Differentialoperator - Differential operator

Eine auf einem Kreisring definierte harmonische Funktion . Harmonische Funktionen sind genau die Funktionen, die im Kern des Laplace-Operators liegen , einem wichtigen Differentialoperator.

In der Mathematik ist ein Differentialoperator ein Operator , der als Funktion des Differentiationsoperators definiert ist . Hilfreich ist es zunächst aus Gründen der Notation, Differentiation als abstrakte Operation zu betrachten, die eine Funktion akzeptiert und eine andere Funktion zurückgibt (im Stil einer höherwertigen Funktion in der Informatik ).

In diesem Artikel werden hauptsächlich lineare Differentialoperatoren betrachtet, die der gebräuchlichste Typ sind. Es gibt jedoch auch nichtlineare Differentialoperatoren wie die Schwarzsche Ableitung .

Definition

Angenommen, es gibt eine Abbildung von einem Funktionsraum zu einem anderen Funktionsraum und eine Funktion, so dass das Bild von zB ist . Ein Differentialoperator wird als Linearkombination dargestellt, endlich erzeugt durch und seine Ableitungen mit höherem Grad wie ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{2}}$${\displaystyle f\in {\mathcal{F}}_{2}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle u\in {\mathcal {F}}_{1}}$${\displaystyle f=A(u)}$${\ displaystyle u}$

${\displaystyle P(x,D)=\sum_{|\alpha |\leq m}a_{\alpha}(x)D^{\alpha}\ ,}$

wobei die Liste der nicht-negativen ganzen Zahlen ist ein sogenannter Multi-Index , wird die Länge genannt , auf einige offene Domäne sind Funktionen in n - dimensionalen Raum, und . Die obige Ableitung ist eine als Funktionen oder manchmal als Verteilungen oder Hyperfunktionen und oder manchmal als .${\ displaystyle \ alpha = (\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ cdots, \ alpha _ {n})}$${\displaystyle |\alpha |=\alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots +\alpha_{n}}$${\ displaystyle \ alpha}$${\displaystyle a_{\alpha}(x)}$${\displaystyle D^{\alpha}=D_{1}^{\alpha_{1}}D_{2}^{\alpha_{2}}\cdots D_{n}^{\alpha_{n} }}$${\textstyle D_{j}=-i{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}}}$${\ textstyle D_ {j} = {\ frac {\ teilweise} {\ teilweise x_ {j}}}}$

Notationen

Der gebräuchlichste Differentialoperator ist die Ableitung . Übliche Notationen für die erste Ableitung in Bezug auf eine Variable x sind:

${\displaystyle {\mathrm{d}\over\mathrm{d}x}}$, , und .${\displaystyle D}$${\displaystyle D_{x},}$${\displaystyle \partial_{x}}$

Bei höheren Ableitungen n- ter Ordnung kann der Operator geschrieben werden:

${\displaystyle {\mathrm{d}^{n} \over\mathrm{d} x^{n}}}$, , , oder .${\displaystyle D^{n}}$${\displaystyle D_{x}^{n}}$${\ displaystyle \ partielle _ {x} ^ {n}}$

Die Ableitung einer Funktion f eines Arguments x wird manchmal wie folgt angegeben:

${\displaystyle [f(x)]'\,\!}$

${\displaystyle f'(x).\,\!}$

Die Verwendung und Erstellung der D- Notation wird Oliver Heaviside zugeschrieben , der Differentialoperatoren der Form betrachtete

${\displaystyle \sum_{k=0}^{n}c_{k}D^{k}}$

in seinem Studium der Differentialgleichungen .

Einer der am häufigsten vorkommenden Differentialoperatoren ist der Laplace-Operator , definiert durch

${\displaystyle \Delta =\nabla^{2}=\sum_{k=1}^{n}{\frac {\partial^{2}}{\partial x_{k}^{2}}}. }$

Ein anderer Differentialoperator ist der Θ-Operator oder Theta-Operator , definiert durch

${\displaystyle \Theta =z{d\over dz}.}$

Dies wird manchmal auch Homogenitätsoperator genannt , weil seine Eigenfunktionen die Monome in z sind :

${\displaystyle \Theta(z^{k})=kz^{k},\quad k=0,1,2,\dots}$

In n Variablen ist der Homogenitätsoperator gegeben durch

${\displaystyle \Theta =\sum_{k=1}^{n}x_{k}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}.}$

Wie in einer Variablen sind die Eigenräume von Θ die Räume homogener Polynome .

