1}, X_ {2}, \ ldots))}$

${\ displaystyle -T ({\ mathcal {L}} _ {Y} \ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ ldots, X_ {1}, X_ {2}, \ ldots) -T ( \ alpha _ {1}, {\ mathcal {L}} _ {Y} \ alpha _ {2}, \ ldots, X_ {1}, X_ {2}, \ ldots) - \ ldots}$

${\ displaystyle -T (\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ ldots, {\ mathcal {L}} _ {Y} X_ {1}, X_ {2}, \ ldots) -T ( \ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ ldots, X_ {1}, {\ mathcal {L}} _ {Y} X_ {2}, \ ldots) - \ ldots}$

Die analytischen und algebraischen Definitionen können anhand der Eigenschaften der Pushforward- und der Leibniz-Regel zur Differenzierung als äquivalent nachgewiesen werden . Das Lie-Derivat pendelt mit der Kontraktion.

Die Lie-Ableitung einer Differentialform

Eine besonders wichtige Klasse von Tensorfeldern ist die Klasse der Differentialformen . Die Beschränkung der Lie-Ableitung auf den Raum der Differentialformen hängt eng mit der äußeren Ableitung zusammen . Sowohl das Lie-Derivat als auch das äußere Derivat versuchen, die Idee eines Derivats auf unterschiedliche Weise zu erfassen. Diese Unterschiede können überbrückt werden, indem die Idee eines Innenprodukts eingeführt wird , wonach die Beziehungen als eine Identität herausfallen, die als Cartans Formel bekannt ist . Cartans Formel kann auch als Definition der Lie-Ableitung über den Raum der Differentialformen verwendet werden.

Lassen Sie M ein Verteiler und seine X ein Vektorfeld auf M . Let a sein ( k + 1) - Form , das heißt für jeden , eine alternierende Karte multi aus den reellen Zahlen. Das innere Produkt von X und ω ist die als definierte k- Form ${\ displaystyle \ omega \ in \ Lambda ^ {k + 1} (M)}$${\ displaystyle p \ in M}$${\ displaystyle \ omega (p)}$ ${\ displaystyle (T_ {p} M) ^ {k + 1}}$${\ displaystyle i_ {X} \ omega}$

${\ displaystyle (i_ {X} \ omega) (X_ {1}, \ ldots, X_ {k}) = \ omega (X, X_ {1}, \ ldots, X_ {k}) \,}$

Die Differentialform wird auch als Kontraktion von ω mit X und bezeichnet ${\ displaystyle i_ {X} \ omega}$

${\ displaystyle i_ {X}: \ Lambda ^ {k + 1} (M) \ rightarrow \ Lambda ^ {k} (M)}$

und ist ein (Keilprodukt auf Differentialformen) - Antiderivierung . Das heißt, ist R- linear und ${\ displaystyle i_ {X}}$ ${\ displaystyle \ wedge}$${\ displaystyle i_ {X}}$

${\ displaystyle i_ {X} (\ omega \ wedge \ eta) = (i_ {X} \ omega) \ wedge \ eta + (- 1) ^ {k} \ omega \ wedge (i_ {X} \ eta)}$

für und η eine andere Differentialform. Auch für eine Funktion , dh eine reelle oder komplexwertige Funktion auf M , hat man ${\ displaystyle \ omega \ in \ Lambda ^ {k} (M)}$${\ displaystyle f \ in \ Lambda ^ {0} (M)}$

${\ displaystyle i_ {fX} \ omega = f \, i_ {X} \ omega}$

wobei das Produkt von f und X bezeichnet . Die Beziehung zwischen äußeren Derivaten und Lie-Derivaten kann dann wie folgt zusammengefasst werden. Erstens, da die Lie-Ableitung einer Funktion f in Bezug auf ein Vektorfeld X dieselbe ist wie die Richtungsableitung X ( f ), ist sie auch dieselbe wie die Kontraktion der äußeren Ableitung von f mit X : ${\ displaystyle fX}$

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} f = i_ {X} \, df}$

Für eine allgemeine Differentialform ist das Lie-Derivat ebenfalls eine Kontraktion, wobei die Variation in X berücksichtigt wird :

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} \ omega = i_ {X} d \ omega + d (i_ {X} \ omega).}$

