Mathematik des Papierfaltens - Mathematics of paper folding

Kartenfaltung für ein 2×2-Raster aus Quadraten

Die Disziplin des Origami oder Papierfaltens hat eine beträchtliche Menge an mathematischen Studien erhalten. Zu den Interessengebieten gehören die Flachfaltbarkeit eines gegebenen Papiermodells (ob das Modell ohne Beschädigung flachgedrückt werden kann) und die Verwendung von Papierfalten zum Lösen von bis zu kubischen mathematischen Gleichungen .

Geschichte

Siehe auch: Geschichte des Origami

Im Jahr 1893 veröffentlichte der indische Beamte T. Sundara Rao Geometrische Übungen zum Papierfalten, in denen Papierfalten verwendet wurden, um Beweise für geometrische Konstruktionen zu demonstrieren. Diese Arbeit wurde durch die Verwendung von Origami im Kindergartensystem inspiriert . Rao demonstrierte eine ungefähre Dreiteilung von Winkeln und implizierte, dass die Konstruktion einer Kubikwurzel unmöglich war.

Die Belochfalte

1936 zeigte Margharita P. Beloch , dass die Verwendung der ' Beloch-Falte ', die später im sechsten der Huzita-Hatori-Axiome verwendet wurde , die Lösung der allgemeinen kubischen Gleichung mit Origami ermöglicht.

Im Jahr 1949 beschrieb RC Yeates' Buch "Geometrische Methoden" drei erlaubte Konstruktionen, die dem ersten, zweiten und fünften der Huzita-Hatori-Axiome entsprechen.

Das Yoshizawa-Randlett-System der Instruktion durch Diagramme wurde 1961 eingeführt.

Faltenmuster für eine Miura-Falte. Die Parallelogramme dieses Beispiels haben 84° und 96° Winkel.

1980 wurde über eine Konstruktion berichtet, die es ermöglichte, einen Winkel zu dreiteilen. Dreiteilungen sind nach euklidischen Regeln unmöglich.

Ebenfalls 1980 demonstrierten Kōryō Miura und Masamori Sakamaki eine neuartige Kartenfalttechnik, bei der die Falten in einem vorgeschriebenen Parallelogrammmuster hergestellt werden, wodurch die Karte ohne rechtwinklige Falten auf herkömmliche Weise erweitert werden kann. Ihr Muster ermöglicht es, dass die Faltlinien voneinander abhängig sind, sodass die Karte durch Ziehen an ihren gegenüberliegenden Enden in einer Bewegung ausgepackt und durch Zusammenschieben der beiden Enden ebenfalls gefaltet werden kann. Es sind keine übermäßig komplizierten Bewegungsabläufe erforderlich, und gefaltete Miura-ori können in eine sehr kompakte Form verpackt werden. 1985 berichtete Miura über eine Methode zum Verpacken und Entfalten großer Membranen im Weltraum, und noch 2012 wurde diese Technik zum Standardverfahren für Orbitalfahrzeuge.

Ein Diagramm, das den ersten und letzten Schritt zeigt, wie Origami den Würfel verdoppeln kann

1986 berichtete Messer von einer Konstruktion, bei der man den Würfel verdoppeln konnte , was bei euklidischen Konstruktionen unmöglich ist.

Die erste vollständige Erklärung der sieben Origami-Axiome des französischen Ordners und Mathematikers Jacques Justin wurde 1986 geschrieben, aber übersehen, bis die ersten sechs 1989 von Humiaki Huzita wiederentdeckt wurden die International Conference on Origami in Science, Math, and Education) fand 1989 in Ferrara, Italien, statt. Bei diesem Treffen wurde von Scimemi eine Konstruktion für das reguläre Siebeneck angegeben .

Um 1990 versuchten Robert J. Lang und andere erstmals, Computercode zu schreiben, der Origami-Probleme lösen würde.