Beim Schreiben wird das Argument eines Differentialoperators gemäß allgemeiner mathematischer Konvention normalerweise auf der rechten Seite des Operators selbst platziert. Manchmal wird eine alternative Schreibweise verwendet: Das Ergebnis der Anwendung des Operators auf die Funktion auf der linken Seite des Operators und auf der rechten Seite des Operators und die Differenz, die erhalten wird, wenn der Differentialoperator auf die Funktionen auf beiden Seiten angewendet wird, werden bezeichnet durch Pfeile wie folgt:

${\displaystyle f{\overleftarrow {\partial_{x}}}g=g\cdot \partial_{x}f}$

${\displaystyle f{\overrightarrow {\partial_{x}}}g=f\cdot \partial_{x}g}$

${\displaystyle f{\overleftrightarrow {\partial_{x}}}g=f\cdot \partial_{x}gg\cdot \partial_{x}f.}$

Eine solche bidirektionale Pfeilnotation wird häufig verwendet, um den Wahrscheinlichkeitsstrom der Quantenmechanik zu beschreiben.

Del

Der Differentialoperator del, auch nabla genannt , ist ein wichtiger Vektordifferentialoperator . Es erscheint häufig in der Physik an Orten wie der Differentialform der Maxwell-Gleichungen . In dreidimensionalen kartesischen Koordinaten ist del definiert als

${\displaystyle \nabla =\mathbf {\hat{x}} {\partial\over\partial x}+\mathbf {\hat{y}} {\partial\over\partial y}+\mathbf {\hat{ z}} {\ partiell \ über \ partiell z}.}$

Del definiert den Gradienten und wird verwendet, um die Kräuselung , Divergenz und Laplace-Funktion verschiedener Objekte zu berechnen .

Adjoint eines Operators

Gegeben ein linearer Differentialoperator ${\displaystyle T}$

${\ displaystyle Tu = \ sum _ {k = 0} ^ {n} a_ {k} (x) D ^ {k} u}$

das Adjungierte dieses Operators ist als der Operator definiert, so dass ${\ displaystyle T ^ {*}}$

${\displaystyle \langle Tu,v\rangle =\langle u,T^{*}v\rangle}$

wobei die Notation für das Skalarprodukt oder das innere Produkt verwendet wird . Diese Definition hängt daher von der Definition des Skalarprodukts ab. ${\displaystyle\langle\cdot,\cdot\rangle}$

Formaler Adjungierte in einer Variablen

Im Funktionsraum quadratintegrierbarer Funktionen auf einem reellen Intervall ( a , b ) ist das Skalarprodukt definiert durch

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int_{a}^{b}{\overline {f(x)}}\,g(x)\,dx,}$

wobei die Linie über f ( x ) die komplex Konjugierte von f ( x ) bezeichnet. Wenn man außerdem die Bedingung hinzufügt, dass f oder g als und verschwindet , kann man auch den Adjunkt von T durch definieren ${\displaystyle x\to a}$${\displaystyle x\to b}$

${\displaystyle T^{*}u=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}D^{k}\left[{\overline {a_{k}(x)} }Du hast Recht].}$

Diese Formel hängt nicht explizit von der Definition des Skalarprodukts ab. Es wird daher manchmal als Definition des adjungierten Operators gewählt. Wenn nach dieser Formel definiert ist, heißt es formaler Adjungierte von T . ${\ displaystyle T ^ {*}}$

Ein (formal) selbstadjungierter Operator ist ein Operator, der seinem eigenen (formalen) Adjungierten gleich ist.

Mehrere Variablen

Ist Ω ein Gebiet in R ⁿ und P ein Differentialoperator auf Ω, dann ist das Adjungierte von P in L ² (Ω) in analoger Weise durch Dualität definiert :

${\displaystyle \langle f,P^{*}g\rangle_{L^{2}(\Omega)}=\langle Pf,g\rangle_{L^{2}(\Omega)}}$

für alle glatten L ² -Funktionen f , g . Da glatte Funktionen in L ² dicht sind , definiert dies die Adjungierte auf einer dichten Teilmenge von L ² : P ^* ist ein dicht definierter Operator .

Beispiel

Der Sturm-Liouville- Operator ist ein bekanntes Beispiel für einen formalen selbstadjungierten Operator. Dieser lineare Differentialoperator zweiter Ordnung L kann in der Form

${\displaystyle Lu=-(pu')'+qu=-(pu''+p'u')+qu=-pu''-p'u'+qu=(-p)D^{2}u+ (-p')Du+(q)u.\;\!}$

Diese Eigenschaft kann mit der obigen formalen adjungierten Definition bewiesen werden.