Diese Identität wird verschiedentlich als Cartan-Formel , Cartan-Homotopieformel oder Cartans Zauberformel bezeichnet . Siehe Innenausstattung für Details. Die Cartan-Formel kann als Definition der Lie-Ableitung einer Differentialform verwendet werden. Cartans Formel zeigt insbesondere das

${\ displaystyle d {\ mathcal {L}} _ {X} \ omega = {\ mathcal {L}} _ {X} (d \ omega).}$

Das Lie-Derivat erfüllt auch die Beziehung

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {fX} \ omega = f {\ mathcal {L}} _ {X} \ omega + df \ wedge i_ {X} \ omega.}$

Koordinatenausdrücke

Hinweis: Im Folgenden wird die Einstein-Summierungskonvention zum Summieren auf wiederholten Indizes verwendet.

In lokalen Koordinaten Notation für einen Typ ( r , s ) Tensorfeld entlang der Lie - Derivat ist , ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle {\ begin {align} ({\ mathcal {L}} _ {X} T) ^ {a_ {1} \ ldots a_ {r}} {} _ {b_ {1} \ ldots b_ {s} } = {} & X ^ {c} (\ partielle _ {c} T ^ {a_ {1} \ ldots a_ {r}} {} _ {b_ {1} \ ldots b_ {s}}) \\ & { } - {} (\ partielle _ {c} X ^ {a_ {1}}) T ^ {ca_ {2} \ ldots a_ {r}} {} _ {b_ {1} \ ldots b_ {s}} - \ ldots - (\ partielle _ {c} X ^ {a_ {r}}) T ^ {a_ {1} \ ldots a_ {r-1} c} {} _ {b_ {1} \ ldots b_ {s} } \\ & + (\ partielle _ {b_ {1}} X ^ {c}) T ^ {a_ {1} \ ldots a_ {r}} {} _ {cb_ {2} \ ldots b_ {s}} + \ ldots + (\ partielle _ {b_ {s}} X ^ {c}) T ^ {a_ {1} \ ldots a_ {r}} {} _ {b_ {1} \ ldots b_ {s-1} c} \ end {align}}}$

hier bedeutet die Notation , die partielle Ableitung in Bezug auf die Koordinate zu nehmen . Alternativ, wenn wir eine verwenden verwindungsfreie Verbindung (zB das Levi Civita Verbindung ), dann wird die partielle Ableitung kann mit der Fassung kovariante Ableitung , die Mittel ersetzt mit (durch Missbrauch der Notation) , wo die die Christoffel Koeffizienten . ${\ displaystyle \ partielle _ {a} = {\ frac {\ partielle} {\ partielle x ^ {a}}}}$${\ displaystyle x ^ {a}}$ ${\ displaystyle \ partielle _ {a}}$${\ displaystyle \ partielle _ {a} X ^ {b}}$${\ displaystyle \ nabla _ {a} X ^ {b} = X _ {; a} ^ {b}: = (\ nabla X) _ {a} ^ {\ b} = \ teilweise _ {a} X ^ { b} + \ Gamma _ {ac} ^ {b} X ^ {c}}$${\ displaystyle \ Gamma _ {bc} ^ {a} = \ Gamma _ {cb} ^ {a}}$

Die Lie-Ableitung eines Tensors ist ein weiterer Tensor des gleichen Typs, dh obwohl die einzelnen Terme im Ausdruck von der Wahl des Koordinatensystems abhängen, führt der Ausdruck als Ganzes zu einem Tensor

${\ displaystyle ({\ mathcal {L}} _ {X} T) ^ {a_ {1} \ ldots a_ {r}} {} _ {b_ {1} \ ldots b_ {s}} \ teilweise _ {a_ {1}} \ otimes \ cdots \ otimes \ partielle _ {a_ {r}} \ otimes dx ^ {b_ {1}} \ otimes \ cdots \ otimes dx ^ {b_ {s}}}$

Das ist unabhängig von jedem Koordinatensystem und vom gleichen Typ wie . ${\ displaystyle T}$

Die Definition kann weiter auf Tensordichten erweitert werden. Wenn T eine Tensordichte mit einem reellen Zahlenwertgewicht w ist (z. B. die Volumendichte von Gewicht 1), dann ist seine Lie-Ableitung eine Tensordichte des gleichen Typs und Gewichts.