Berg-Tal-Zählung

1996 zeigten Marshall Bern und Barry Hayes als NP-vollständiges Problem die Zuordnung eines Faltenmusters von Berg- und Talfalten, um ausgehend von einem flachen Blatt Papier eine flache Origami-Struktur zu erzeugen.

Im Jahr 1999 lieferte ein Satz von Haga Konstruktionen, die verwendet wurden, um die Seite eines Quadrats in rationale Brüche zu teilen.

Im Jahr 2001 faltete Britney Gallivan neben anderen mathematischen Ergebnissen zuerst ein Bettlaken, dann ein Blatt Goldfolie in der Mitte 12-mal, entgegen der Annahme, dass Papier jeder Größe höchstens achtmal gefaltet werden könnte.

Im Jahr 2002 brachten Belcastro und Hull die Sprache der affinen Transformationen in das theoretische Origami ein , mit einer Erweiterung von 2 auf 3 nur im Fall der Einzelknotenkonstruktion.

2002 löste Alperin Alhazens Problem der sphärischen Optik. In derselben Arbeit zeigte Alperin eine Konstruktion für ein regelmäßiges Siebeneck. Im Jahr 2004 wurde algorithmisch das Faltmuster für ein regelmäßiges Siebeneck nachgewiesen. Bisektionen und Trisektionen wurden 2005 von Alperin für die gleiche Konstruktion verwendet.

2009 erweiterten Alperin und Lang das theoretische Origami um rationale Gleichungen beliebigen Grades mit dem Konzept der mannigfaltigen Falten. Diese Arbeit war eine formale Erweiterung von Langs unveröffentlichter Demonstration der Winkelquintisektion aus dem Jahr 2004.

Reines Origami

Flach falten

Zweifärbbarkeit
Winkel um einen Scheitelpunkt

Der Aufbau von Origami-Modellen wird manchmal als Knickmuster dargestellt. Die Hauptfrage bei solchen Faltmustern ist, ob ein bestimmtes Faltmuster zu einem flachen Modell gefaltet werden kann und wenn ja, wie man sie faltet; dies ist ein NP-vollständiges Problem . Verwandte Probleme, wenn die Falten orthogonal sind, werden Kartenfaltungsprobleme genannt . Es gibt drei mathematische Regeln für die Herstellung von flach faltbaren Origami- Faltenmustern :

  1. Satz von Maekawa : An jedem Scheitelpunkt unterscheidet sich die Anzahl der Tal- und Bergfalten immer um zwei.
    Daraus folgt, dass jeder Scheitel eine gerade Anzahl von Knicken hat und daher auch die Bereiche zwischen den Knicken mit zwei Farben eingefärbt werden können.
  2. Satz von Kawasaki : An jedem Scheitelpunkt addiert sich die Summe aller ungeraden Winkel zu 180 Grad, ebenso wie die geraden.
  3. Ein Blatt kann niemals eine Falte durchdringen.

Papier weist an allen Punkten seiner Oberfläche eine Gaußsche Krümmung von Null auf und faltet sich nur entlang Linien von Nullkrümmung auf natürliche Weise. Gebogene Oberflächen, die sich nicht glätten lassen, lassen sich durch eine ungefaltete Falte im Papier herstellen, wie dies mit nassem Papier oder einem Fingernagel problemlos möglich ist.

Die Zuweisung eines Faltenmusters von Berg- und Talfalten, um ein flaches Modell zu erzeugen, wurde von Marshall Bern und Barry Hayes als NP-vollständig bewiesen . Weitere Referenzen und technische Ergebnisse werden in Teil II von Geometric Folding Algorithms diskutiert .