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}L^{*}u&{}=(-1)^{2}D^{2}[(-p)u]+(-1)^{1}D[( -p ') u] + (- 1) ^ {0} (qu) \\ & {} = - D ^ {2} (pu) + D (p'u) + qu \\ & {} = - ( pu)''+(p'u)'+qu\\&{}=-p''u-2p'u'-pu''+p''u+p'u'+qu\\&{} = -p'u'-pu '' + qu \\ & {} = - (pu ')' + qu \\ & {} = Lu \ end {align}}}$

Dieser Operator ist von zentraler Bedeutung für die Sturm-Liouville-Theorie, in der die Eigenfunktionen (Analoga zu Eigenvektoren ) dieses Operators betrachtet werden.

Eigenschaften von Differentialoperatoren

Die Differenzierung ist linear , dh

${\displaystyle D(f+g)=(Df)+(Dg),}$

${\displaystyle D(af)=a(Df),}$

wobei f und g Funktionen sind und a eine Konstante ist.

Jedes Polynom in D mit Funktionskoeffizienten ist auch ein Differentialoperator. Wir können auch komponieren Differentialoperator von der Regel

${\displaystyle (D_{1}\circ D_{2})(f)=D_{1}(D_{2}(f)).}$

Dann ist etwas Vorsicht geboten: Erstens müssen beliebige Funktionskoeffizienten im Operator D _{2 so} oft differenzierbar sein, wie es die Anwendung von D ₁ erfordert. Um einen Ring solcher Operatoren zu erhalten, müssen wir Ableitungen aller Ordnungen der verwendeten Koeffizienten annehmen. Zweitens ist dieser Ring nicht kommutativ : Ein Operator gD ist im Allgemeinen nicht mit Dg identisch . Zum Beispiel haben wir die in der Quantenmechanik grundlegende Beziehung :

${\displaystyle Dx-xD=1.}$

Der Teilring von Operatoren, die Polynome in D mit konstanten Koeffizienten sind, ist dagegen kommutativ. Es kann anders charakterisiert werden: Es besteht aus den translationsinvarianten Operatoren.

Auch die Differentialoperatoren gehorchen dem Verschiebungssatz .

Mehrere Variablen

Dieselben Konstruktionen lassen sich mit partiellen Ableitungen durchführen , wobei die Differenzierung nach verschiedenen Variablen zu kommutierenden Operatoren führt (siehe Symmetrie der zweiten Ableitungen ).

Ring polynomialer Differentialoperatoren

Ring von univariaten polynomiellen Differentialoperatoren

Ist R ein Ring, sei der nichtkommutative Polynomring über R in den Variablen D und X , und I das zweiseitige Ideal erzeugt von DX − XD − 1. Dann ist der Ring der univariaten polynomiellen Differentialoperatoren über R der Quotientenring . Dies ist ein nicht-kommutativer einfacher Ring . Jedes Element kann auf einzigartige Weise als R- Linearkombination von Monomen der Form geschrieben werden . Es unterstützt ein Analogon der euklidischen Division von Polynomen . ${\displaystyle R\langle D,X\rangle}$ ${\displaystyle R\langle D,X\rangle /I}$ ${\displaystyle X^{a}D^{b}{\text{ mod }}I}$

Differenzielle Module über (für die Standardableitung) können mit Modulen über identifiziert werden . ${\displaystyle R[X]}$${\displaystyle R\langle D,X\rangle /I}$

Ring multivariater polynomialer Differentialoperatoren

Wenn R ein Ring ist, sei der nichtkommutative Polynomring über R in den Variablen , und I das zweiseitige Ideal, das von den Elementen erzeugt wird ${\ displaystyle R \ langle D_ {1}, \ ldots, D_ {n}, X_ {1}, \ ldots, X_ {n} \ rangle}$${\displaystyle D_{1},\ldots,D_{n},X_{1},\ldots,X_{n}}$

${\displaystyle (D_{i}X_{j}-X_{j}D_{i})-\delta_{i,j},\ \ \ D_{i}D_{j}-D_{j}D_{ i},\ \ \ X_{i}X_{j}-X_{j}X_{i}}$

für alle, wo das Kronecker Delta ist . Dann ist der Ring multivariater polynomialer Differentialoperatoren über R der Quotientenring . ${\displaystyle 1\leq i,j\leq n,}$${\displaystyle\delta}$${\displaystyle R\langle D_{1},\ldots ,D_{n},X_{1},\ldots ,X_{n}\rangle /I}$