${\ displaystyle {\ begin {align} ({\ mathcal {L}} _ {X} T) ^ {a_ {1} \ ldots a_ {r}} {} _ {b_ {1} \ ldots b_ {s} } = {} & X ^ {c} (\ partiell _ {c} T ^ {a_ {1} \ ldots a_ {r}} {} _ {b_ {1} \ ldots b_ {s}}) - (\ partiell _ {c} X ^ {a_ {1}}) T ^ {ca_ {2} \ ldots a_ {r}} {} _ {b_ {1} \ ldots b_ {s}} - \ ldots - (\ teilweise _ {c} X ^ {a_ {r}}) T ^ {a_ {1} \ ldots a_ {r-1} c} {} _ {b_ {1} \ ldots b_ {s}} + \\ & + ( \ partielle _ {b_ {1}} X ^ {c}) T ^ {a_ {1} \ ldots a_ {r}} {} _ {cb_ {2} \ ldots b_ {s}} + \ ldots + (\ teilweise _ {b_ {s}} X ^ {c}) T ^ {a_ {1} \ ldots a_ {r}} {} _ {b_ {1} \ ldots b_ {s-1} c} + w (\ teilweise _ {c} X ^ {c}) T ^ {a_ {1} \ ldots a_ {r}} {} _ {b_ {1} \ ldots b_ {s}} \ end {align}}}$

Beachten Sie den neuen Begriff am Ende des Ausdrucks.

Für eine lineare Verbindung , entlang der Lie - Ableitung ist ${\ displaystyle \ Gamma = (\ Gamma _ {bc} ^ {a})}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle ({\ mathcal {L}} _ {X} \ Gamma) _ {bc} ^ {a} = X ^ {d} \ partiell _ {d} \ Gamma _ {bc} ^ {a} + \ partiell _ {b} \ partiell _ {c} X ^ {a} - \ Gamma _ {bc} ^ {d} \ partiell _ {d} X ^ {a} + \ Gamma _ {dc} ^ {a} \ partiell _ {b} X ^ {d} + \ Gamma _ {bd} ^ {a} \ partiell _ {c} X ^ {d}}$

Beispiele

Zur Verdeutlichung zeigen wir nun die folgenden Beispiele in lokaler Koordinatennotation .

Für ein Skalarfeld haben wir: ${\ displaystyle \ phi (x ^ {c}) \ in {\ mathcal {F}} (M)}$

${\ displaystyle ({\ mathcal {L}} _ {X} \ phi) = X (\ phi) = X ^ {a} \ teilweise _ {a} \ phi}$ .

Daher wird für das Skalarfeld und das Vektorfeld die entsprechende Lie-Ableitung ${\ displaystyle \ phi (x, y) = x ^ {2} - \ sin (y)}$${\ displaystyle X = \ sin (x) \ partiell _ {y} -y ^ {2} \ partiell _ {x}}$

Betrachten Sie für ein Beispiel einer höherrangigen Differentialform die 2-Form und das Vektorfeld aus dem vorherigen Beispiel. Dann, ${\ displaystyle \ omega = (x ^ {2} + y ^ {2}) dx \ wedge dz}$${\ displaystyle X}$

Einige abstraktere Beispiele.

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} (dx ^ {b}) = di_ {X} (dx ^ {b}) = dX ^ {b} = \ teilweise _ {a} X ^ {b } dx ^ {a}}$ .

Daher haben wir für ein Covektorfeld , dh eine Differentialform , Folgendes: ${\ displaystyle A = A_ {a} (x ^ {b}) dx ^ {a}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} A = X (A_ {a}) dx ^ {a} + A_ {b} {\ mathcal {L}} _ {X} (dx ^ {b} ) = (X ^ {b} \ partiell _ {b} A_ {a} + A_ {b} \ partiell _ {a} (X ^ {b})) dx ^ {a}}$

Der Koeffizient des letzten Ausdrucks ist der lokale Koordinatenausdruck der Lie-Ableitung.