Huzita-Justin-Axiome

Hauptartikel: Huzita-Hatori-Axiome

Einige klassische Konstruktionsprobleme der Geometrie – nämlich die Dreiteilung eines beliebigen Winkels oder die Verdopplung des Würfels – haben sich mit Zirkel und Lineal als unlösbar erwiesen , sind aber mit wenigen Papierfalten lösbar. Papierfaltenstreifen können konstruiert werden, um Gleichungen bis zum Grad 4 zu lösen. Die Huzita-Justin-Axiome oder Huzita-Hatori-Axiome sind ein wichtiger Beitrag zu diesem Forschungsgebiet. Diese beschreiben, was mit einer Abfolge von Falten mit höchstens zwei gleichzeitigen Punkt- oder Linienausrichtungen konstruiert werden kann. Vollständige Methoden zur Lösung aller Gleichungen bis zum Grad 4 durch Anwendung von Methoden, die diese Axiome erfüllen, werden ausführlich in Geometric Origami diskutiert .

Konstruktionen

Als Ergebnis des Origami-Studiums durch die Anwendung geometrischer Prinzipien haben Methoden wie das Theorem von Haga es Papierordnern ermöglicht, die Seite eines Quadrats genau in Drittel, Quinte, Septime und Neuntel zu falten. Andere Theoreme und Methoden haben es Papierordnern ermöglicht, andere Formen aus einem Quadrat zu erhalten, wie etwa gleichseitige Dreiecke , Fünfecke , Sechsecke und spezielle Rechtecke wie das goldene Rechteck und das silberne Rechteck . Es wurden Verfahren zum Falten der meisten regulären Polygone bis hin zum regulären 19-Eck entwickelt. Ein regelmäßiger n -gon kann durch Papierfalten konstruiert werden , wenn und nur wenn n ein Produkt von verschieden ist Pierpont Primzahlen , Zweierpotenzen und Befugnisse der drei .

Die Sätze von Haga

BQ ist immer rational, wenn AP es ist.

Die Seite eines Quadrats kann auf verschiedene Weise durch einen beliebigen rationalen Bruch geteilt werden. Die Sätze von Haga besagen, dass für solche Divisionen ein bestimmter Satz von Konstruktionen verwendet werden kann. Überraschenderweise sind nur wenige Faltungen notwendig, um große ungerade Brüche zu erzeugen. Zum Beispiel kann 1 ⁄ 5 mit drei Falten erzeugt werden; zuerst eine Seite zu halbieren, dann Haga-Theorem zweimal verwenden zuerst herzustellen 2 / 3 und dann 1 / 5 .

Das beiliegende Diagramm zeigt den ersten Satz von Haga:

Die Funktion, die die Länge AP in QC ändert , ist selbstinvers . Lassen x sein AP dann eine Reihe von anderen Längen sind auch rationale Funktionen von x . Zum Beispiel:

Hagas erster Satz
AP BQ QC AR PQ
1 ⁄ 2 2 ⁄ 3 1 ⁄ 3 3 ⁄ 8 5 ⁄ 6
1 ⁄ 3 1 ⁄ 2 1 ⁄ 2 4 ⁄ 9 5 ⁄ 6
2 ⁄ 3 4 ⁄ 5 1 ⁄ 5 5 ⁄ 18 13 ⁄ 15
1 ⁄ 5 1 ⁄ 3 2 ⁄ 3 12 / 25 13 ⁄ 15

Eine Verallgemeinerung der Sätze von Haga

Die Sätze von Haga werden wie folgt verallgemeinert:

Daher impliziert BQ:CQ=k:1 AP:BP=k:2 für eine positive reelle Zahl k.

Würfel verdoppeln

Würfel verdoppeln: PB/PA = Kubikwurzel von 2

Das klassische Problem der Würfelverdoppelung lässt sich mit Origami lösen. Diese Konstruktion ist Peter Messer zu verdanken: Ein Papierquadrat wird zunächst wie in der Abbildung gezeigt in drei gleiche Streifen gefaltet. Dann wird die Unterkante so positioniert, dass der Eckpunkt P auf der Oberkante liegt und die Knickmarke an der Kante auf die andere Knickmarke Q trifft. Die Länge PB ist dann die Kubikwurzel der 2-fachen Länge von AP.