Dies ist ein nicht kommutativer einfacher Ring . Jedes Element kann auf einzigartige Weise als R- Linearkombination von Monomen der Form geschrieben werden . ${\displaystyle X_{1}^{a_{1}}\ldots X_{n}^{a_{n}}D_{1}^{b_{1}}\ldots D_{n}^{b_{n} }}$

Koordinatenunabhängige Beschreibung

In der Differentialgeometrie und der algebraischen Geometrie ist es oft praktisch, eine koordinatenunabhängige Beschreibung von Differentialoperatoren zwischen zwei Vektorbündeln zu haben . Seien E und F zwei Vektorbündel über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M . Eine R- lineare Abbildung von Abschnitten P  : Γ( E ) → Γ( F ) heißt ein linearer Differentialoperator k- ter Ordnung, wenn sie durch das Strahlbündel J ^k ( E ) faktorisiert . Mit anderen Worten, es existiert eine lineare Abbildung von Vektorbündeln

${\displaystyle i_{P}:J^{k}(E)\rightarrow F\,}$

so dass

${\displaystyle P=i_{P}\circ j^{k}}$

wobei j ^k : Γ ( E ) → Γ ( J ^k ( E )) die Verlängerung ist, die jedem Abschnitt von E seinen k- Jet zuordnet .

Dies bedeutet nur , daß für einen gegebenen Abschnitt s von E , der Wert von P ( s ) an einem Punkt x  ∈  M vollständig durch die bestimmt wird , k - ter Ordnung infinitesimal Verhalten von s in x . Dies impliziert insbesondere, dass P ( s )( x ) durch den Keim von s in x bestimmt wird , was dadurch ausgedrückt wird, dass Differentialoperatoren lokal sind. Ein grundlegendes Ergebnis ist der Satz von Peetre, der zeigt, dass auch die Umkehrung gilt: Jeder (lineare) lokale Operator ist differentiell.

Beziehung zur kommutativen Algebra

Eine äquivalente, aber rein algebraische Beschreibung linearer Differentialoperatoren lautet wie folgt: Eine R -lineare Abbildung P ist ein linearer Differentialoperator k- ter Ordnung, falls für beliebige k  + 1 glatte Funktionen gilt: ${\displaystyle f_{0},\ldots,f_{k}\in C^{\infty}(M)}$

${\displaystyle [f_{k},[f_{k-1},[\cdots [f_{0},P]\cdots ]]=0.}$

Hier wird die Klammer als Kommutator definiert ${\displaystyle [f,P]:\Gamma (E)\rightarrow \Gamma (F)}$

${\displaystyle [f,P](s)=P(f\cdot s)-f\cdot P(s).\,}$

Diese Charakterisierung von linearen Differentialoperatoren zeigt , dass es sich um besondere Abbildungen zwischen Modulen über eine kommutative Algebra handelt , wodurch das Konzept als Teil der kommutativen Algebra betrachtet werden kann .

Beispiele

• In Anwendungen der Physik spielen Operatoren wie der Laplace-Operator eine wichtige Rolle beim Aufstellen und Lösen partieller Differentialgleichungen .
• In der Differentialtopologie haben die Operatoren der äußeren Ableitung und der Lie-Ableitung eine intrinsische Bedeutung.
• In der abstrakten Algebra erlaubt das Konzept einer Ableitung Verallgemeinerungen von Differentialoperatoren, die keine Infinitesimalrechnung erfordern. Häufig werden solche Verallgemeinerungen in der algebraischen Geometrie und der kommutativen Algebra verwendet . Siehe auch Jet (Mathematik) .
• Bei der Entwicklung holomorpher Funktionen einer komplexen Variablen z = x + i  y wird manchmal eine komplexe Funktion als Funktion zweier reeller Variablen x und y betrachtet . Es werden die Wirtinger-Derivate verwendet , die partielle Differentialoperatoren sind:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}-i{\frac {\ partielle }{\partial y}}\right)\ ,\quad {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}}={\frac {1}{2}}\left({\ frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\ .}$

Dieser Ansatz wird auch verwendet, um Funktionen mehrerer komplexer Variablen und Funktionen einer Motorvariablen zu untersuchen .

Geschichte

Der konzeptionelle Schritt, einen Differentialoperator als etwas Freistehendes zu schreiben, wird 1800 Louis François Antoine Arbogast zugeschrieben .

Siehe auch

Verweise

Externe Links

• Medien zu Differentialoperatoren bei Wikimedia Commons Common
• "Differentialoperator" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]