Für ein kovariantes Tensorfeld vom Rang 2 haben wir: ${\ displaystyle T = T_ {ab} (x ^ {c}) dx ^ {a} \ otimes dx ^ {b}}$

Wenn es sich um den symmetrischen metrischen Tensor handelt, ist er in Bezug auf die Levi Civita-Verbindung (auch bekannt als kovariante Ableitung) parallel und es wird fruchtbar, die Verbindung zu verwenden. Dies hat den Effekt, dass alle Derivate durch kovariante Derivate ersetzt werden, was ergibt ${\ displaystyle T = g}$

${\ displaystyle ({\ mathcal {L}} _ {X} g) = (X ^ {c} g_ {ab; c} + g_ {cb} X _ {; a} ^ {c} + g_ {ac} X_ {; b} ^ {c}) dx ^ {a} \ otimes dx ^ {b} = (X_ {b; a} + X_ {a; b}) dx ^ {a} \ otimes dx ^ {b}}$

Eigenschaften

Das Lie-Derivat hat eine Reihe von Eigenschaften. Sei die Algebra der auf dem Verteiler M definierten Funktionen . Dann ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (M)}$

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X}: {\ mathcal {F}} (M) \ rightarrow {\ mathcal {F}} (M)}$

ist eine Ableitung auf die Algebra . Das heißt, ist R- linear und ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (M)}$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} (fg) = ({\ mathcal {L}} _ {X} f) g + f {\ mathcal {L}} _ {X} g.}$

In ähnlicher Weise ist es eine Ableitung darüber, wo sich die Menge der Vektorfelder auf M befindet (vgl. Satz 6 aus dem Artikel: Nichita, FF-Vereinigungstheorien: Neue Ergebnisse und Beispiele. Axiome 2019, 8, 60): ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (M) \ times {\ mathcal {X}} (M)}$${\ displaystyle {\ mathcal {X}} (M)}$

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} (fY) = ({\ mathcal {L}} _ {X} f) Y + f {\ mathcal {L}} _ {X} Y}$

die auch in der entsprechenden Notation geschrieben werden kann

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} (f \ otimes Y) = ({\ mathcal {L}} _ {X} f) \ otimes Y + f \ otimes {\ mathcal {L}} _ {X} Y}$

wo das Tensorprodukt - Symbol ist die Tatsache zu unterstreichen , dass das Produkt einer Funktion mal ein Vektorfeld über den gesamten Verteiler genommen wird verwendet. ${\ displaystyle \ otimes}$

Zusätzliche Eigenschaften stimmen mit denen der Lie-Klammer überein . So wird beispielsweise als Ableitung auf ein Vektorfeld betrachtet,

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} [Y, Z] = [{\ mathcal {L}} _ {X} Y, Z] + [Y, {\ mathcal {L}} _ {X. } Z]}$

man findet, dass das Obige nur die jakobiische Identität ist . Man hat also das wichtige Ergebnis, dass der mit der Lie-Klammer ausgestattete Raum von Vektorfeldern über M eine Lie-Algebra bildet .

Das Lie-Derivat hat auch wichtige Eigenschaften, wenn es auf Differentialformen einwirkt. Sei α und β zwei Differentialformen auf M und sei X und Y zwei Vektorfelder. Dann

• ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} (\ alpha \ wedge \ beta) = ({\ mathcal {L}} _ {X} \ alpha) \ wedge \ beta + \ alpha \ wedge ({\ mathcal {L}} _ {X} \ beta)}$
• ${\ displaystyle [{\ mathcal {L}} _ {X}, {\ mathcal {L}} _ {Y}] \ alpha: = {\ mathcal {L}} _ {X} {\ mathcal {L}} _ {Y} \ alpha - {\ mathcal {L}} _ {Y} {\ mathcal {L}} _ {X} \ alpha = {\ mathcal {L}} _ {[X, Y]} \ alpha}$
• ${\ displaystyle [{\ mathcal {L}} _ {X}, i_ {Y}] \ alpha = [i_ {X}, {\ mathcal {L}} _ {Y}] \ alpha = i _ {[X, Y]} \ alpha,}$ wobei i das oben definierte innere Produkt bezeichnet und klar ist, ob [·, ·] den Kommutator oder die Lie-Klammer von Vektorfeldern bezeichnet .

Verallgemeinerungen

Verschiedene Verallgemeinerungen des Lie-Derivats spielen eine wichtige Rolle in der Differentialgeometrie.

Die Lie-Ableitung eines Spinorfeldes

Eine Definition für Lie-Derivate von Spinoren entlang generischer Raumzeitvektorfelder, nicht notwendigerweise Tötungsfelder , auf einer allgemeinen (Pseudo-) Riemannschen Mannigfaltigkeit wurde bereits 1971 von Yvette Kosmann vorgeschlagen . Später wurde ein geometrischer Rahmen bereitgestellt, der ihre Ad-hoc- Verschreibung im allgemeinen Rahmen von Lie-Derivaten auf Faserbündeln im expliziten Kontext von natürlichen Eichbündeln rechtfertigt, die sich als die am besten geeignete Arena für (Eichenkovariante) Feldtheorien herausstellen.