Die Kante mit der Knickmarke gilt als markiertes Lineal, was bei Zirkel- und Linealkonstruktionen nicht erlaubt ist . Die Verwendung eines markierten Lineals auf diese Weise wird in der Geometrie als Neusis-Konstruktion bezeichnet .

Einen Winkel verdreifachen

Dreiteilung des Winkels CAB

Die Winkeldreiteilung ist ein weiteres klassisches Problem, das nicht mit einem Zirkel und einem unmarkierten Lineal, aber mit Origami gelöst werden kann. Diese Konstruktion, über die 1980 berichtet wurde, ist Hisashi Abe zu verdanken. Der Winkel CAB wird dreigeteilt, indem die Falten PP' und QQ' parallel zur Basis mit QQ' in der Mitte dazwischen gemacht werden. Dann wird der Punkt P umgeklappt, um auf der Linie AC zu liegen, und gleichzeitig wird der Punkt A auf die Linie QQ' bei A' gelegt. Der Winkel A'AB beträgt ein Drittel des ursprünglichen Winkels CAB. Dies liegt daran, dass PAQ, A'AQ und A'AR drei kongruente Dreiecke sind. Das Ausrichten der beiden Punkte auf den beiden Linien ist eine weitere Neusis-Konstruktion wie bei der Lösung zum Verdoppeln des Würfels.

Verwandte Probleme

Das Problem des starren Origami , bei dem die Falten als Scharniere behandelt werden, die zwei flache, starre Oberflächen wie Bleche verbinden , hat große praktische Bedeutung. Die Miura Map Fold ist beispielsweise eine starre Faltung, die verwendet wurde, um große Solarpanel-Arrays für Weltraumsatelliten einzusetzen.

Das Serviettenfaltproblem ist das Problem, ob ein Quadrat oder ein Rechteck aus Papier gefaltet werden kann, so dass der Umfang der flachen Figur größer ist als der des ursprünglichen Quadrats.

Die Platzierung eines Punktes auf einer gekrümmten Falte im Muster kann die Lösung elliptischer Integrale erfordern. Gebogenes Origami ermöglicht es dem Papier, entwickelbare Oberflächen zu bilden , die nicht eben sind. Nassfalten von Origami ist eine von Yoshizawa entwickelte Technik, die es ermöglicht, durch gebogene Falten eine noch größere Auswahl an Formen höherer Komplexität zu erzeugen.

Die maximale Anzahl von Malen, die ein inkompressibles Material gefaltet werden kann, wurde abgeleitet. Bei jeder Faltung geht eine bestimmte Menge Papier durch mögliches Falten verloren. Die Verlustfunktion für das Halbieren von Papier in einer einzigen Richtung wurde mit angegeben , wobei L die minimale Länge des Papiers (oder eines anderen Materials), t die Dicke des Materials und n die Anzahl der möglichen Falten ist. Die Abstände L und t müssen in den gleichen Einheiten ausgedrückt werden, z. B. in Zoll. Dieses Ergebnis wurde 2001 von Gallivan abgeleitet , der auch ein Blatt Papier zwölfmal halbierte, entgegen der landläufigen Meinung, dass Papier jeder Größe höchstens achtmal gefaltet werden kann. Sie leitete auch die Gleichung für das Falten in abwechselnde Richtungen her.

Das Falt-und-Schneide-Problem fragt, welche Formen erhalten werden können, indem man ein Stück Papier flach faltet und einen einzigen geraden vollständigen Schnitt macht. Die Lösung, bekannt als Fold-and-Cut-Theorem, besagt, dass jede Form mit geraden Seiten erhalten werden kann.

Ein praktisches Problem besteht darin, eine Karte so zu falten, dass sie mit minimalem Aufwand oder minimalen Bewegungen manipuliert werden kann. Die Miura-Falte ist eine Lösung für das Problem, und es wurden mehrere andere vorgeschlagen.

Siehe auch

Hinweise und Referenzen

Weiterlesen

Externe Links