In einer bestimmten Spin - Mannigfaltigkeit , die in einer Riemannschen Mannigfaltigkeit ist ein Einlassen Spin - Struktur , die Lie Derivat eines spinor Feldes kann durch zuerst definiert werden , definieren sie in Bezug auf infinitesimal isometries (Killing-Vektorfeld) über die André Lichnerowicz ‚s lokalen Ausdruck gegeben im Jahr 1963: ${\ displaystyle (M, g)}$ ${\ displaystyle \ psi}$

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} \ psi: = X ^ {a} \ nabla _ {a} \ psi - {\ frac {1} {4}} \ nabla _ {a} X_ { b} \ gamma ^ {a} \ gamma ^ {b} \ psi \ ,,}$

wo , wie es wird angenommen , eine sein Killing-Vektorfeld , und sind Dirac - Matrizen . ${\ displaystyle \ nabla _ {a} X_ {b} = \ nabla _ {[a} X_ {b]}}$${\ displaystyle X = X ^ {a} \ teilweise _ {a}}$${\ displaystyle \ gamma ^ {a}}$

Es ist dann möglich, die Definition von Lichnerowicz auf alle Vektorfelder (generische infinitesimale Transformationen) zu erweitern, indem der lokale Ausdruck von Lichnerowicz für ein generisches Vektorfeld beibehalten wird , aber explizit nur der antisymmetrische Teil von übernommen wird . Genauer gesagt lautet der lokale Ausdruck von Kosmann aus dem Jahr 1972: ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ nabla _ {a} X_ {b}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} \ psi: = X ^ {a} \ nabla _ {a} \ psi - {\ frac {1} {8}} \ nabla _ {[a} X_ {b]} [\ gamma ^ {a}, \ gamma ^ {b}] \ psi \, = \ nabla _ {X} \ psi - {\ frac {1} {4}} (dX ^ {\ flat} ) \ cdot \ psi \ ,,}$

Wo ist der Kommutator, ist äußere Ableitung , ist die duale 1-Form entsprechend der Metrik (dh mit abgesenkten Indizes) und ist Clifford-Multiplikation. ${\ displaystyle [\ gamma ^ {a}, \ gamma ^ {b}] = \ gamma ^ {a} \ gamma ^ {b} - \ gamma ^ {b} \ gamma ^ {a}}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle X ^ {\ flat} = g (X, -)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ cdot}$

Es ist erwähnenswert, dass die Spinor-Lie-Ableitung unabhängig von der Metrik und damit auch von der Verbindung ist . Dies ist auf der rechten Seite von Kosmanns lokalem Ausdruck nicht ersichtlich, da die rechte Seite von der Metrik durch die Spinverbindung (kovariante Ableitung), die Dualisierung von Vektorfeldern (Absenkung der Indizes) und den Clifford abzuhängen scheint Multiplikation auf dem Spinorbündel . Dies ist nicht der Fall: Die Mengen auf der rechten Seite des lokalen Ausdrucks von Kosmann werden kombiniert, um alle metrik- und verbindungsabhängigen Begriffe aufzuheben.

Um ein besseres Verständnis des lange diskutierten Konzepts der Lie-Ableitung von Spinorfeldern zu erhalten, kann auf den Originalartikel verwiesen werden, in dem die Definition einer Lie-Ableitung von Spinorfeldern in den allgemeineren Rahmen der Theorie der Lie-Ableitungen von Abschnitten gestellt wird von Faserbündeln und die direkte Annäherung von Y. Kosmann an den Spinorfall wird verallgemeinert, um natürliche Bündel in Form eines neuen geometrischen Konzepts zu messen, das als Kosmann-Lift bezeichnet wird .

Kovariante Lie-Ableitung

Wenn wir ein Hauptbündel über der Mannigfaltigkeit M mit G als Strukturgruppe haben und X als kovarianten Vektorfeld als Abschnitt des Tangentenraums des Hauptbündels auswählen (dh es hat horizontale und vertikale Komponenten), dann die Kovariante Die Lie-Ableitung ist nur die Lie-Ableitung in Bezug auf X über dem Hauptbündel.

Wenn wir nun ein Vektorfeld Y über M (aber nicht das Hauptbündel) erhalten, aber auch eine Verbindung über das Hauptbündel haben, können wir ein Vektorfeld X über dem Hauptbündel so definieren, dass seine horizontale Komponente mit Y und übereinstimmt seine vertikale Komponente stimmt mit der Verbindung überein. Dies ist das kovariante Lie-Derivat.

Siehe Verbindungsform für weitere Details.

Nijenhuis-Lie-Derivat

Eine andere Verallgemeinerung aufgrund von Albert Nijenhuis erlaubt es, die Lie-Ableitung einer Differentialform entlang eines beliebigen Abschnitts des Bündels Ω ^k ( M , T M ) von Differentialformen mit Werten im Tangentenbündel zu definieren. Wenn K  ∈ Ω ^k ( M , T M ) und α eine differentielle p- Form ist, ist es möglich, das innere Produkt i _K α von K und α zu definieren. Das Nijenhuis-Lie-Derivat ist dann der Antikommutator des inneren Produkts und des äußeren Derivats:

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {K} \ alpha = [d, i_ {K}] \ alpha = di_ {K} \ alpha - (- 1) ^ {k-1} i_ {K} \ , d \ alpha.}$

Geschichte

1931 führte Władysław Ślebodziński einen neuen Differentialoperator ein, der später von David van Dantzig als Lie-Ableitung bezeichnet wurde und auf Skalare, Vektoren, Tensoren und affine Verbindungen angewendet werden kann und sich als leistungsfähiges Instrument zur Untersuchung von Gruppen von Automorphismen erwies .

Die Lie-Ableitungen allgemeiner geometrischer Objekte (dh Abschnitte von Naturfaserbündeln ) wurden von A. Nijenhuis , Y. Tashiro und K. Yano untersucht .

Physiker hatten lange Zeit Lie-Derivate verwendet, ohne auf die Arbeit von Mathematikern Bezug zu nehmen. 1940 führte Léon Rosenfeld - und vor ihm (1921) Wolfgang Pauli - eine sogenannte "lokale Variation" eines geometrischen Objekts ein, die durch eine infinitesimale Transformation von Koordinaten induziert wurde, die durch ein Vektorfeld erzeugt wurden . Man kann leicht beweisen, dass es sein ist . ${\ displaystyle \ delta ^ {\ ast} A}$${\ displaystyle A \,}$${\ displaystyle X \,}$${\ displaystyle \ delta ^ {\ ast} A}$${\ displaystyle - {\ mathcal {L}} _ {X} (A) \,}$

Siehe auch

• Kovariantes Derivat
• Verbindung (Mathematik)
• Frölicher-Nijenhuis-Klammer
• Geodätisch
• Feld töten
• Ableitung der Exponentialkarte

Anmerkungen

Verweise

• Abraham, Ralph ; Marsden, Jerrold E. (1978). Grundlagen der Mechanik . London: Benjamin-Cummings. ISBN   0-8053-0102-X . Siehe Abschnitt 2.2 .
• Bleecker, David (1981). Eichentheorie und Variationsprinzipien . Addison-Wesley. ISBN   0-201-10096-7 . Siehe Kapitel 0 .
• Jost, Jürgen (2002). Riemannsche Geometrie und geometrische Analyse . Berlin: Springer. ISBN   3-540-42627-2 . Siehe Abschnitt 1.6 .
• Kolář, I.; Michor, P.; Slovák, J. (1993). Natürliche Operationen in Differentialgeometrie . Springer-Verlag. Ausführliche Diskussion der Lie-Klammern und der allgemeinen Theorie der Lie-Derivate.
• Lang, S. (1995). Differential- und Riemannsche Mannigfaltigkeiten . Springer-Verlag. ISBN   978-0-387-94338-1 . Für Verallgemeinerungen auf unendliche Dimensionen.
• Lang, S. (1999). Grundlagen der Differentialgeometrie . Springer-Verlag. ISBN   978-0-387-98593-0 . Für Verallgemeinerungen auf unendliche Dimensionen.
• Yano, K. (1957). Die Theorie der Lügenderivate und ihre Anwendungen . Nordholland. ISBN   978-0-7204-2104-0 . Klassischer Ansatz mit Koordinaten.

Externe Links

• "Lie derivative" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]